Bentuk Akar – Bilangan Rasional dan Irasional

Materi Matematika — Disajikan Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan

A. Bilangan Rasional

📐 Mengamati

Pengertian Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan ℚ (dari kata Quotient).

Ciri-ciri bilangan rasional:

Dapat ditulis sebagai pecahan ab, dengan b ≠ 0
Jika dinyatakan dalam bentuk desimal, hasilnya berakhir (desimal terbatas) atau berulang (desimal berulang)
Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional (karena dapat ditulis dengan penyebut 1)

Bilangan	Bentuk Pecahan	Bentuk Desimal	Keterangan
3	31	3,0	Desimal terbatas
−5	−51	−5,0	Desimal terbatas
0,75	34	0,75	Desimal terbatas
0,333…	13	0,3̄	Desimal berulang
1,2727…	1411	1,2̄7̄	Desimal berulang

❓ Menanya

Pertanyaan Pemantik

Apakah semua bilangan bulat termasuk bilangan rasional? Mengapa?
Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu desimal berulang adalah bilangan rasional?
Apakah bilangan 0 termasuk bilangan rasional?

🧠 Menalar

Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan

Desimal berulang dapat diubah menjadi pecahan dengan teknik aljabar:

Contoh: Ubah 0,333… menjadi pecahan

Misalkan x = 0,333…

Maka 10x = 3,333…

10x − x = 3,333… − 0,333…

9x = 3

x = 39 = 13

Contoh: Ubah 0,2727… menjadi pecahan

Misalkan x = 0,2727…

Maka 100x = 27,2727…

100x − x = 27,2727… − 0,2727…

99x = 27

x = 2799 = 311

🔬 Mencoba

Operasi pada Bilangan Rasional

Bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol).

Operasi	Rumus	Contoh
Penjumlahan	ab + cd = ad + bcbd	12 + 13 = 56
Pengurangan	ab − cd = ad − bcbd	34 − 12 = 14
Perkalian	ab × cd = acbd	23 × 35 = 615 = 25
Pembagian	ab ÷ cd = adbc	23 ÷ 45 = 1012 = 56

📢 Mengkomunikasikan

Sifat-Sifat Bilangan Rasional

Sifat Kerapatan (Dense Property): Di antara dua bilangan rasional selalu terdapat bilangan rasional lainnya. Artinya, tidak ada dua bilangan rasional yang bersebelahan pada garis bilangan.
Tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan 0).
Setiap bilangan rasional memiliki invers penjumlahan: Invers penjumlahan dari ab adalah −ab
Setiap bilangan rasional (≠ 0) memiliki invers perkalian: Invers perkalian dari ab adalah ba

📝 Contoh Soal — Bilangan Rasional

● Soal Mudah (1–5)

1. Nyatakan bilangan 5 dalam bentuk pecahan!

Pembahasan:

Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan penyebut 1.

5 = 51

Karena dapat ditulis dalam bentuk ab dengan b ≠ 0, maka 5 adalah bilangan rasional. ✓

2. Apakah 0,5 termasuk bilangan rasional? Jelaskan!

Pembahasan:

0,5 = 510 = 12

Karena 0,5 dapat dinyatakan sebagai pecahan 12, maka 0,5 adalah bilangan rasional. ✓

3. Hitunglah 14 + 24

Pembahasan:

Penyebutnya sama, jadi langsung jumlahkan pembilangnya:

14 + 24 = 1 + 24 = 34 ✓

4. Ubahlah 0,25 menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

0,25 = 25100 = 14 (disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 25) ✓

5. Tentukan hasil dari 23 × 67

Pembahasan:

23 × 67 = 2 × 63 × 7 = 1221 = 47 ✓

● Soal Sedang (6–10)

6. Ubah desimal berulang 0,666… menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

Misal x = 0,666…

10x = 6,666…

10x − x = 6,666… − 0,666…

9x = 6

x = 69 = 23 ✓

7. Ubah desimal berulang 0,1818… menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

Misal x = 0,1818…

100x = 18,1818…

100x − x = 18

99x = 18

x = 1899 = 211 ✓

8. Hitunglah 35 + 27

Pembahasan:

KPK dari 5 dan 7 = 35

35 + 27 = 3×7 + 2×535 = 21 + 1035 = 3135 ✓

9. Tentukan tiga bilangan rasional antara 14 dan 12

Pembahasan:

Samakan penyebut: 14 = 416 dan 12 = 816

Bilangan rasional di antaranya: 516, 616 = 38, 716 ✓

10. Hitunglah 56 ÷ 23

Pembahasan:

56 ÷ 23 = 56 × 32 = 1512 = 54 = 114 ✓

● Soal Sulit (11–15)

11. Ubah desimal berulang 0,5̄3̄ (0,535353…) menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

Misal x = 0,535353…

100x = 53,535353…

100x − x = 53

99x = 53

x = 5399 ✓

12. Ubah 2,1̄6̄ (2,161616…) menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

Misal x = 2,161616…

100x = 216,161616…

100x − x = 216,1616… − 2,1616… = 214

99x = 214

x = 21499 ✓

13. Ubah 0,41̄6̄ (0,41666…) menjadi pecahan biasa!

Pembahasan:

Perhatikan: 0,41666… = 0,41 + 0,00666…

Misal x = 0,41666…

100x = 41,666…

1000x = 416,666…

1000x − 100x = 416,666… − 41,666… = 375

900x = 375

x = 375900 = 512 ✓

14. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional selalu rasional!

Pembahasan:

Misalkan dua bilangan rasional: ab dan cd dengan a, b, c, d ∈ ℤ dan b, d ≠ 0

ab + cd = ad + bcbd

Karena ad + bc ∈ ℤ dan bd ∈ ℤ dengan bd ≠ 0, maka hasilnya berbentuk bilangan bulatbilangan bulat ≠ 0

Jadi jumlah dua bilangan rasional selalu rasional. ✓ (Terbukti)

15. Tentukan semua bilangan rasional pq dengan p + q = 10 dan p, q bilangan bulat positif!

Pembahasan:

Karena p + q = 10 dan p, q > 0, maka kemungkinan pasangan (p, q):

(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)

Bilangan rasional yang terbentuk:

19, 28 = 14, 37, 46 = 23, 55 = 1, 64 = 32, 73, 82 = 4, 91 = 9

Nilai berbeda: 19, 14, 37, 23, 1, 32, 73, 4, 9 ✓

✏️ Latihan Soal — Bilangan Rasional

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

● Mudah

1. Nyatakan −7 dalam bentuk pecahan dan buktikan bahwa −7 adalah bilangan rasional!

2. Ubahlah 0,8 menjadi pecahan biasa!

3. Hitunglah 25 + 15

4. Apakah 0 termasuk bilangan rasional? Jelaskan!

5. Hitunglah 34 × 25

● Sedang

6. Ubah desimal berulang 0,444… menjadi pecahan biasa!

7. Hitunglah 58 − 16

8. Tentukan dua bilangan rasional antara 13 dan 12

9. Ubah 0,7272… menjadi pecahan biasa!

10. Hitunglah 79 ÷ 1427

● Sulit

11. Ubah 1,2̄3̄ (1,232323…) menjadi pecahan biasa!

12. Ubah 0,58̄3̄ (0,58333…) menjadi pecahan biasa!

13. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan rasional selalu rasional!

14. Jika x = 0,9999… (berulang), buktikan bahwa x = 1!

15. Tentukan semua bilangan rasional positif ab dimana a × b = 12 dan a, b bilangan bulat positif!

B. Bilangan Irasional

📐 Mengamati

Pengertian Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ab dengan a, b ∈ ℤ dan b ≠ 0.

Jika dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan irasional memiliki angka desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang (tidak memiliki pola berulang).

Contoh bilangan irasional yang terkenal:

Bilangan	Nilai Pendekatan	Keterangan
√2	1,41421356…	Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna
√3	1,73205080…	Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna
√5	2,23606797…	Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna
π (pi)	3,14159265…	Perbandingan keliling dengan diameter lingkaran
e (Euler)	2,71828182…	Basis logaritma natural
φ (phi)	1,61803398…	Rasio emas = 1 + √52

❓ Menanya

Pertanyaan Pemantik

Mengapa √2 tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan?
Bagaimana cara membedakan bilangan rasional dan irasional dari bentuk desimalnya?
Apakah √4 termasuk bilangan irasional? Mengapa?
Apakah hasil operasi bilangan irasional selalu irasional?

🧠 Menalar

Pembuktian √2 adalah Bilangan Irasional

Kita buktikan dengan kontradiksi (bukti tidak langsung):

Pembuktian:

Andaikan √2 adalah bilangan rasional, maka √2 = ab dengan a, b ∈ ℤ, b ≠ 0, dan FPB(a, b) = 1 (pecahan paling sederhana).

√2 = ab

2 = a²b² → a² = 2b²

Ini berarti a² genap, sehingga a juga genap. Misalkan a = 2k.

(2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → b² = 2k²

Ini berarti b² genap, sehingga b juga genap.

Kontradiksi! Jika a dan b keduanya genap, maka FPB(a, b) ≥ 2, bertentangan dengan asumsi bahwa pecahan sudah paling sederhana.

Kesimpulan: √2 bukan bilangan rasional, jadi √2 adalah bilangan irasional. ∎

🧠 Menalar

Cara Mengidentifikasi Bilangan Irasional

Bilangan √n adalah irasional jika dan hanya jika n bukan bilangan kuadrat sempurna.

Bilangan	Rasional / Irasional	Alasan
√1 = 1	Rasional	1 adalah kuadrat sempurna (1² = 1)
√2	Irasional	2 bukan kuadrat sempurna
√3	Irasional	3 bukan kuadrat sempurna
√4 = 2	Rasional	4 adalah kuadrat sempurna (2² = 4)
√9 = 3	Rasional	9 adalah kuadrat sempurna (3² = 9)
√10	Irasional	10 bukan kuadrat sempurna
√16 = 4	Rasional	16 adalah kuadrat sempurna (4² = 16)

🔬 Mencoba

Operasi pada Bilangan Irasional

Perhatikan aturan berikut:

√a × √b = √(ab), untuk a, b ≥ 0
√a ÷ √b = √(ab), untuk a ≥ 0 dan b > 0
k√a + m√a = (k + m)√a
(√a)² = a
√a + √b ≠ √(a + b) ⚠️ Kesalahan umum!

Merasionalkan Penyebut:

1√a = 1√a × √a√a = √aa

1√a + √b = √a − √ba − b (kalikan dengan sekawan)

📢 Mengkomunikasikan

Perbandingan Bilangan Rasional dan Irasional

Aspek	Bilangan Rasional	Bilangan Irasional
Definisi	Dapat ditulis ab, b ≠ 0	Tidak dapat ditulis sebagai pecahan
Desimal	Berakhir atau berulang	Tidak berakhir, tidak berulang
Contoh	12, 0,75, 0,333…	√2, π, e
Himpunan	ℚ	ℝ \ ℚ (atau ℚ^c)
Kepadatan	Rapat pada garis bilangan	Rapat pada garis bilangan

Catatan Penting: Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk himpunan bilangan real (ℝ).

ℝ = ℚ ∪ ℚ^c

📝 Contoh Soal — Bilangan Irasional

● Soal Mudah (1–5)

1. Tentukan apakah √9 rasional atau irasional!

Pembahasan:

√9 = 3 (karena 3² = 9)

3 = 31, sehingga √9 adalah bilangan rasional. ✓

2. Tentukan apakah √7 rasional atau irasional!

Pembahasan:

7 bukan bilangan kuadrat sempurna (2² = 4 dan 3² = 9, tidak ada bilangan bulat yang dikuadratkan = 7).

