Menyederhanakan Bentuk Eksponen
Matematika — Materi Lengkap dengan Contoh dan Latihan
📋 Daftar Isi
1. Pendahuluan 2. Sifat Perkalian Basis Sama 3. Sifat Pembagian Basis Sama 4. Sifat Pangkat dari Pangkat 5. Sifat Pangkat Nol dan Negatif 6. Sifat Pangkat Pecahan (Bentuk Akar) 7. Perkalian dan Pembagian Basis Berbeda 8. Contoh Soal (Mudah, Sedang, Sulit) 9. Latihan Soal1. Pendahuluan
Perhatikan ekspresi-ekspresi berikut:
Semua ekspresi di atas dapat disederhanakan menjadi bentuk yang lebih ringkas menggunakan sifat-sifat eksponen.
Bagaimana cara menyederhanakan ekspresi-ekspresi eksponen tersebut? Sifat-sifat apa saja yang digunakan?
Definisi: Menyederhanakan bentuk eksponen berarti mengubah ekspresi yang melibatkan bilangan berpangkat menjadi bentuk paling sederhana dengan menerapkan sifat-sifat eksponen.
Bentuk umum eksponen: \( a^n \) di mana:
- \( a \) = basis (bilangan pokok)
- \( n \) = eksponen (pangkat)
2. Sifat Perkalian Basis Sama
Jika dua bilangan berpangkat dengan basis sama dikalikan, maka pangkatnya dijumlahkan.
Mengapa pangkat dijumlahkan? Karena:
\( a^m \times a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{m+n} = a^{m+n} \)
Sederhanakan: \( 3^2 \times 3^5 = 3^{2+5} = 3^7 = 2187 \)
Sederhanakan: \( x^4 \times x^3 = x^{4+3} = x^7 \)
3. Sifat Pembagian Basis Sama
Jika dua bilangan berpangkat dengan basis sama dibagi, maka pangkatnya dikurangkan.
Contoh pembuktian:
\( \dfrac{a^5}{a^2} = \dfrac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a} = a \times a \times a = a^3 = a^{5-2} \)
Sederhanakan: \( \dfrac{7^8}{7^3} = 7^{8-3} = 7^5 = 16807 \)
Sederhanakan: \( \dfrac{y^{10}}{y^4} = y^{10-4} = y^6 \)
4. Sifat Pangkat dari Pangkat
Jika bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan.
\( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096 \)
\( (3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 \)
\( \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125} \)
5. Sifat Pangkat Nol dan Negatif
Mengapa \( a^0 = 1 \)?
\( \dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \), dan kita tahu \( \dfrac{a^n}{a^n} = 1 \), maka \( a^0 = 1 \).
Mengapa \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)?
\( a^{-n} = a^{0-n} = \dfrac{a^0}{a^n} = \dfrac{1}{a^n} \)
\( 5^0 = 1 \)
\( 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
\( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9} \)
6. Sifat Pangkat Pecahan (Bentuk Akar)
Pangkat pecahan adalah cara lain menuliskan bentuk akar:
- \( 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3 \)
- \( 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
- \( 16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 \)
\( 27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \)
\( 32^{3/5} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8 \)
7. Perkalian dan Pembagian Basis Berbeda, Pangkat Sama
\( 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000 \)
\( \dfrac{6^4}{3^4} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \)
Ringkasan semua sifat eksponen:
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Perkalian basis sama | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) |
| 2 | Pembagian basis sama | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) |
| 3 | Pangkat dari pangkat | \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| 4 | Pangkat nol | \(a^0 = 1\) |
| 5 | Pangkat negatif | \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) |
| 6 | Pangkat pecahan | \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) |
| 7 | Basis berbeda, pangkat sama | \(a^n \times b^n = (ab)^n\) |
8. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Sederhanakan \( 2^3 \times 2^5 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \)
2. Sederhanakan \( \dfrac{5^7}{5^4} \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( \dfrac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125 \)
