Bentuk Akar Bertingkat
Materi Matematika — Penyederhanaan Akar di Dalam Akar
A. Pengertian Bentuk Akar Bertingkat
🔍 MengamatiPerhatikan bentuk-bentuk berikut:
\(\sqrt{\sqrt{16}}\)
\(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\)
\(\sqrt[3]{\sqrt{8}}\)
Bentuk-bentuk di atas disebut bentuk akar bertingkat, yaitu bentuk akar yang di dalamnya terdapat bentuk akar lain. Dengan kata lain, terdapat operasi penarikan akar secara berulang atau bersarang (nested radicals).
Definisi:
Bentuk akar bertingkat adalah ekspresi matematika yang memuat tanda akar di dalam tanda akar, misalnya \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) atau \(\sqrt{\sqrt{c}}\).
Pertanyaan kunci:
- Bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar bertingkat?
- Kapan bentuk akar bertingkat dapat disederhanakan menjadi bentuk yang lebih sederhana?
- Apa syarat agar \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) bisa ditulis dalam bentuk \(\sqrt{p} + \sqrt{q}\)?
B. Jenis-Jenis Bentuk Akar Bertingkat
🧠 Menalar1. Akar di Dalam Akar (Sederhana)
Bentuk: \(\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}\)
Penjelasan:
\(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\)
Secara umum: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} = a^{\frac{1}{mn}}\)
2. Bentuk \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\)
Bentuk ini dapat disederhanakan menjadi \(\sqrt{p} + \sqrt{q}\) jika memenuhi syarat tertentu.
Rumus Penyederhanaan:
Jika \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) dapat disederhanakan, maka:
\(\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{p} + \sqrt{q}\)
dengan syarat:
- \(p + q = a\)
- \(4pq = b\) atau \(pq = \frac{b}{4}\)
Artinya, \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat: \(x^2 – ax + \frac{b}{4} = 0\)
3. Bentuk \(\sqrt{a – \sqrt{b}}\)
Rumus:
\(\sqrt{a – \sqrt{b}} = \sqrt{p} – \sqrt{q}\) (dengan \(p > q\))
dengan syarat sama:
- \(p + q = a\)
- \(4pq = b\)
4. Bentuk \(\sqrt{a + 2\sqrt{b}}\)
Rumus:
\(\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{p} + \sqrt{q}\)
dengan syarat:
- \(p + q = a\)
- \(pq = b\)
Contoh langkah penyederhanaan \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\):
Kita cari \(p\) dan \(q\) sehingga \(p + q = 5\) dan \(pq = 6\).
Dari \(p + q = 5\) dan \(pq = 6\), kita peroleh persamaan kuadrat:
\(x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0\)
Jadi \(p = 3, q = 2\) (atau sebaliknya).
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
Ringkasan Langkah Penyederhanaan:
- Identifikasi bentuk akar bertingkat (apakah \(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}\) atau \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}\)).
- Tentukan nilai \(a\) dan \(b\) dari ekspresi.
- Susun persamaan kuadrat sesuai syarat yang berlaku.
- Selesaikan untuk mendapatkan \(p\) dan \(q\).
- Tuliskan hasil dalam bentuk \(\sqrt{p} \pm \sqrt{q}\).
C. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah (1–5)
1. Sederhanakan \(\sqrt{\sqrt{81}}\)
Lihat Pembahasan
\(\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt{9} = 3\)
Atau: \(\sqrt{\sqrt{81}} = 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3\)
2. Sederhanakan \(\sqrt{\sqrt{256}}\)
Lihat Pembahasan
\(\sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt{16} = 4\)
Atau: \(256^{1/4} = (4^4)^{1/4} = 4\)
3. Sederhanakan \(\sqrt[3]{\sqrt{64}}\)
Lihat Pembahasan
\(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
Atau: \(64^{1/6} = (2^6)^{1/6} = 2\)
4. Sederhanakan \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)
Lihat Pembahasan
Bentuk \(\sqrt{a + 2\sqrt{b}}\) dengan \(a = 3, b = 2\).
Cari \(p + q = 3\) dan \(pq = 2\).
\(x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0\), jadi \(p=2, q=1\).
\(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1\)
5. Sederhanakan \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)
Lihat Pembahasan
Bentuk \(\sqrt{a + 2\sqrt{b}}\) dengan \(a = 5, b = 6\).
Cari \(p + q = 5\) dan \(pq = 6\).
\(x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0\), jadi \(p=3, q=2\).
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
Contoh Soal Sedang (6–10)
6. Sederhanakan \(\sqrt{7 – 2\sqrt{10}}\)
Lihat Pembahasan
Bentuk \(\sqrt{a – 2\sqrt{b}}\) dengan \(a = 7, b = 10\).
Cari \(p + q = 7\) dan \(pq = 10\).
\(x^2 – 7x + 10 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) = 0\), jadi \(p=5, q=2\).
\(\sqrt{7 – 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} – \sqrt{2}\)
7. Sederhanakan \(\sqrt{6 + \sqrt{20}}\)
Lihat Pembahasan
Perhatikan: \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\), jadi bentuk ini menjadi \(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\).
Cari \(p + q = 6\) dan \(pq = 5\).
\(x^2 – 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) = 0\), jadi \(p=5, q=1\).
\(\sqrt{6 + \sqrt{20}} = \sqrt{5} + 1\)
8. Sederhanakan \(\sqrt{8 – 2\sqrt{15}}\)
Lihat Pembahasan
Cari \(p + q = 8\) dan \(pq = 15\).
