Domain Bentuk Akar
Materi Matematika
A. Pengertian Domain Bentuk Akar
Mengamati
Perhatikan fungsi-fungsi berikut:
- f(x) = √(x − 3)
- g(x) = √(2x + 4)
- h(x) = √(6 − x)
Apakah semua nilai x bisa dimasukkan ke dalam fungsi-fungsi di atas? Coba masukkan x = 1 ke f(x). Apa yang terjadi?
f(1) = √(1 − 3) = √(−2) → tidak terdefinisi di bilangan real!
Definisi Domain
Domain (daerah asal) suatu fungsi adalah himpunan semua nilai x yang dapat dimasukkan ke dalam fungsi sehingga menghasilkan nilai real.
Untuk fungsi bentuk akar f(x) = √(g(x)), domain ditentukan oleh syarat:
g(x) ≥ 0
Artinya, ekspresi di dalam tanda akar harus lebih besar atau sama dengan nol.
Menanya
Pertanyaan kunci yang perlu dijawab:
- Mengapa ekspresi di dalam akar harus ≥ 0?
- Bagaimana cara menentukan nilai x yang memenuhi syarat tersebut?
- Bagaimana jika bentuk akar berada di penyebut pecahan?
Alasan Syarat g(x) ≥ 0
Di dalam sistem bilangan real (ℝ), akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi. Contoh:
- √4 = 2 ✓ (terdefinisi)
- √0 = 0 ✓ (terdefinisi)
- √(−4) = ? ✗ (tidak terdefinisi di ℝ)
B. Langkah-Langkah Menentukan Domain Bentuk Akar
Menalar
Untuk menentukan domain fungsi bentuk akar, ikuti langkah berikut:
Tentukan g(x) dari f(x) = √(g(x))
Tuliskan syarat g(x) ≥ 0
Cari nilai x yang memenuhi
Contoh: Df = {x | x ≥ 3, x ∈ ℝ} atau Df = [3, ∞)
Kasus Khusus: Bentuk Akar di Penyebut
Untuk f(x) = a√(g(x)), syarat domain menjadi:
g(x) > 0 (bukan ≥ 0, karena penyebut tidak boleh nol)
Kasus: Penjumlahan Dua Bentuk Akar
Untuk f(x) = √(g(x)) + √(h(x)), syarat domain adalah:
g(x) ≥ 0 DAN h(x) ≥ 0 (irisan kedua syarat)
C. Ringkasan Syarat Domain
| Bentuk Fungsi | Syarat Domain | Notasi Interval |
|---|---|---|
| f(x) = √(ax + b) | ax + b ≥ 0 | [−b/a, ∞) jika a > 0 |
| f(x) = √(ax² + bx + c) | ax² + bx + c ≥ 0 | Bergantung pada D dan a |
| f(x) = 1/√(ax + b) | ax + b > 0 | (−b/a, ∞) jika a > 0 |
| f(x) = √(g(x)) + √(h(x)) | g(x) ≥ 0 ∩ h(x) ≥ 0 | Irisan dua interval |
D. Contoh Penerapan
Mencoba
Mari kita coba menentukan domain beberapa fungsi bentuk akar berikut secara bertahap.
Contoh Penerapan 1:
Tentukan domain f(x) = √(x − 5)
Langkah 1: Ekspresi dalam akar: g(x) = x − 5
Langkah 2: Syarat: x − 5 ≥ 0
Langkah 3: x ≥ 5
Langkah 4: Df = {x | x ≥ 5, x ∈ ℝ} = [5, ∞)
Contoh Penerapan 2:
Tentukan domain f(x) = √(4 − 2x)
Langkah 1: Ekspresi dalam akar: g(x) = 4 − 2x
Langkah 2: Syarat: 4 − 2x ≥ 0
Langkah 3: −2x ≥ −4 → x ≤ 2 (tanda berubah karena dibagi bilangan negatif)
Langkah 4: Df = {x | x ≤ 2, x ∈ ℝ} = (−∞, 2]
Contoh Penerapan 3:
Tentukan domain f(x) = 1√(x + 3)
Langkah 1: Bentuk akar di penyebut, g(x) = x + 3
Langkah 2: Syarat: x + 3 > 0 (menggunakan > karena di penyebut)
Langkah 3: x > −3
Langkah 4: Df = {x | x > −3, x ∈ ℝ} = (−3, ∞)
Mengkomunikasikan
Setelah memahami konsep di atas, cobalah jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa domain f(x) = √(x − 5) dimulai dari x = 5 dan bukan dari x = 0?
- Apa perbedaan syarat domain jika bentuk akar ada di pembilang vs di penyebut?
- Bagaimana cara menggambarkan domain pada garis bilangan?
