Bilangan Rasional dan Irasional
Materi Matematika — Disajikan Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan
A. Bilangan Rasional
Pengertian Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan ℚ (dari kata Quotient).
Ciri-ciri bilangan rasional:
- Dapat ditulis sebagai pecahan ab, dengan b ≠ 0
- Jika dinyatakan dalam bentuk desimal, hasilnya berakhir (desimal terbatas) atau berulang (desimal berulang)
- Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional (karena dapat ditulis dengan penyebut 1)
| Bilangan | Bentuk Pecahan | Bentuk Desimal | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 3 | 31 | 3,0 | Desimal terbatas |
| −5 | −51 | −5,0 | Desimal terbatas |
| 0,75 | 34 | 0,75 | Desimal terbatas |
| 0,333… | 13 | 0,3̄ | Desimal berulang |
| 1,2727… | 1411 | 1,2̄7̄ | Desimal berulang |
Pertanyaan Pemantik
- Apakah semua bilangan bulat termasuk bilangan rasional? Mengapa?
- Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu desimal berulang adalah bilangan rasional?
- Apakah bilangan 0 termasuk bilangan rasional?
Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan
Desimal berulang dapat diubah menjadi pecahan dengan teknik aljabar:
Contoh: Ubah 0,333… menjadi pecahan
Misalkan x = 0,333…
Maka 10x = 3,333…
10x − x = 3,333… − 0,333…
9x = 3
x = 39 = 13
Contoh: Ubah 0,2727… menjadi pecahan
Misalkan x = 0,2727…
Maka 100x = 27,2727…
100x − x = 27,2727… − 0,2727…
99x = 27
x = 2799 = 311
Operasi pada Bilangan Rasional
Bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol).
| Operasi | Rumus | Contoh |
|---|---|---|
| Penjumlahan | ab + cd = ad + bcbd | 12 + 13 = 56 |
| Pengurangan | ab − cd = ad − bcbd | 34 − 12 = 14 |
| Perkalian | ab × cd = acbd | 23 × 35 = 615 = 25 |
| Pembagian | ab ÷ cd = adbc | 23 ÷ 45 = 1012 = 56 |
Sifat-Sifat Bilangan Rasional
- Sifat Kerapatan (Dense Property): Di antara dua bilangan rasional selalu terdapat bilangan rasional lainnya. Artinya, tidak ada dua bilangan rasional yang bersebelahan pada garis bilangan.
- Tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan 0).
- Setiap bilangan rasional memiliki invers penjumlahan: Invers penjumlahan dari ab adalah −ab
- Setiap bilangan rasional (≠ 0) memiliki invers perkalian: Invers perkalian dari ab adalah ba
📝 Contoh Soal — Bilangan Rasional
● Soal Mudah (1–5)
1. Nyatakan bilangan 5 dalam bentuk pecahan!
Pembahasan:
Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan penyebut 1.
5 = 51
Karena dapat ditulis dalam bentuk ab dengan b ≠ 0, maka 5 adalah bilangan rasional. ✓
2. Apakah 0,5 termasuk bilangan rasional? Jelaskan!
Pembahasan:
0,5 = 510 = 12
Karena 0,5 dapat dinyatakan sebagai pecahan 12, maka 0,5 adalah bilangan rasional. ✓
3. Hitunglah 14 + 24
Pembahasan:
Penyebutnya sama, jadi langsung jumlahkan pembilangnya:
14 + 24 = 1 + 24 = 34 ✓
4. Ubahlah 0,25 menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
0,25 = 25100 = 14 (disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 25) ✓
5. Tentukan hasil dari 23 × 67
Pembahasan:
23 × 67 = 2 × 63 × 7 = 1221 = 47 ✓
● Soal Sedang (6–10)
6. Ubah desimal berulang 0,666… menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
Misal x = 0,666…
10x = 6,666…
10x − x = 6,666… − 0,666…
9x = 6
x = 69 = 23 ✓
7. Ubah desimal berulang 0,1818… menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
Misal x = 0,1818…
100x = 18,1818…
100x − x = 18
99x = 18
x = 1899 = 211 ✓
8. Hitunglah 35 + 27
Pembahasan:
KPK dari 5 dan 7 = 35
35 + 27 = 3×7 + 2×535 = 21 + 1035 = 3135 ✓
9. Tentukan tiga bilangan rasional antara 14 dan 12
Pembahasan:
Samakan penyebut: 14 = 416 dan 12 = 816
Bilangan rasional di antaranya: 516, 616 = 38, 716 ✓
10. Hitunglah 56 ÷ 23
Pembahasan:
56 ÷ 23 = 56 × 32 = 1512 = 54 = 114 ✓
● Soal Sulit (11–15)