3. Sederhanakan \( (4^2)^3 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 = 4096 \)
4. Sederhanakan \( 7^0 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( a^0 = 1 \) untuk \( a \neq 0 \)
\( 7^0 = 1 \)
5. Sederhanakan \( 3^{-2} \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Sederhanakan \( \dfrac{2^5 \times 2^3}{2^4} \)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan pembilang \( 2^5 \times 2^3 = 2^8 \)
Langkah 2: \( \dfrac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16 \)
2. Sederhanakan \( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)
\( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27} \)
3. Sederhanakan \( (2x^3)^4 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \) dan \( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( (2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12} \)
4. Sederhanakan \( 8^{2/3} \)
Lihat Pembahasan
Ubah 8 menjadi bentuk pangkat: \( 8 = 2^3 \)
\( 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3 \times 2/3} = 2^2 = 4 \)
5. Sederhanakan \( \dfrac{x^5 \cdot y^3}{x^2 \cdot y} \)
Lihat Pembahasan
Kelompokkan basis yang sama:
\( \dfrac{x^5}{x^2} \cdot \dfrac{y^3}{y^1} = x^{5-2} \cdot y^{3-1} = x^3 y^2 \)
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Sederhanakan \( \dfrac{3^{n+2} \times 3^{n-1}}{3^{2n}} \)
Lihat Pembahasan
Pembilang: \( 3^{n+2} \times 3^{n-1} = 3^{(n+2)+(n-1)} = 3^{2n+1} \)
\( \dfrac{3^{2n+1}}{3^{2n}} = 3^{2n+1-2n} = 3^1 = 3 \)
2. Sederhanakan \( \dfrac{(2a^2b^3)^3 \times (3ab^2)^2}{6a^4b^5} \)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: \( (2a^2b^3)^3 = 8a^6b^9 \)
Langkah 2: \( (3ab^2)^2 = 9a^2b^4 \)
Langkah 3: Pembilang = \( 8a^6b^9 \times 9a^2b^4 = 72a^8b^{13} \)
Langkah 4: \( \dfrac{72a^8b^{13}}{6a^4b^5} = 12a^{8-4}b^{13-5} = 12a^4b^8 \)
3. Sederhanakan \( \left(\dfrac{x^{-2}y^3}{x^4y^{-1}}\right)^{-2} \)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan dalam kurung:
\( \dfrac{x^{-2}y^3}{x^4y^{-1}} = x^{-2-4} \cdot y^{3-(-1)} = x^{-6}y^4 \)
Langkah 2: Pangkatkan dengan -2:
\( (x^{-6}y^4)^{-2} = x^{(-6)(-2)} \cdot y^{(4)(-2)} = x^{12}y^{-8} = \dfrac{x^{12}}{y^8} \)
4. Sederhanakan \( \dfrac{4^{n+1} \times 8^n}{2^{5n-2}} \)
Lihat Pembahasan
Ubah semua ke basis 2: \( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \)
Pembilang: \( (2^2)^{n+1} \times (2^3)^n = 2^{2n+2} \times 2^{3n} = 2^{5n+2} \)
Penyebut: \( 2^{5n-2} \)
\( \dfrac{2^{5n+2}}{2^{5n-2}} = 2^{(5n+2)-(5n-2)} = 2^4 = 16 \)
5. Sederhanakan \( \dfrac{27^{2/3} \times 16^{3/4}}{8^{1/3} \times 81^{1/4}} \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis prima:
\( 27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9 \)
\( 16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8 \)
\( 8^{1/3} = (2^3)^{1/3} = 2^1 = 2 \)
\( 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3^1 = 3 \)
Hasil: \( \dfrac{9 \times 8}{2 \times 3} = \dfrac{72}{6} = 12 \)
9. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah penyelesaianmu!
Mudah
- Sederhanakan \( 4^2 \times 4^3 \)
- Sederhanakan \( \dfrac{6^9}{6^5} \)
- Sederhanakan \( (5^3)^2 \)
- Sederhanakan \( 10^{-2} \)
- Sederhanakan \( 16^{1/2} \)
Sedang
- Sederhanakan \( \dfrac{3^4 \times 3^2}{3^5} \)
- Sederhanakan \( (5a^2b)^3 \)
- Sederhanakan \( \left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2} \)
- Sederhanakan \( 32^{2/5} \)
- Sederhanakan \( \dfrac{m^6 \cdot n^{-2}}{m^3 \cdot n^4} \)
Sulit
- Sederhanakan \( \dfrac{2^{n+3} \times 4^n}{8^{n-1}} \)
- Sederhanakan \( \left(\dfrac{a^{-3}b^2}{a^2b^{-4}}\right)^3 \)
- Sederhanakan \( \dfrac{(3x^2y^{-1})^2 \times (2xy^3)^3}{12x^5y^2} \)
- Sederhanakan \( \dfrac{125^{2/3} \times 64^{1/2}}{25^{3/2}} \)
- Sederhanakan \( \dfrac{9^{n+1} – 9^n}{9^n – 9^{n-1}} \)