\(x^2 – 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-5) = 0\), jadi \(p=5, q=3\).
\(\sqrt{8 – 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} – \sqrt{3}\)
9. Sederhanakan \(\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}\)
Lihat Pembahasan
Tulis ulang: \(9 + 4\sqrt{2} = 9 + 2\sqrt{8}\) (karena \(4\sqrt{2} = 2\sqrt{8}\)).
Cari \(p + q = 9\) dan \(pq = 8\).
\(x^2 – 9x + 8 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-8) = 0\), jadi \(p=8, q=1\).
\(\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{8} + 1 = 2\sqrt{2} + 1\)
10. Sederhanakan \(\sqrt{\sqrt{625} + \sqrt{144}}\)
Lihat Pembahasan
\(\sqrt{625} = 25\) dan \(\sqrt{144} = 12\).
Jadi: \(\sqrt{25 + 12} = \sqrt{37}\).
Hasil: \(\sqrt{37}\) (tidak dapat disederhanakan lebih lanjut).
Contoh Soal Sulit (11–15)
11. Sederhanakan \(\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} + \sqrt{10 – 2\sqrt{21}}\)
Lihat Pembahasan
Untuk \(\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}\): \(p+q=10, pq=21\) → \(p=7, q=3\) → \(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)
Untuk \(\sqrt{10 – 2\sqrt{21}}\): → \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)
Jumlah: \((\sqrt{7}+\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{7}\)
12. Sederhanakan \(\sqrt{6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}\)
Lihat Pembahasan
Kita coba bentuk \((\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 = a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}\).
Cocokkan: \(a+b+c = 6\), \(2\sqrt{ab}=2\sqrt{6}\), \(2\sqrt{ac}=2\sqrt{3}\), \(2\sqrt{bc}=2\sqrt{2}\).
Dari \(ab=6, ac=3, bc=2\): bagi \(\frac{ab}{ac}=\frac{b}{c}=2\) → \(b=2c\).
Dari \(bc=2\): \(2c^2=2\) → \(c=1\), \(b=2\), \(a=3\).
Cek: \(a+b+c=6\) ✓
\(\sqrt{6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3}+\sqrt{2}+1\)
13. Tentukan nilai \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\)
Lihat Pembahasan
Misalkan \(x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\), maka \(x = \sqrt{2+x}\).
\(x^2 = 2 + x\) → \(x^2 – x – 2 = 0\) → \((x-2)(x+1)=0\).
Karena \(x > 0\), maka \(x = 2\).
Jawaban: \(2\)
14. Sederhanakan \(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}\)
Lihat Pembahasan
Misalkan \(s = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\).
\(s^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot s\)
\(s^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4-5} \cdot s = 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot s = 4 – 3s\)
\(s^3 + 3s – 4 = 0\) → \((s-1)(s^2+s+4)=0\).
Karena \(s^2+s+4 > 0\) untuk semua \(s\) real, maka \(s=1\).
Jawaban: \(1\)
15. Sederhanakan \(\sqrt{21 – 4\sqrt{5} + 8\sqrt{3} – 4\sqrt{15}}\)
Lihat Pembahasan
Coba bentuk \((a+b+c)^2\) dengan tanda yang sesuai.
Misal \((\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 = a+b+c – 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc}\).
Cocokkan: \(a+b+c=21\), \(-2\sqrt{ab}=-4\sqrt{5}\) → \(ab=20\)
\(2\sqrt{ac}=8\sqrt{3}\) → \(ac=48\), \(-2\sqrt{bc}=-4\sqrt{15}\) → \(bc=60\).
Dari \(\frac{ac}{ab}=\frac{c}{b}=\frac{48}{20}=\frac{12}{5}\) → \(c=\frac{12b}{5}\).
Dari \(bc=60\): \(b \cdot \frac{12b}{5}=60\) → \(b^2=25\) → \(b=5\).
Maka \(c=12\), \(a=4\). Cek: \(4+5+12=21\) ✓
\(\sqrt{21-4\sqrt{5}+8\sqrt{3}-4\sqrt{15}} = \sqrt{4}-\sqrt{5}+\sqrt{12} = 2-\sqrt{5}+2\sqrt{3}\)
(Perlu verifikasi tanda agar hasilnya positif: \(2+2\sqrt{3}-\sqrt{5} \approx 2+3.46-2.24 = 3.22 > 0\) ✓)
D. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
Soal Mudah (1–5)
1. Sederhanakan \(\sqrt{\sqrt{625}}\)
2. Sederhanakan \(\sqrt[3]{\sqrt{729}}\)
3. Sederhanakan \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\)
4. Sederhanakan \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}\)
5. Sederhanakan \(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\)
Soal Sedang (6–10)
6. Sederhanakan \(\sqrt{11 – 2\sqrt{30}}\)
7. Sederhanakan \(\sqrt{9 – 4\sqrt{5}}\)
8. Sederhanakan \(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\)
9. Hitung \(\sqrt{5+2\sqrt{6}} – \sqrt{5-2\sqrt{6}}\)
10. Sederhanakan \(\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}\)
Soal Sulit (11–15)
11. Tentukan nilai \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}\)
12. Sederhanakan \(\sqrt{9 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}\)
13. Hitung \(\sqrt{8+2\sqrt{15}} \times \sqrt{8-2\sqrt{15}}\)
14. Sederhanakan \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)
15. Sederhanakan \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} – \sqrt{14 – 6\sqrt{5}}\)