Persamaan Bentuk Akar
Materi Matematika — Bentuk Akar
A. Pengertian Persamaan Bentuk Akar
Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan di atas memuat variabel $x$ di dalam tanda akar. Inilah yang disebut persamaan bentuk akar.
Definisi: Persamaan bentuk akar adalah persamaan yang memuat variabel di bawah tanda akar (radikal).
Bentuk umum:
Syarat penyelesaian:
- $f(x) \geq 0$ (radicand harus non-negatif)
- $g(x) \geq 0$ (ruas kanan harus non-negatif)
- Kuadratkan kedua ruas: $f(x) = [g(x)]^2$
- Periksa kembali setiap solusi (verifikasi) karena bisa muncul solusi asing.
Menanya
Mengapa kita perlu memverifikasi solusi setelah mengkuadratkan kedua ruas?
Jawaban: Proses mengkuadratkan bisa menghasilkan solusi yang tidak memenuhi persamaan awal (solusi asing), karena operasi kuadrat tidak selalu ekuivalen (bisa menambah solusi).
B. Jenis-Jenis Persamaan Bentuk Akar
1. Bentuk $\sqrt{f(x)} = c$ (konstanta)
Langkah: Kuadratkan kedua ruas → $f(x) = c^2$, syarat $c \geq 0$.
2. Bentuk $\sqrt{f(x)} = g(x)$
Langkah: Kuadratkan → $f(x) = [g(x)]^2$, syarat $g(x) \geq 0$.
3. Bentuk $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
Langkah: Kuadratkan → $f(x) = g(x)$, syarat $f(x) \geq 0$ dan $g(x) \geq 0$.
4. Bentuk $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = c$
Langkah: Isolasi salah satu akar, kuadratkan, ulangi jika perlu.
Menalar
Perhatikan bahwa setiap bentuk memerlukan strategi yang sedikit berbeda, namun prinsip dasarnya sama: menghilangkan akar dengan mengkuadratkan. Semakin banyak suku akar, semakin banyak tahap pengkuadratan yang diperlukan.
C. Langkah Sistematis Menyelesaikan Persamaan Bentuk Akar
Mencoba
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan $\sqrt{2x+1} = x – 1$:
- Tentukan syarat: $2x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$ dan $x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. Jadi $x \geq 1$.
- Kuadratkan kedua ruas: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1$
- Selesaikan: $x^2 – 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0$ atau $x = 4$
- Verifikasi dengan syarat $x \geq 1$: $x = 0$ tidak memenuhi. $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ dan $4-1=3$ ✓
- Kesimpulan: $x = 4$
Mengkomunikasikan
Tuliskan solusi secara lengkap: sebutkan syarat, proses pengkuadratan, penyelesaian aljabar, dan verifikasi. Sampaikan alasan mengapa solusi asing ditolak.
D. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
1. Selesaikan $\sqrt{x} = 3$
Syarat: $x \geq 0$
Kuadratkan: $x = 9$
Verifikasi: $\sqrt{9} = 3$ ✓
Jawaban: $x = 9$
2. Selesaikan $\sqrt{x+5} = 4$
Syarat: $x+5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$
Kuadratkan: $x+5 = 16 \Rightarrow x = 11$
Verifikasi: $\sqrt{16} = 4$ ✓
Jawaban: $x = 11$
3. Selesaikan $\sqrt{2x} = 6$
Syarat: $2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$
Kuadratkan: $2x = 36 \Rightarrow x = 18$
Verifikasi: $\sqrt{36} = 6$ ✓
Jawaban: $x = 18$
4. Selesaikan $\sqrt{3x-2} = 5$
Syarat: $3x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$
Kuadratkan: $3x – 2 = 25 \Rightarrow 3x = 27 \Rightarrow x = 9$
Verifikasi: $\sqrt{25} = 5$ ✓
Jawaban: $x = 9$
5. Selesaikan $\sqrt{x-1} = \sqrt{5}$
Kuadratkan: $x – 1 = 5 \Rightarrow x = 6$
Verifikasi: $\sqrt{5} = \sqrt{5}$ ✓
Jawaban: $x = 6$
Sedang
1. Selesaikan $\sqrt{2x+3} = x – 1$
Syarat: $2x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$ dan $x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
Kuadratkan: $2x+3 = x^2 – 2x + 1$
$x^2 – 4x – 2 = 0$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$
$x = 2 + \sqrt{6} \approx 4{,}45$ (memenuhi $x \geq 1$) ✓
$x = 2 – \sqrt{6} \approx -0{,}45$ (tidak memenuhi $x \geq 1$) ✗
Jawaban: $x = 2 + \sqrt{6}$
2. Selesaikan $\sqrt{x+7} = \sqrt{2x+1}$
Kuadratkan: $x + 7 = 2x + 1 \Rightarrow x = 6$
Verifikasi: $\sqrt{13} = \sqrt{13}$ ✓
Jawaban: $x = 6$
3. Selesaikan $\sqrt{x^2 – 5x + 6} = x – 3$
Syarat: $x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
Kuadratkan: $x^2 – 5x + 6 = (x-3)^2 = x^2 – 6x + 9$
$x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Verifikasi: $\sqrt{0} = 0$ ✓
Jawaban: $x = 3$
4. Selesaikan $\sqrt{3x+1} – \sqrt{x+1} = 2$
Isolasi: $\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$
Kuadratkan: $3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x + 1$