Ilustrasi Garis Bilangan untuk Df = [5, ∞)
Titik bulat penuh (●) artinya titik termasuk domain (≥)
E. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = √(x − 2)
Lihat Pembahasan
Syarat: x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
Df = [2, ∞)
Soal 2:
Tentukan domain dari f(x) = √(3x)
Lihat Pembahasan
Syarat: 3x ≥ 0
x ≥ 0
Df = [0, ∞)
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = √(x + 7)
Lihat Pembahasan
Syarat: x + 7 ≥ 0
x ≥ −7
Df = [−7, ∞)
Soal 4:
Tentukan domain dari f(x) = √(10 − x)
Lihat Pembahasan
Syarat: 10 − x ≥ 0
−x ≥ −10
x ≤ 10
Df = (−∞, 10]
Soal 5:
Tentukan domain dari f(x) = √(2x − 6)
Lihat Pembahasan
Syarat: 2x − 6 ≥ 0
2x ≥ 6
x ≥ 3
Df = [3, ∞)
Sedang
Soal 6:
Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 9)
Lihat Pembahasan
Syarat: x² − 9 ≥ 0
(x − 3)(x + 3) ≥ 0
Titik kritis: x = −3 dan x = 3
Uji tanda:
• x < −3: (+)(−) × (−) = (+) ✓
• −3 < x < 3: (+)(−) = (−) ✗
• x > 3: (+)(+) = (+) ✓
Df = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
Soal 7:
Tentukan domain dari f(x) = 1√(2x − 4)
Lihat Pembahasan
Bentuk akar di penyebut, syarat: 2x − 4 > 0
2x > 4
x > 2
Df = (2, ∞)
Soal 8:
Tentukan domain dari f(x) = √(x − 1) + √(5 − x)
Lihat Pembahasan
Syarat 1: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
Syarat 2: 5 − x ≥ 0 → x ≤ 5
Irisan: 1 ≤ x ≤ 5
Df = [1, 5]
Soal 9:
Tentukan domain dari f(x) = √(6x − x²)
Lihat Pembahasan
Syarat: 6x − x² ≥ 0
x(6 − x) ≥ 0
Titik kritis: x = 0 dan x = 6
Karena koefisien x² negatif (parabola terbuka ke bawah), fungsi ≥ 0 di antara akar-akar.
Df = [0, 6]
Soal 10:
Tentukan domain dari f(x) = √(x + 2) / (x − 4)
Lihat Pembahasan
Syarat 1 (akar): x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
Syarat 2 (penyebut ≠ 0): x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4
Gabungan: x ≥ −2 dan x ≠ 4
Df = [−2, 4) ∪ (4, ∞)
Sulit
Soal 11:
Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 5x + 6)
Lihat Pembahasan
Syarat: x² − 5x + 6 ≥ 0
Faktorkan: (x − 2)(x − 3) ≥ 0
Titik kritis: x = 2 dan x = 3
Koefisien x² positif (parabola terbuka ke atas), maka fungsi ≥ 0 di luar akar-akar.
Uji: x=0 → (−2)(−3)=6 ≥ 0 ✓; x=2.5 → (0.5)(−0.5)=−0.25 < 0 ✗
Df = (−∞, 2] ∪ [3, ∞)
Soal 12:
Tentukan domain dari f(x) = √(x + 1)√(3 − x)
Lihat Pembahasan
Syarat 1 (pembilang): x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1
Syarat 2 (penyebut, akar di penyebut): 3 − x > 0 → x < 3
Irisan: −1 ≤ x < 3
Df = [−1, 3)
Soal 13:
Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 4x − 5)
Lihat Pembahasan
Syarat: x² − 4x − 5 ≥ 0
Faktorkan: (x − 5)(x + 1) ≥ 0
Titik kritis: x = −1 dan x = 5
Koefisien x² positif → fungsi ≥ 0 di luar akar-akar
Uji: x=0 → (−5)(1)=−5 < 0 ✗; x=−2 → (−7)(−1)=7 ≥ 0 ✓
Df = (−∞, −1] ∪ [5, ∞)
Soal 14:
Tentukan domain dari f(x) = √(2x − 1) + 1√(7 − x)
Lihat Pembahasan
Syarat 1 (akar pertama): 2x − 1 ≥ 0 → x ≥ ½
Syarat 2 (akar di penyebut): 7 − x > 0 → x < 7
Irisan: ½ ≤ x < 7
Df = [½, 7)
Soal 15:
Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 1)√(4 − x²)
Lihat Pembahasan
Syarat 1 (pembilang): x² − 1 ≥ 0 → (x−1)(x+1) ≥ 0 → x ≤ −1 atau x ≥ 1
Syarat 2 (penyebut): 4 − x² > 0 → x² < 4 → −2 < x < 2
Irisan syarat 1 dan syarat 2:
• x ≤ −1 DAN −2 < x < 2 → −2 < x ≤ −1
• x ≥ 1 DAN −2 < x < 2 → 1 ≤ x < 2
Df = (−2, −1] ∪ [1, 2)
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas. Tuliskan jawabanmu dalam notasi himpunan dan notasi interval.
Mudah
- Tentukan domain dari f(x) = √(x − 4)
- Tentukan domain dari f(x) = √(5x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x + 10)
- Tentukan domain dari f(x) = √(8 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(3x − 12)
Sedang
- Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 16)
- Tentukan domain dari f(x) = 1√(5x − 10)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x − 2) + √(8 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 2x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(3x + 6) / (x − 5)
Sulit
- Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 7x + 10)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x − 1)√(6 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x² + 2x − 8)
- Tentukan domain dari f(x) = √(3x − 2) + 1√(10 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = √(x² − 4)√(9 − x²)