Pertidaksamaan Bentuk Akar
Materi Matematika
1. Pengertian Pertidaksamaan Bentuk Akar
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan perbandingan berikut:
- Bilangan 2 dan 3, kita tahu bahwa 2 < 3
- Bagaimana dengan √5 dan √8? Mana yang lebih besar?
- Bagaimana dengan √3 + 1 dan √7 − 1?
Untuk menjawab pertanyaan semacam ini, kita memerlukan pemahaman tentang pertidaksamaan bentuk akar.
Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar (radikal). Pertidaksamaan ini menggunakan tanda hubung:
• < (kurang dari)
• > (lebih dari)
• ≤ (kurang dari atau sama dengan)
• ≥ (lebih dari atau sama dengan)
Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar:
√f(x) < √g(x)
√f(x) > a (a adalah konstanta)
√f(x) < g(x)
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan kunci yang perlu dijawab:
- Apa syarat agar bentuk akar terdefinisi?
- Bagaimana cara membandingkan dua bentuk akar?
- Apa saja aturan yang berlaku saat mengkuadratkan pertidaksamaan?
Syarat Penting (Domain)
Agar bentuk akar √f(x) terdefinisi dalam bilangan real, maka:
f(x) ≥ 0
Ekspresi di dalam akar harus bernilai non-negatif
2. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Bentuk Akar
💡 Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan kita, mari kita simpulkan sifat-sifat berikut:
Sifat 1: Perbandingan Dua Akar
Jika a ≥ 0 dan b ≥ 0, maka:
√a < √b ⟺ a < b
Fungsi akar kuadrat adalah fungsi naik, sehingga urutan tetap terjaga.
Sifat 2: Kuadrat Kedua Ruas
Jika kedua ruas pertidaksamaan bernilai non-negatif, maka boleh dikuadratkan tanpa mengubah arah tanda:
√f(x) < √g(x) ⟺ f(x) < g(x)
Syarat: f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0
Sifat 3: Akar dengan Konstanta
Kasus √f(x) > a:
- Jika a < 0, maka solusinya: f(x) ≥ 0 (seluruh domain)
- Jika a ≥ 0, maka solusinya: f(x) > a²
Kasus √f(x) < a:
- Jika a ≤ 0, maka tidak ada solusi (∅)
- Jika a > 0, maka solusinya: 0 ≤ f(x) < a²
Sifat 4: Akar dengan Fungsi Linear
Kasus √f(x) < g(x):
Syarat: f(x) ≥ 0 DAN g(x) > 0 DAN f(x) < [g(x)]²
Kasus √f(x) > g(x):
- Jika g(x) < 0: solusinya f(x) ≥ 0
- Jika g(x) ≥ 0: solusinya f(x) > [g(x)]²
Tabel Ringkasan Penyelesaian
| Bentuk | Syarat | Penyelesaian |
|---|---|---|
| √f(x) < √g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 | f(x) < g(x), f(x) ≥ 0 |
| √f(x) > a (a ≥ 0) | f(x) ≥ 0 | f(x) > a² |
| √f(x) < a (a > 0) | f(x) ≥ 0 | 0 ≤ f(x) < a² |
| √f(x) < g(x) | f(x) ≥ 0, g(x) > 0 | f(x) < [g(x)]² |
| √f(x) > g(x), g(x) ≥ 0 | f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 | f(x) > [g(x)]² |
3. Teknik Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar
🧪 Kegiatan: Mencoba
Mari kita pelajari langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar.