11. Ubah desimal berulang 0,5̄3̄ (0,535353…) menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
Misal x = 0,535353…
100x = 53,535353…
100x − x = 53
99x = 53
x = 5399 ✓
12. Ubah 2,1̄6̄ (2,161616…) menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
Misal x = 2,161616…
100x = 216,161616…
100x − x = 216,1616… − 2,1616… = 214
99x = 214
x = 21499 ✓
13. Ubah 0,41̄6̄ (0,41666…) menjadi pecahan biasa!
Pembahasan:
Perhatikan: 0,41666… = 0,41 + 0,00666…
Misal x = 0,41666…
100x = 41,666…
1000x = 416,666…
1000x − 100x = 416,666… − 41,666… = 375
900x = 375
x = 375900 = 512 ✓
14. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional selalu rasional!
Pembahasan:
Misalkan dua bilangan rasional: ab dan cd dengan a, b, c, d ∈ ℤ dan b, d ≠ 0
ab + cd = ad + bcbd
Karena ad + bc ∈ ℤ dan bd ∈ ℤ dengan bd ≠ 0, maka hasilnya berbentuk bilangan bulatbilangan bulat ≠ 0
Jadi jumlah dua bilangan rasional selalu rasional. ✓ (Terbukti)
15. Tentukan semua bilangan rasional pq dengan p + q = 10 dan p, q bilangan bulat positif!
Pembahasan:
Karena p + q = 10 dan p, q > 0, maka kemungkinan pasangan (p, q):
(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)
Bilangan rasional yang terbentuk:
19, 28 = 14, 37, 46 = 23, 55 = 1, 64 = 32, 73, 82 = 4, 91 = 9
Nilai berbeda: 19, 14, 37, 23, 1, 32, 73, 4, 9 ✓
✏️ Latihan Soal — Bilangan Rasional
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
● Mudah
1. Nyatakan −7 dalam bentuk pecahan dan buktikan bahwa −7 adalah bilangan rasional!
2. Ubahlah 0,8 menjadi pecahan biasa!
3. Hitunglah 25 + 15
4. Apakah 0 termasuk bilangan rasional? Jelaskan!
5. Hitunglah 34 × 25
● Sedang
6. Ubah desimal berulang 0,444… menjadi pecahan biasa!
7. Hitunglah 58 − 16
8. Tentukan dua bilangan rasional antara 13 dan 12
9. Ubah 0,7272… menjadi pecahan biasa!
10. Hitunglah 79 ÷ 1427
● Sulit
11. Ubah 1,2̄3̄ (1,232323…) menjadi pecahan biasa!
12. Ubah 0,58̄3̄ (0,58333…) menjadi pecahan biasa!
13. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan rasional selalu rasional!
14. Jika x = 0,9999… (berulang), buktikan bahwa x = 1!
15. Tentukan semua bilangan rasional positif ab dimana a × b = 12 dan a, b bilangan bulat positif!
B. Bilangan Irasional
Pengertian Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ab dengan a, b ∈ ℤ dan b ≠ 0.
Jika dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan irasional memiliki angka desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang (tidak memiliki pola berulang).
Contoh bilangan irasional yang terkenal:
| Bilangan | Nilai Pendekatan | Keterangan |
|---|---|---|
| √2 | 1,41421356… | Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna |
| √3 | 1,73205080… | Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna |
| √5 | 2,23606797… | Akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna |
| π (pi) | 3,14159265… | Perbandingan keliling dengan diameter lingkaran |
| e (Euler) | 2,71828182… | Basis logaritma natural |
| φ (phi) | 1,61803398… | Rasio emas = 1 + √52 |
Pertanyaan Pemantik
- Mengapa √2 tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan?
- Bagaimana cara membedakan bilangan rasional dan irasional dari bentuk desimalnya?
- Apakah √4 termasuk bilangan irasional? Mengapa?
- Apakah hasil operasi bilangan irasional selalu irasional?