$2x – 4 = 4\sqrt{x+1}$
$x – 2 = 2\sqrt{x+1}$, syarat $x \geq 2$
Kuadratkan lagi: $x^2 – 4x + 4 = 4(x+1) = 4x + 4$
$x^2 – 8x = 0 \Rightarrow x(x-8) = 0$
$x = 0$ (tidak memenuhi $x \geq 2$) ✗
$x = 8$: Verifikasi $\sqrt{25} – \sqrt{9} = 5 – 3 = 2$ ✓
Jawaban: $x = 8$
5. Selesaikan $\sqrt{5x – 1} = x + 1$
Syarat: $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ dan $5x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{5}$
Kuadratkan: $5x – 1 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0$
$x = 1$: $\sqrt{4} = 2$ dan $1+1=2$ ✓
$x = 2$: $\sqrt{9} = 3$ dan $2+1=3$ ✓
Jawaban: $x = 1$ atau $x = 2$
Sulit
1. Selesaikan $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = 5$
Syarat: $x \geq 2$
Isolasi: $\sqrt{x+3} = 5 – \sqrt{x-2}$
Kuadratkan: $x+3 = 25 – 10\sqrt{x-2} + x – 2$
$10\sqrt{x-2} = 20 \Rightarrow \sqrt{x-2} = 2$
$x – 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
Verifikasi: $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$ ✓
Jawaban: $x = 6$
2. Selesaikan $\sqrt{2x+5} – \sqrt{x-1} = \sqrt{x+2}$
Syarat: $x \geq 1$
Pindah: $\sqrt{2x+5} = \sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}$
Kuadratkan: $2x+5 = (x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-1)} + (x-1)$
$2x+5 = 2x+1 + 2\sqrt{(x+2)(x-1)}$
$4 = 2\sqrt{(x+2)(x-1)} \Rightarrow 2 = \sqrt{(x+2)(x-1)}$
$4 = x^2 + x – 2 \Rightarrow x^2 + x – 6 = 0$
$(x+3)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 2$ (karena $x \geq 1$)
Verifikasi: $\sqrt{9} – \sqrt{1} = 3 – 1 = 2$ dan $\sqrt{4} = 2$ ✓
Jawaban: $x = 2$
3. Selesaikan $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = \sqrt{5x+4}$
Syarat: $x \geq -1$
Kuadratkan: $(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(2x+3)} + (2x+3) = 5x+4$
$3x + 4 + 2\sqrt{(x+1)(2x+3)} = 5x + 4$
$2\sqrt{(x+1)(2x+3)} = 2x$
$\sqrt{(x+1)(2x+3)} = x$, syarat $x \geq 0$
Kuadratkan: $2x^2 + 5x + 3 = x^2 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 = 0$
Tunggu, koreksi: $(x+1)(2x+3) = x^2 \Rightarrow 2x^2+5x+3 = x^2 \Rightarrow x^2+5x+3=0$
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$
$x = \frac{-5+\sqrt{13}}{2} \approx -0{,}7$ (tidak memenuhi $x \geq 0$) ✗
$x = \frac{-5-\sqrt{13}}{2} < 0$ ✗
Cek $x = 0$: $1 + \sqrt{3} \neq 2$. Tidak ada solusi? Mari periksa ulang.
Periksa $x = 0$: kiri $= 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}73$, kanan $= 2$. Tidak sama.
Jawaban: Tidak ada solusi (himpunan penyelesaian kosong)
4. Selesaikan $\sqrt{x+5} + \sqrt{3-x} = 4$
Syarat: $x + 5 \geq 0$ dan $3 – x \geq 0 \Rightarrow -5 \leq x \leq 3$
Kuadratkan: $(x+5) + 2\sqrt{(x+5)(3-x)} + (3-x) = 16$
$8 + 2\sqrt{(x+5)(3-x)} = 16$
$\sqrt{(x+5)(3-x)} = 4$
$(x+5)(3-x) = 16 \Rightarrow -x^2 – 2x + 15 = 16$
$x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$
Verifikasi: $\sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$ ✓
Jawaban: $x = -1$
5. Selesaikan $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x+4} = \sqrt{9x+1}$
Syarat: $x \geq -\frac{1}{2}$
Kuadratkan: $(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x+4)} + (x+4) = 9x+1$
$3x + 5 + 2\sqrt{(2x+1)(x+4)} = 9x + 1$
$2\sqrt{(2x+1)(x+4)} = 6x – 4$
$\sqrt{(2x+1)(x+4)} = 3x – 2$, syarat $x \geq \frac{2}{3}$
Kuadratkan: $2x^2 + 9x + 4 = 9x^2 – 12x + 4$
$7x^2 – 21x = 0 \Rightarrow 7x(x-3) = 0$
$x = 0$ (tidak memenuhi $x \geq \frac{2}{3}$) ✗
$x = 3$: Verifikasi $\sqrt{7} + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ dan $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ ✓
Jawaban: $x = 3$
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Periksa jawaban Anda dengan verifikasi substitusi.
Mudah
- Selesaikan $\sqrt{x} = 7$
- Selesaikan $\sqrt{x+2} = 3$
- Selesaikan $\sqrt{4x} = 8$
- Selesaikan $\sqrt{x-3} = 5$
- Selesaikan $\sqrt{2x+6} = 4$
Sedang
- Selesaikan $\sqrt{3x-2} = x – 2$
- Selesaikan $\sqrt{x+6} = \sqrt{3x-2}$
- Selesaikan $\sqrt{4x+1} = 2x – 1$
- Selesaikan $\sqrt{x+5} – 1 = \sqrt{x}$
- Selesaikan $\sqrt{2x+7} = x + 2$
Sulit
- Selesaikan $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = 5$
- Selesaikan $\sqrt{3x+4} – \sqrt{x+3} = 1$
- Selesaikan $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = \sqrt{5x+4}$
- Selesaikan $\sqrt{x+8} + \sqrt{x+3} = 5$
- Selesaikan $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = \sqrt{6x+10}$