Langkah-Langkah Umum:
- Tentukan domain — pastikan ekspresi di dalam akar ≥ 0
- Identifikasi bentuk — tentukan tipe pertidaksamaan (akar vs akar, akar vs konstanta, akar vs fungsi)
- Terapkan sifat yang sesuai — kuadratkan kedua ruas jika memenuhi syarat
- Selesaikan pertidaksamaan hasil — selesaikan pertidaksamaan polinom/linear
- Iriskan dengan domain — hasil akhir = solusi ∩ domain
Tipe A: √f(x) < √g(x)
Langkah:
1. Syarat: f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0
2. Kuadratkan: f(x) < g(x)
3. Irisan ketiga syarat menjadi solusi
Tipe B: √f(x) < a atau √f(x) > a
Untuk √f(x) < a dengan a > 0:
Solusi: 0 ≤ f(x) < a²
Untuk √f(x) > a dengan a ≥ 0:
Solusi: f(x) > a²
Tipe C: √f(x) < g(x) atau √f(x) > g(x)
Untuk √f(x) < g(x):
Syarat: f(x) ≥ 0 DAN g(x) > 0 DAN f(x) < [g(x)]²
Solusi = irisan ketiga syarat
Untuk √f(x) > g(x):
Kasus 1: g(x) < 0 dan f(x) ≥ 0 → solusi bagian 1
Kasus 2: g(x) ≥ 0 dan f(x) > [g(x)]² → solusi bagian 2
Solusi = gabungan kasus 1 dan kasus 2
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari teknik di atas, cobalah jelaskan kepada teman sebangkumu:
- Mengapa kita tidak boleh langsung mengkuadratkan tanpa memeriksa tanda?
- Mengapa domain sangat penting dalam pertidaksamaan bentuk akar?
- Berikan contoh kasus di mana mengkuadratkan menghasilkan solusi yang salah jika syarat diabaikan.
4. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–5)
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari √(x − 1) < 3
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan domain: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
Langkah 2: Karena ruas kanan = 3 > 0, kuadratkan kedua ruas:
x − 1 < 9
x < 10
Langkah 3: Irisan domain dan hasil: x ≥ 1 dan x < 10
Solusi: 1 ≤ x < 10
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari √(2x + 4) > 2
Pembahasan:
Langkah 1: Domain: 2x + 4 ≥ 0 → x ≥ −2
Langkah 2: Karena a = 2 ≥ 0, kuadratkan:
2x + 4 > 4
2x > 0
x > 0
Langkah 3: Irisan: x ≥ −2 dan x > 0
Solusi: x > 0
Contoh 3:
Tentukan penyelesaian dari √(x) < √(x + 6)
Pembahasan:
Langkah 1: Domain: x ≥ 0 dan x + 6 ≥ 0 → x ≥ 0
Langkah 2: Kuadratkan kedua ruas:
x < x + 6
0 < 6 (selalu benar)
Langkah 3: Karena selalu benar, solusi = seluruh domain
Solusi: x ≥ 0
Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari √(3x − 6) ≤ 6
Pembahasan:
Langkah 1: Domain: 3x − 6 ≥ 0 → x ≥ 2
Langkah 2: Kuadratkan (a = 6 > 0):
3x − 6 ≤ 36
3x ≤ 42
x ≤ 14
Langkah 3: Irisan: x ≥ 2 dan x ≤ 14
Solusi: 2 ≤ x ≤ 14
Contoh 5:
Tentukan penyelesaian dari √(x + 3) > √(x − 1)
Pembahasan:
Langkah 1: Domain: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3 dan x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
Domain gabungan: x ≥ 1
Langkah 2: Kuadratkan:
x + 3 > x − 1
3 > −1 (selalu benar)
Langkah 3: Solusi = seluruh domain
Solusi: x ≥ 1
📙 Contoh Soal Sedang (6–10)
Contoh 6:
Tentukan penyelesaian dari √(2x − 1) < x − 2
Pembahasan:
Syarat 1: 2x − 1 ≥ 0 → x ≥ ½
Syarat 2: x − 2 > 0 → x > 2
Syarat 3: Kuadratkan: 2x − 1 < (x − 2)²
2x − 1 < x² − 4x + 4
0 < x² − 6x + 5
0 < (x − 1)(x − 5)
x < 1 atau x > 5
Irisan: x > 2 ∩ (x < 1 atau x > 5) = x > 5
Solusi: x > 5
Contoh 7:
Tentukan penyelesaian dari √(x² − 4) ≤ √(3x)
Pembahasan:
Syarat 1: x² − 4 ≥ 0 → x ≤ −2 atau x ≥ 2
Syarat 2: 3x ≥ 0 → x ≥ 0
Domain gabungan: x ≥ 2
Kuadratkan: x² − 4 ≤ 3x
x² − 3x − 4 ≤ 0
(x − 4)(x + 1) ≤ 0
−1 ≤ x ≤ 4
Irisan: x ≥ 2 ∩ (−1 ≤ x ≤ 4) = 2 ≤ x ≤ 4
Solusi: 2 ≤ x ≤ 4
Contoh 8:
Tentukan penyelesaian dari √(x + 5) > x − 1
Pembahasan:
Domain: x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5
Kasus 1: x − 1 < 0, yaitu x < 1
Ruas kanan negatif, ruas kiri ≥ 0, jadi pertidaksamaan otomatis benar.