Jadi √7 adalah bilangan irasional. ✓

3. Sederhanakan √50!

Pembahasan:

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2 ✓

4. Hitunglah 3√2 + 5√2!

Pembahasan:

3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2 ✓

5. Hitunglah √3 × √12!

Pembahasan:

√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6 ✓

● Soal Sedang (6–10)

6. Rasionalkan penyebut dari 6√3

Pembahasan:

6√3 = 6√3 × √3√3 = 6√33 = 2√3 ✓

7. Sederhanakan √72 + √18!

Pembahasan:

√72 = √(36 × 2) = 6√2

√18 = √(9 × 2) = 3√2

√72 + √18 = 6√2 + 3√2 = 9√2 ✓

8. Hitunglah (2 + √3)(2 − √3)!

Pembahasan:

Menggunakan rumus selisih kuadrat: (a + b)(a − b) = a² − b²

(2 + √3)(2 − √3) = 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1 ✓

9. Tentukan nilai dari √(48) − √(27) + √(75)!

Pembahasan:

√48 = √(16 × 3) = 4√3

√27 = √(9 × 3) = 3√3

√75 = √(25 × 3) = 5√3

= 4√3 − 3√3 + 5√3 = (4 − 3 + 5)√3 = 6√3 ✓

10. Rasionalkan penyebut dari 4√5 − 1

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan (√5 + 1):

4√5 − 1 × √5 + 1√5 + 1 = 4(√5 + 1)(√5)² − 1² = 4√5 + 45 − 1 = 4√5 + 44 = √5 + 1 ✓

● Soal Sulit (11–15)

11. Rasionalkan penyebut dari 3√7 + √3

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan (√7 − √3):

3√7 + √3 × √7 − √3√7 − √3 = 3(√7 − √3)7 − 3 = 3(√7 − √3)4 = 3√7 − 3√34 ✓

12. Jika x = 1√5 − 2, tentukan nilai x² + 4x!

Pembahasan:

Rasionalkan: x = 1√5 − 2 × √5 + 2√5 + 2 = √5 + 25 − 4 = √5 + 2

x = √5 + 2

x − 2 = √5

(x − 2)² = 5

x² − 4x + 4 = 5

x² − 4x = 1

Hmm, soal meminta x² + 4x. Hitung langsung:

x² = (√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5

4x = 4(√5 + 2) = 4√5 + 8

x² + 4x = 9 + 4√5 + 4√5 + 8 = 17 + 8√5 ✓

13. Sederhanakan √(5 + 2√6)1 (bentuk √(5 + 2√6))!

Pembahasan:

Kita cari bentuk √(5 + 2√6) = √a + √b

Kuadratkan: 5 + 2√6 = a + b + 2√(ab)

Maka: a + b = 5 dan ab = 6

Dari persamaan tersebut: a = 3, b = 2 (atau sebaliknya)

Jadi √(5 + 2√6) = √3 + √2 ✓

Verifikasi: (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6 ✓

14. Buktikan bahwa √2 + √3 adalah bilangan irasional!

Pembahasan:

Andaikan √2 + √3 = r (rasional).

Maka √3 = r − √2

Kuadratkan kedua ruas: 3 = r² − 2r√2 + 2

3 = r² + 2 − 2r√2

2r√2 = r² + 2 − 3 = r² − 1

√2 = r² − 12r

Ruas kanan adalah bilangan rasional (karena r rasional), sehingga √2 harus rasional.

Kontradiksi! Kita tahu √2 irasional.

Jadi √2 + √3 adalah bilangan irasional. ∎

15. Sederhanakan 11 + √2 + 1√2 + √3 + 1√3 + √4

Pembahasan:

Rasionalkan masing-masing:

11 + √2 = √2 − 1(√2)² − 1² = √2 − 11 = √2 − 1

1√2 + √3 = √3 − √23 − 2 = √3 − √2

1√3 + √4 = √4 − √34 − 3 = 2 − √3

Jumlahkan: (√2 − 1) + (√3 − √2) + (2 − √3)

= √2 − 1 + √3 − √2 + 2 − √3

= (√2 − √2) + (√3 − √3) + (−1 + 2)

= 0 + 0 + 1 = 1 ✓

(Ini adalah pola teleskopik — suku-suku saling menghapus)

✏️ Latihan Soal — Bilangan Irasional

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

● Mudah

1. Tentukan apakah √25 rasional atau irasional!

2. Tentukan apakah √11 rasional atau irasional!

3. Sederhanakan √32!

4. Hitunglah 7√5 − 3√5!

5. Hitunglah √2 × √8!

● Sedang

6. Rasionalkan penyebut dari 10√5

7. Sederhanakan √98 − √32 + √8!

8. Hitunglah (3 + √2)(3 − √2)!

9. Rasionalkan penyebut dari 5√3 + 1

10. Sederhanakan √(12) + √(27) − √(48)!

● Sulit

11. Rasionalkan penyebut dari 2√11 − √7

12. Sederhanakan √(7 + 4√3)!

13. Jika x = 1√3 − 1, tentukan nilai x² − 2x!

14. Hitunglah 1√2 + √3 + 1√3 + √4 + 1√4 + √5

15. Buktikan bahwa √3 adalah bilangan irasional menggunakan bukti kontradiksi!

One thought on “Bentuk Akar – Bilangan Rasional dan Irasional”

Bentuk Akar – Ngelumath berkata:

Mei 29, 2026 pukul 6:09 pm

[…] 1 Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional 2 Pengertian Bentuk Akar 3 Sifat-Sifat Bentuk Akar 4 Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan […]

Bentuk Akar – Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan Rasional dan Irasional

A. Bilangan Rasional

Pengertian Bilangan Rasional

Pertanyaan Pemantik

Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan

Operasi pada Bilangan Rasional

Sifat-Sifat Bilangan Rasional

📝 Contoh Soal — Bilangan Rasional

● Soal Mudah (1–5)

● Soal Sedang (6–10)

● Soal Sulit (11–15)

✏️ Latihan Soal — Bilangan Rasional

● Mudah

● Sedang

● Sulit

B. Bilangan Irasional

Pengertian Bilangan Irasional

Pertanyaan Pemantik

Pembuktian √2 adalah Bilangan Irasional

Cara Mengidentifikasi Bilangan Irasional

Operasi pada Bilangan Irasional

Perbandingan Bilangan Rasional dan Irasional

📝 Contoh Soal — Bilangan Irasional

● Soal Mudah (1–5)

● Soal Sedang (6–10)

● Soal Sulit (11–15)

✏️ Latihan Soal — Bilangan Irasional

● Mudah

● Sedang

● Sulit

By admin

One thought on “Bentuk Akar – Bilangan Rasional dan Irasional”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Menanti IPO SpaceX: Mengapa Elon Musk Sengaja Menahan ‘Tambang Emas’ Ini dari Wall Street?

Mengapa Harga IPO SpaceX Menjadi Topik yang Paling Dicari Investor Global?

Menilik Misteri Harga Saham SpaceX dan Cara Mengukur Valuasinya

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Peubah, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Bentuk Kuadratnya Dapat Difaktorkan

A. Bilangan Rasional

Pengertian Bilangan Rasional

Pertanyaan Pemantik

Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan

Operasi pada Bilangan Rasional

Sifat-Sifat Bilangan Rasional

📝 Contoh Soal — Bilangan Rasional

● Soal Mudah (1–5)

● Soal Sedang (6–10)

● Soal Sulit (11–15)

✏️ Latihan Soal — Bilangan Rasional

● Mudah

● Sedang

● Sulit

B. Bilangan Irasional

Pengertian Bilangan Irasional

Pertanyaan Pemantik

Pembuktian √2 adalah Bilangan Irasional

Cara Mengidentifikasi Bilangan Irasional

Operasi pada Bilangan Irasional

Perbandingan Bilangan Rasional dan Irasional

📝 Contoh Soal — Bilangan Irasional

● Soal Mudah (1–5)

● Soal Sedang (6–10)

● Soal Sulit (11–15)

✏️ Latihan Soal — Bilangan Irasional

● Mudah

● Sedang

● Sulit

By admin

Related Post

One thought on “Bentuk Akar – Bilangan Rasional dan Irasional”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed