Matematika — Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Akar
Materi runtut, contoh soal bertingkat, dan latihan khusus tentang operasi tambah dan kurang pada bentuk akar.
Notasi yang akan dipakai
Fokus artikel ini hanya pada menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar sejenis.
A. Materi Inti
1. Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar adalah bentuk bilangan yang memuat tanda akar, misalnya √2, √3, √5, dan 2√7. Dalam pembahasan ini, kita hanya fokus pada cara menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar.
2. Ide Dasar Operasi Bentuk Akar
Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bagian akarnya sama. Bagian yang berada di luar akar disebut koefisien, sedangkan bagian di dalam akar disebut radikan.
| Bentuk | Koefisien | Radikan | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 3√2 | 3 | 2 | Dibaca tiga akar dua |
| 5√2 | 5 | 2 | Sejenis dengan 3√2 |
| 4√3 | 4 | 3 | Tidak sejenis dengan 3√2 |
3. Bentuk Akar Sejenis
Dua atau lebih bentuk akar disebut sejenis apabila memiliki radikan yang sama. Contoh:
- 2√3 dan 7√3 sejenis karena sama-sama memiliki √3.
- 4√5 dan 9√5 sejenis karena sama-sama memiliki √5.
- 3√2 dan 3√7 tidak sejenis karena radikannya berbeda.
4. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan
Jika bentuk akarnya sejenis, jumlahkan atau kurangkan koefisiennya saja. Bagian akarnya tetap.
Penjumlahan
a√b + c√b = (a + c)√b
Pengurangan
a√b − c√b = (a − c)√b
5. Jika Bentuk Akar Belum Sejenis
Kadang bentuk akar terlihat berbeda, tetapi bisa disederhanakan terlebih dahulu agar menjadi sejenis. Misalnya:
√8 + √18
Karena √8 = √(4 × 2) = 2√2 dan √18 = √(9 × 2) = 3√2, maka:
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
B. Kegiatan Pembelajaran 5M
1. Mengamati
Amati bentuk berikut: 3√2 + 5√2 dan 3√2 + 5√3. Pada bentuk pertama, akarnya sama yaitu √2. Pada bentuk kedua, akarnya berbeda yaitu √2 dan √3.
2. Menanya
Mengapa 3√2 + 5√2 dapat langsung dijumlahkan, sedangkan 3√2 + 5√3 tidak dapat langsung dijumlahkan?
3. Menalar
Bentuk akar sejenis bekerja seperti suku sejenis pada aljabar. Misalnya 3x + 5x = 8x. Dengan cara yang sama, 3√2 + 5√2 = 8√2.
4. Mencoba
Coba hitung: 6√5 − 2√5. Karena bagian akarnya sama, cukup kurangkan koefisiennya: (6 − 2)√5 = 4√5.
5. Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan bahasamu sendiri bahwa bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan secara langsung jika bagian akarnya sama. Jika belum sama, sederhanakan terlebih dahulu bila memungkinkan.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah
1. Hitunglah 2√3 + 4√3.
Pembahasan: Kedua bentuk memiliki akar yang sama, yaitu √3. Jumlahkan koefisiennya: 2 + 4 = 6. Jadi, hasilnya 6√3.
2. Hitunglah 7√2 − 3√2.
Pembahasan: Akarnya sama, yaitu √2. Kurangkan koefisiennya: 7 − 3 = 4. Jadi, hasilnya 4√2.
3. Hitunglah 5√5 + √5.
Pembahasan: Ingat bahwa √5 = 1√5. Maka 5√5 + 1√5 = 6√5.
4. Hitunglah 9√7 − 2√7.
Pembahasan: Karena akarnya sama, koefisiennya dikurangkan: 9 − 2 = 7. Jadi, hasilnya 7√7.
5. Hitunglah 3√11 + 6√11.
Pembahasan: Bentuk akarnya sejenis. Maka 3√11 + 6√11 = 9√11.
Contoh Soal Sedang
1. Hitunglah 4√2 + 3√2 − √2.
Pembahasan: Semua memiliki akar √2. Koefisiennya adalah 4 + 3 − 1 = 6. Jadi, hasilnya 6√2.
2. Hitunglah 8√3 − 5√3 + 2√3.
Pembahasan: Karena semua sejenis, hitung koefisiennya: 8 − 5 + 2 = 5. Jadi, hasilnya 5√3.
3. Hitunglah 6√5 + 2√5 − 4√5.
Pembahasan: Semua memiliki √5. Maka 6 + 2 − 4 = 4. Hasilnya 4√5.
4. Hitunglah 10√7 − 3√7 − 2√7.
Pembahasan: Kurangkan koefisiennya: 10 − 3 − 2 = 5. Jadi, hasilnya 5√7.
5. Hitunglah 2√13 + 9√13 − 4√13.
Pembahasan: Semua sejenis karena memiliki √13. Koefisiennya 2 + 9 − 4 = 7. Jadi, hasilnya 7√13.
Contoh Soal Sulit
1. Hitunglah √8 + √18.
Pembahasan: Sederhanakan dahulu. √8 = √(4×2) = 2√2 dan √18 = √(9×2) = 3√2. Maka 2√2 + 3√2 = 5√2.
2. Hitunglah √20 − √5.
Pembahasan: √20 = √(4×5) = 2√5. Maka 2√5 − √5 = 1√5 = √5.
3. Hitunglah √27 + 2√3 − √12.
Pembahasan: √27 = √(9×3) = 3√3, sedangkan √12 = √(4×3) = 2√3. Maka 3√3 + 2√3 − 2√3 = 3√3.
4. Hitunglah 3√45 − 2√20.
Pembahasan: √45 = √(9×5) = 3√5, sehingga 3√45 = 3×3√5 = 9√5. Lalu √20 = 2√5, sehingga 2√20 = 4√5. Maka hasilnya 9√5 − 4√5 = 5√5.
5. Hitunglah √75 + √48 − √27.
Pembahasan: √75 = √(25×3) = 5√3, √48 = √(16×3) = 4√3, dan √27 = 3√3. Maka 5√3 + 4√3 − 3√3 = 6√3.
D. Latihan Soal Tanpa Pembahasan
Latihan Mudah
- 2√5 + 3√5
- 8√2 − 4√2
- 6√7 + √7
- 9√3 − 2√3
- 4√11 + 5√11
Latihan Sedang
- 5√2 + 4√2 − 3√2
- 10√3 − 6√3 + 2√3
- 7√5 − 2√5 − √5
- 3√13 + 8√13 − 4√13
- 12√7 − 5√7 + √7
Latihan Sulit
- √12 + √27
- √50 − √8
- √45 + √20 − √5
- 2√48 − √27
- √75 − √12 + √3
E. Ringkasan Penting
- Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan langsung jika bagian akarnya sama.
- Yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah koefisiennya saja.
- Bagian akar tetap sama.
- Jika bentuk akar belum sejenis, sederhanakan terlebih dahulu bila memungkinkan.