Solusi kasus 1: −5 ≤ x < 1
Kasus 2: x − 1 ≥ 0, yaitu x ≥ 1
Kuadratkan: x + 5 > (x − 1)²
x + 5 > x² − 2x + 1
0 > x² − 3x − 4
0 > (x − 4)(x + 1)
−1 < x < 4
Irisan dengan x ≥ 1: 1 ≤ x < 4
Gabungan: (−5 ≤ x < 1) ∪ (1 ≤ x < 4) = −5 ≤ x < 4
Solusi: −5 ≤ x < 4
Contoh 9:
Tentukan penyelesaian dari √(4x − 3) > √(2x + 1)
Pembahasan:
Syarat 1: 4x − 3 ≥ 0 → x ≥ ¾
Syarat 2: 2x + 1 ≥ 0 → x ≥ −½
Domain: x ≥ ¾
Kuadratkan: 4x − 3 > 2x + 1
2x > 4
x > 2
Irisan: x ≥ ¾ ∩ x > 2 = x > 2
Solusi: x > 2
Contoh 10:
Tentukan penyelesaian dari √(x + 2) + √(x − 1) < 3
Pembahasan:
Domain: x + 2 ≥ 0 dan x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
Langkah: Isolasi salah satu akar:
√(x + 2) < 3 − √(x − 1)
Syarat ruas kanan positif: 3 − √(x − 1) > 0 → √(x − 1) < 3 → x − 1 < 9 → x < 10
Kuadratkan kedua ruas:
x + 2 < 9 − 6√(x − 1) + (x − 1)
x + 2 < x + 8 − 6√(x − 1)
−6 < −6√(x − 1)
1 > √(x − 1)
1 > x − 1
x < 2
Irisan: x ≥ 1 ∩ x < 2 ∩ x < 10 = 1 ≤ x < 2
Solusi: 1 ≤ x < 2
📕 Contoh Soal Sulit (11–15)
Contoh 11:
Tentukan penyelesaian dari √(x² − 5x + 6) < x − 2
Pembahasan:
Syarat 1: x² − 5x + 6 ≥ 0 → (x−2)(x−3) ≥ 0 → x ≤ 2 atau x ≥ 3
Syarat 2: x − 2 > 0 → x > 2
Domain: x ≥ 3 (irisan syarat 1 dan 2)
Kuadratkan: x² − 5x + 6 < (x − 2)²
x² − 5x + 6 < x² − 4x + 4
−5x + 6 < −4x + 4
−x < −2
x > 2
Irisan: x ≥ 3 ∩ x > 2 = x ≥ 3
Solusi: x ≥ 3
Contoh 12:
Tentukan penyelesaian dari √(2x + 3) − √(x − 2) > 1
Pembahasan:
Domain: 2x + 3 ≥ 0 dan x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Langkah: √(2x + 3) > 1 + √(x − 2)
Ruas kanan = 1 + √(x−2) > 0 selalu untuk x ≥ 2. Boleh kuadratkan:
2x + 3 > 1 + 2√(x−2) + (x−2)
2x + 3 > x − 1 + 2√(x−2)
x + 4 > 2√(x−2)
Syarat x + 4 > 0 → selalu benar untuk x ≥ 2. Kuadratkan lagi:
(x + 4)² > 4(x − 2)
x² + 8x + 16 > 4x − 8
x² + 4x + 24 > 0
Diskriminan = 16 − 96 = −80 < 0, koefisien x² positif → selalu positif
Solusi = seluruh domain
Solusi: x ≥ 2
Contoh 13:
Tentukan penyelesaian dari √(3x − 2) ≥ 2x − 3
Pembahasan:
Domain: 3x − 2 ≥ 0 → x ≥ ⅔
Kasus 1: 2x − 3 < 0 → x < 3/2
Ruas kiri ≥ 0 > ruas kanan, otomatis benar.
Solusi kasus 1: ⅔ ≤ x < 3/2
Kasus 2: 2x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3/2
Kuadratkan: 3x − 2 ≥ (2x − 3)²
3x − 2 ≥ 4x² − 12x + 9
0 ≥ 4x² − 15x + 11
0 ≥ (4x − 11)(x − 1)
1 ≤ x ≤ 11/4
Irisan dengan x ≥ 3/2: 3/2 ≤ x ≤ 11/4
Gabungan: ⅔ ≤ x < 3/2 ∪ 3/2 ≤ x ≤ 11/4 = ⅔ ≤ x ≤ 11/4
Solusi: ⅔ ≤ x ≤ 11/4 (atau 2/3 ≤ x ≤ 2,75)
Contoh 14:
Tentukan penyelesaian dari √(x + 1) + √(2x − 3) ≤ √(5x + 4)
Pembahasan:
Domain: x + 1 ≥ 0, 2x − 3 ≥ 0, 5x + 4 ≥ 0 → x ≥ 3/2
Kuadratkan kedua ruas (kedua ruas non-negatif):
(x+1) + 2√((x+1)(2x−3)) + (2x−3) ≤ 5x + 4
3x − 2 + 2√((x+1)(2x−3)) ≤ 5x + 4
2√((x+1)(2x−3)) ≤ 2x + 6
√((x+1)(2x−3)) ≤ x + 3
Syarat x + 3 > 0 → selalu benar untuk x ≥ 3/2. Kuadratkan:
(x+1)(2x−3) ≤ (x+3)²
2x² − x − 3 ≤ x² + 6x + 9
x² − 7x − 12 ≤ 0
Akar: x = (7 ± √(49+48))/2 = (7 ± √97)/2
√97 ≈ 9,85
x₁ ≈ −1,42 dan x₂ ≈ 8,42
Solusi: −1,42 ≤ x ≤ 8,42
Irisan dengan domain x ≥ 3/2:
Solusi: 3/2 ≤ x ≤ (7 + √97)/2
Contoh 15:
Tentukan penyelesaian dari √(x² + 3x) > x + 1
Pembahasan:
Domain: x² + 3x ≥ 0 → x(x+3) ≥ 0 → x ≤ −3 atau x ≥ 0
Kasus 1: x + 1 < 0 → x < −1
Ruas kiri ≥ 0 > ruas kanan, otomatis benar.
Irisan dengan domain: x ≤ −3
Kasus 2: x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1. Irisan domain: x ≥ 0
Kuadratkan: x² + 3x > (x+1)²
x² + 3x > x² + 2x + 1
x > 1
Irisan dengan x ≥ 0: x > 1
Gabungan: x ≤ −3 ∪ x > 1
Solusi: x ≤ −3 atau x > 1
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Terapkan langkah-langkah yang telah dipelajari!
📗 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan penyelesaian dari √(x − 4) < 5
2. Tentukan penyelesaian dari √(3x + 9) > 3
3. Tentukan penyelesaian dari √(2x) ≤ √(x + 8)
4. Tentukan penyelesaian dari √(x + 1) < 4
5. Tentukan penyelesaian dari √(5x − 10) ≥ 0
📙 Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan penyelesaian dari √(x + 3) < x − 1
7. Tentukan penyelesaian dari √(x² − 9) ≤ √(4x − 4)
8. Tentukan penyelesaian dari √(3x + 1) > x − 1
9. Tentukan penyelesaian dari √(2x − 1) > √(x + 3)
10. Tentukan penyelesaian dari √(x + 7) − √(x) < 1
📕 Latihan Sulit (11–15)
11. Tentukan penyelesaian dari √(x² − 2x − 3) ≥ x − 1
12. Tentukan penyelesaian dari √(x + 4) + √(x − 1) > 5
13. Tentukan penyelesaian dari √(2x² − x − 1) < x + 1
14. Tentukan penyelesaian dari √(x + 2) · √(x − 3) ≤ x − 1
15. Tentukan penyelesaian dari √(3x + 4) − √(x + 1) ≥ √(x + 3)