Operasi Campuran pada Bentuk Akar
Materi Matematika — Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
📖 Materi: Operasi Campuran pada Bentuk Akar
A. Pendahuluan
Operasi campuran pada bentuk akar adalah operasi yang menggabungkan dua atau lebih jenis operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemangkatan) dalam satu ekspresi yang mengandung bentuk akar.
Untuk menyelesaikan operasi campuran pada bentuk akar, kita perlu memahami dan menerapkan:
- Aturan urutan operasi (PEMDAS/KuKaBaTaKu)
- Sifat-sifat operasi pada bentuk akar
- Teknik menyederhanakan bentuk akar
- Merasionalkan penyebut
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ekspresi berikut dan amati operasi apa saja yang terlibat:
1. 2√3 + 4√3 × √2
2. (√5 + √2)(√5 − √2) + 3√5
3. √12 + √27√3 − √48
Dari pengamatan di atas, setiap ekspresi mengandung lebih dari satu jenis operasi yang harus diselesaikan dengan urutan tertentu.
B. Aturan Urutan Operasi pada Bentuk Akar
❓ Kegiatan: Menanya
Bagaimana urutan pengerjaan yang benar ketika ada beberapa operasi dalam satu ekspresi bentuk akar? Apakah sama dengan aturan operasi bilangan biasa?
Aturan urutan operasi pada bentuk akar sama dengan aturan operasi bilangan biasa:
Urutan Operasi (KuKaBaTaKu):
- Kurung — Kerjakan isi kurung terlebih dahulu
- Pangkat/Akar — Kerjakan perpangkatan dan bentuk akar
- Perkalian & Pembagian — Dari kiri ke kanan
- Penjumlahan & Pengurangan — Dari kiri ke kanan
💡 Kegiatan: Menalar
Mengapa urutan operasi penting dalam bentuk akar? Perhatikan contoh berikut:
Ekspresi: 2√3 + 4√3 × √2
• Jika dikerjakan dari kiri: (2√3 + 4√3) × √2 = 6√3 × √2 = 6√6 ❌ (salah)
• Jika mengikuti urutan operasi: 2√3 + (4√3 × √2) = 2√3 + 4√6 ✅ (benar)
Perkalian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan!
C. Sifat-Sifat yang Digunakan dalam Operasi Campuran
Berikut sifat-sifat penting yang sering digunakan:
Sifat-Sifat Operasi Bentuk Akar:
| 1. | √a × √b = √(a×b) | Perkalian akar |
| 2. | √a ÷ √b = √(a/b) | Pembagian akar |
| 3. | a√c ± b√c = (a±b)√c | Penjumlahan/pengurangan sejenis |
| 4. | (√a + √b)(√a − √b) = a − b | Selisih kuadrat |
| 5. | (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b | Kuadrat jumlah |
| 6. | (√a − √b)² = a − 2√(ab) + b | Kuadrat selisih |
| 7. | 1√a ± √b = √a ∓ √ba − b | Rasionalisasi |
D. Langkah-Langkah Menyelesaikan Operasi Campuran
✏️ Kegiatan: Mencoba
Mari kita coba menyelesaikan: √12 × √3 + √75 − √27
Langkah Sistematis:
- Identifikasi semua operasi yang ada dalam ekspresi
- Tentukan urutan pengerjaan berdasarkan KuKaBaTaKu
- Sederhanakan setiap bentuk akar jika memungkinkan
- Kerjakan perkalian/pembagian terlebih dahulu
- Kerjakan penjumlahan/pengurangan bentuk akar sejenis
- Sederhanakan hasil akhir
Penyelesaian: √12 × √3 + √75 − √27
Langkah 1: Identifikasi operasi → perkalian, penjumlahan, pengurangan
Langkah 2: Kerjakan perkalian dulu → √12 × √3 = √(12×3) = √36 = 6
Langkah 3: Sederhanakan akar → √75 = 5√3, √27 = 3√3
Langkah 4: Substitusi → 6 + 5√3 − 3√3
Langkah 5: Jumlahkan sejenis → 6 + 2√3
Jawaban: 6 + 2√3
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu:
- Mengapa √12 × √3 dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan?
- Mengapa 6 dan 2√3 tidak bisa dijumlahkan menjadi satu suku?
- Apa yang dimaksud dengan “bentuk akar sejenis”?
E. Operasi Campuran yang Melibatkan Kurung
Ketika ekspresi mengandung tanda kurung, isi kurung harus dikerjakan terlebih dahulu, baru kemudian operasi di luar kurung.
Pola Umum:
• (a√m + b√n)(c√m + d√n) → gunakan distributif/FOIL
• (a√m + b√n)² → gunakan rumus kuadrat jumlah/selisih
• k(a√m + b√n) → gunakan distributif
Contoh: (√3 + √2)(√3 − √2) + (√5)²
Langkah 1: Kerjakan kurung pertama → (√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1
Langkah 2: Kerjakan pangkat → (√5)² = 5
Langkah 3: Jumlahkan → 1 + 5 = 6
Jawaban: 6
F. Operasi Campuran yang Melibatkan Pembagian dan Rasionalisasi
Ketika operasi campuran mengandung pembagian bentuk akar, seringkali kita perlu merasionalkan penyebut terlebih dahulu sebelum melakukan operasi lain.
Teknik Rasionalisasi dalam Operasi Campuran:
• Jika penyebut = √a → kalikan dengan √a√a
• Jika penyebut = √a + √b → kalikan dengan √a − √b√a − √b
• Jika penyebut = √a − √b → kalikan dengan √a + √b√a + √b
Contoh: 6√3 + √12 − 2√3
Langkah 1: Rasionalkan pecahan pertama → 6√3 × √3√3 = 6√33 = 2√3
Langkah 2: Sederhanakan √12 = 2√3
Langkah 3: Rasionalkan pecahan ketiga → 2√3 × √3√3 = 2√33
Langkah 4: Gabungkan → 2√3 + 2√3 − 2√33 = 4√3 − 2√33
Langkah 5: Samakan penyebut → 12√33 − 2√33 = 10√33
Jawaban: 10√33
G. Tips Penting dan Kesalahan Umum
✅ Tips Penting:
- Selalu sederhanakan bentuk akar terlebih dahulu
- Perhatikan urutan operasi dengan teliti
- Bentuk akar hanya bisa dijumlahkan/dikurangkan jika sejenis
- Gunakan sifat distributif untuk perkalian dengan kurung
- Rasionalkan penyebut sebelum menjumlahkan pecahan bentuk akar
❌ Kesalahan Umum:
| Salah | Benar |
|---|---|
| √3 + √5 = √8 | √3 + √5 (tidak bisa disederhanakan) |
| 2√3 × 3√3 = 6√3 | 2√3 × 3√3 = 6 × 3 = 18 |
| (√2 + √3)² = 2 + 3 = 5 | (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 |
| √(a+b) = √a + √b | √(a+b) ≠ √a + √b |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1:
Sederhanakan: 3√2 + 2√2 × √2
Pembahasan:
Kerjakan perkalian dulu: 2√2 × √2 = 2 × (√2 × √2) = 2 × 2 = 4
Kemudian penjumlahan: 3√2 + 4
Jawaban: 4 + 3√2
Soal 2:
Sederhanakan: √8 + √18 − √2
Pembahasan:
Sederhanakan: √8 = 2√2, √18 = 3√2
Substitusi: 2√2 + 3√2 − √2
Jumlahkan sejenis: (2 + 3 − 1)√2 = 4√2
Jawaban: 4√2
Soal 3:
Sederhanakan: √5 × √3 + √15
Pembahasan:
Kerjakan perkalian: √5 × √3 = √15
Penjumlahan: √15 + √15 = 2√15
Jawaban: 2√15
Soal 4:
Sederhanakan: 2(√3 + √7) − √3
Pembahasan:
Distributif: 2√3 + 2√7 − √3
Jumlahkan sejenis: (2−1)√3 + 2√7 = √3 + 2√7
Jawaban: √3 + 2√7
Soal 5:
Sederhanakan: √50√2 + √8
Pembahasan:
Pembagian: √50 ÷ √2 = √(50/2) = √25 = 5
Sederhanakan: √8 = 2√2
Hasil: 5 + 2√2
Jawaban: 5 + 2√2
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 1:
Sederhanakan: (√6 + √2)(√6 − √2) + 3√2 × √8
Pembahasan:
Kurung (selisih kuadrat): (√6 + √2)(√6 − √2) = 6 − 2 = 4
Perkalian: 3√2 × √8 = 3√16 = 3 × 4 = 12
Penjumlahan: 4 + 12 = 16
Jawaban: 16
Soal 2:
Sederhanakan: (√3 + 1)² − 2√3
Pembahasan:
Kuadrat: (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
Pengurangan: (4 + 2√3) − 2√3 = 4
Jawaban: 4
Soal 3:
Sederhanakan: √12 + √48√3 + √27
Pembahasan:
Sederhanakan pembilang: √12 = 2√3, √48 = 4√3 → pembilang = 6√3
Pembagian: 6√3√3 = 6
Sederhanakan: √27 = 3√3
Penjumlahan: 6 + 3√3
Jawaban: 6 + 3√3
Soal 4:
Sederhanakan: 4√5 − 1 + √5
Pembahasan:
Rasionalkan: 4√5 − 1 × √5 + 1√5 + 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = 4(√5 + 1)4 = √5 + 1
Penjumlahan: (√5 + 1) + √5 = 2√5 + 1
Jawaban: 2√5 + 1
Soal 5:
Sederhanakan: √2(√6 + √10) − √12
Pembahasan:
Distributif: √2 × √6 + √2 × √10 = √12 + √20
Sederhanakan: √12 = 2√3, √20 = 2√5
Substitusi: 2√3 + 2√5 − √12 = 2√3 + 2√5 − 2√3
Jumlahkan sejenis: 2√5
Jawaban: 2√5
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 1:
Sederhanakan: 1√2 + √3 + 1√3 + √4
Pembahasan:
Rasionalkan pecahan 1: 1√2 + √3 × √3 − √2√3 − √2 = √3 − √23 − 2 = √3 − √2
Rasionalkan pecahan 2: 1√3 + √4 × √4 − √3√4 − √3 = 2 − √34 − 3 = 2 − √3
Jumlahkan: (√3 − √2) + (2 − √3) = 2 − √2
Jawaban: 2 − √2
Soal 2:
Sederhanakan: (2√3 − √2)² + (√3 + √2)(√3 − √2) × 2
Pembahasan:
Kuadrat: (2√3 − √2)² = 4(3) − 2(2√3)(√2) + 2 = 12 − 4√6 + 2 = 14 − 4√6
Selisih kuadrat: (√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1
Perkalian: 1 × 2 = 2
Penjumlahan: (14 − 4√6) + 2 = 16 − 4√6
Jawaban: 16 − 4√6
Soal 3:
Sederhanakan: √5 + √3√5 − √3 − √5 − √3√5 + √3
Pembahasan:
Rasionalkan pecahan 1: (√5 + √3)²(√5 − √3)(√5 + √3) = 5 + 2√15 + 35 − 3 = 8 + 2√152 = 4 + √15
Rasionalkan pecahan 2: (√5 − √3)²(√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 2√15 + 32 = 8 − 2√152 = 4 − √15
Pengurangan: (4 + √15) − (4 − √15) = 2√15
Jawaban: 2√15
Soal 4:
Sederhanakan: (√2 + √3 + √5)(√2 + √3 − √5)
Pembahasan:
Kelompokkan: [(√2 + √3) + √5][(√2 + √3) − √5]
Selisih kuadrat: (√2 + √3)² − (√5)²
Hitung: (2 + 2√6 + 3) − 5 = 5 + 2√6 − 5 = 2√6
Jawaban: 2√6
Soal 5:
Sederhanakan: 2√6 − √2 × √3 + (√3 + 1)²√3
Pembahasan:
Rasionalkan pecahan 1: 2(√6 + √2)(√6)² − (√2)² = 2(√6 + √2)4 = √6 + √22
Kalikan √3: (√6 + √2) × √32 = √18 + √62 = 3√2 + √62
Pecahan 2: (√3 + 1)²√3 = 3 + 2√3 + 1√3 = 4 + 2√3√3
Rasionalkan: (4 + 2√3)√33 = 4√3 + 63
Jumlah: 3√2 + √62 + 4√3 + 63 = 3(3√2 + √6) + 2(4√3 + 6)6
= 9√2 + 3√6 + 8√3 + 126
Jawaban: 9√2 + 3√6 + 8√3 + 126
✍️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas. Tulis jawabanmu di buku latihan.
Mudah Latihan Tingkat Mudah
- Sederhanakan: 5√3 − √3 × √3 + 2√3
- Sederhanakan: √20 + √45 − √5 × 2
- Sederhanakan: √72√2 − √18 + √2
- Sederhanakan: 3(√2 + √5) − 2√2
- Sederhanakan: √7 × √7 + 2√7 − √28
Sedang Latihan Tingkat Sedang
- Sederhanakan: (√5 + 2)² − 4√5
- Sederhanakan: (√7 + √3)(√7 − √3) + √12 × √3
- Sederhanakan: 6√3 + 1 − √3
- Sederhanakan: √3(2√6 − √12) + √8 × √2
- Sederhanakan: √75 − √27√3 × 2 + √12
Sulit Latihan Tingkat Sulit
- Sederhanakan: 1√5 + √3 + 1√5 − √3 − √5
- Sederhanakan: (√2 + √3)² × (√2 − √3)² + 2√6
- Sederhanakan: √7 + √5√7 − √5 + √7 − √5√7 + √5
- Sederhanakan: (√3 + √2 + 1)(√3 + √2 − 1) − 2√6
- Sederhanakan: 3√5 − √2 × √5 + √22 + (√10)²√5