Pembuktian √2 adalah Bilangan Irasional
Kita buktikan dengan kontradiksi (bukti tidak langsung):
Pembuktian:
Andaikan √2 adalah bilangan rasional, maka √2 = ab dengan a, b ∈ ℤ, b ≠ 0, dan FPB(a, b) = 1 (pecahan paling sederhana).
√2 = ab
2 = a²b² → a² = 2b²
Ini berarti a² genap, sehingga a juga genap. Misalkan a = 2k.
(2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → b² = 2k²
Ini berarti b² genap, sehingga b juga genap.
Kontradiksi! Jika a dan b keduanya genap, maka FPB(a, b) ≥ 2, bertentangan dengan asumsi bahwa pecahan sudah paling sederhana.
Kesimpulan: √2 bukan bilangan rasional, jadi √2 adalah bilangan irasional. ∎
Cara Mengidentifikasi Bilangan Irasional
Bilangan √n adalah irasional jika dan hanya jika n bukan bilangan kuadrat sempurna.
| Bilangan | Rasional / Irasional | Alasan |
|---|---|---|
| √1 = 1 | Rasional | 1 adalah kuadrat sempurna (1² = 1) |
| √2 | Irasional | 2 bukan kuadrat sempurna |
| √3 | Irasional | 3 bukan kuadrat sempurna |
| √4 = 2 | Rasional | 4 adalah kuadrat sempurna (2² = 4) |
| √9 = 3 | Rasional | 9 adalah kuadrat sempurna (3² = 9) |
| √10 | Irasional | 10 bukan kuadrat sempurna |
| √16 = 4 | Rasional | 16 adalah kuadrat sempurna (4² = 16) |
Operasi pada Bilangan Irasional
Perhatikan aturan berikut:
- √a × √b = √(ab), untuk a, b ≥ 0
- √a ÷ √b = √(ab), untuk a ≥ 0 dan b > 0
- k√a + m√a = (k + m)√a
- (√a)² = a
- √a + √b ≠ √(a + b) ⚠️ Kesalahan umum!
Merasionalkan Penyebut:
1√a = 1√a × √a√a = √aa
1√a + √b = √a − √ba − b (kalikan dengan sekawan)
Perbandingan Bilangan Rasional dan Irasional
| Aspek | Bilangan Rasional | Bilangan Irasional |
|---|---|---|
| Definisi | Dapat ditulis ab, b ≠ 0 | Tidak dapat ditulis sebagai pecahan |
| Desimal | Berakhir atau berulang | Tidak berakhir, tidak berulang |
| Contoh | 12, 0,75, 0,333… | √2, π, e |
| Himpunan | ℚ | ℝ \ ℚ (atau ℚc) |
| Kepadatan | Rapat pada garis bilangan | Rapat pada garis bilangan |
Catatan Penting: Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk himpunan bilangan real (ℝ).
ℝ = ℚ ∪ ℚc
📝 Contoh Soal — Bilangan Irasional
● Soal Mudah (1–5)
1. Tentukan apakah √9 rasional atau irasional!
Pembahasan:
√9 = 3 (karena 3² = 9)
3 = 31, sehingga √9 adalah bilangan rasional. ✓
2. Tentukan apakah √7 rasional atau irasional!
Pembahasan:
7 bukan bilangan kuadrat sempurna (2² = 4 dan 3² = 9, tidak ada bilangan bulat yang dikuadratkan = 7).
Jadi √7 adalah bilangan irasional. ✓
3. Sederhanakan √50!
Pembahasan:
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2 ✓
4. Hitunglah 3√2 + 5√2!
Pembahasan:
3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2 ✓
5. Hitunglah √3 × √12!
Pembahasan:
√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6 ✓
● Soal Sedang (6–10)
6. Rasionalkan penyebut dari 6√3
Pembahasan:
6√3 = 6√3 × √3√3 = 6√33 = 2√3 ✓
7. Sederhanakan √72 + √18!
Pembahasan:
√72 = √(36 × 2) = 6√2
√18 = √(9 × 2) = 3√2
√72 + √18 = 6√2 + 3√2 = 9√2 ✓
8. Hitunglah (2 + √3)(2 − √3)!
Pembahasan:
Menggunakan rumus selisih kuadrat: (a + b)(a − b) = a² − b²
(2 + √3)(2 − √3) = 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1 ✓
9. Tentukan nilai dari √(48) − √(27) + √(75)!
Pembahasan:
√48 = √(16 × 3) = 4√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3
√75 = √(25 × 3) = 5√3
= 4√3 − 3√3 + 5√3 = (4 − 3 + 5)√3 = 6√3 ✓
10. Rasionalkan penyebut dari 4√5 − 1
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan (√5 + 1):
4√5 − 1 × √5 + 1√5 + 1 = 4(√5 + 1)(√5)² − 1² = 4√5 + 45 − 1 = 4√5 + 44 = √5 + 1 ✓
● Soal Sulit (11–15)
11. Rasionalkan penyebut dari 3√7 + √3
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan (√7 − √3):
3√7 + √3 × √7 − √3√7 − √3 = 3(√7 − √3)7 − 3 = 3(√7 − √3)4 = 3√7 − 3√34 ✓
12. Jika x = 1√5 − 2, tentukan nilai x² + 4x!
Pembahasan:
Rasionalkan: x = 1√5 − 2 × √5 + 2√5 + 2 = √5 + 25 − 4 = √5 + 2
x = √5 + 2
x − 2 = √5
(x − 2)² = 5
x² − 4x + 4 = 5
x² − 4x = 1
Hmm, soal meminta x² + 4x. Hitung langsung:
x² = (√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5
4x = 4(√5 + 2) = 4√5 + 8
x² + 4x = 9 + 4√5 + 4√5 + 8 = 17 + 8√5 ✓
13. Sederhanakan √(5 + 2√6)1 (bentuk √(5 + 2√6))!
Pembahasan:
Kita cari bentuk √(5 + 2√6) = √a + √b
Kuadratkan: 5 + 2√6 = a + b + 2√(ab)
Maka: a + b = 5 dan ab = 6
Dari persamaan tersebut: a = 3, b = 2 (atau sebaliknya)
Jadi √(5 + 2√6) = √3 + √2 ✓
Verifikasi: (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6 ✓
14. Buktikan bahwa √2 + √3 adalah bilangan irasional!
Pembahasan:
Andaikan √2 + √3 = r (rasional).
Maka √3 = r − √2
Kuadratkan kedua ruas: 3 = r² − 2r√2 + 2
3 = r² + 2 − 2r√2
2r√2 = r² + 2 − 3 = r² − 1
√2 = r² − 12r
Ruas kanan adalah bilangan rasional (karena r rasional), sehingga √2 harus rasional.
Kontradiksi! Kita tahu √2 irasional.
Jadi √2 + √3 adalah bilangan irasional. ∎
15. Sederhanakan 11 + √2 + 1√2 + √3 + 1√3 + √4
Pembahasan:
Rasionalkan masing-masing:
11 + √2 = √2 − 1(√2)² − 1² = √2 − 11 = √2 − 1
1√2 + √3 = √3 − √23 − 2 = √3 − √2
1√3 + √4 = √4 − √34 − 3 = 2 − √3
Jumlahkan: (√2 − 1) + (√3 − √2) + (2 − √3)
= √2 − 1 + √3 − √2 + 2 − √3
= (√2 − √2) + (√3 − √3) + (−1 + 2)
= 0 + 0 + 1 = 1 ✓
(Ini adalah pola teleskopik — suku-suku saling menghapus)
✏️ Latihan Soal — Bilangan Irasional
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
● Mudah
1. Tentukan apakah √25 rasional atau irasional!
2. Tentukan apakah √11 rasional atau irasional!
3. Sederhanakan √32!
4. Hitunglah 7√5 − 3√5!
5. Hitunglah √2 × √8!
● Sedang
6. Rasionalkan penyebut dari 10√5
7. Sederhanakan √98 − √32 + √8!
8. Hitunglah (3 + √2)(3 − √2)!
9. Rasionalkan penyebut dari 5√3 + 1
10. Sederhanakan √(12) + √(27) − √(48)!
● Sulit
11. Rasionalkan penyebut dari 2√11 − √7
12. Sederhanakan √(7 + 4√3)!
13. Jika x = 1√3 − 1, tentukan nilai x² − 2x!
14. Hitunglah 1√2 + √3 + 1√3 + √4 + 1√4 + √5
15. Buktikan bahwa √3 adalah bilangan irasional menggunakan bukti kontradiksi!
[…] 1 Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional 2 Pengertian Bentuk Akar 3 Sifat-Sifat Bentuk Akar 4 Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan […]