Bentuk Sekawan pada Bentuk Akar
Materi Matematika — Bentuk Akar
📘 Materi: Bentuk Sekawan (Konjugat) pada Bentuk Akar
🔍 Mengamati
Perhatikan perkalian berikut:
- (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2
- (√7 + 2)(√7 − 2) = 7 − 4 = 3
- (3 + √2)(3 − √2) = 9 − 2 = 7
Perhatikan bahwa hasil perkalian di atas selalu menghasilkan bilangan rasional (tanpa bentuk akar). Ini terjadi karena kita mengalikan suatu bentuk akar dengan sekawannya.
❓ Menanya
- Apa yang dimaksud dengan bentuk sekawan?
- Bagaimana cara menentukan sekawan dari suatu bentuk akar?
- Mengapa perkalian suatu bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional?
- Bagaimana penerapan bentuk sekawan dalam merasionalkan penyebut?
💡 Menalar
Definisi Bentuk Sekawan
Bentuk sekawan (konjugat) adalah pasangan dari suatu bentuk akar yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan rasional. Prinsipnya menggunakan rumus selisih kuadrat:
Aturan Menentukan Sekawan
| Bentuk Akar | Sekawannya | Hasil Perkalian |
|---|---|---|
| a + √b | a − √b | a² − b |
| a − √b | a + √b | a² − b |
| √a + √b | √a − √b | a − b |
| √a − √b | √a + √b | a − b |
| a√b + c√d | a√b − c√d | a²b − c²d |
Prinsip Dasar
Untuk menentukan sekawan, cukup ubah tanda operasi (+ menjadi − atau − menjadi +) di antara dua suku yang mengandung bentuk akar.
Kesimpulan penting:
- Sekawan dari a + √b adalah a − √b
- Sekawan dari √a + √b adalah √a − √b
- Mengalikan bentuk akar dengan sekawannya selalu menghasilkan bilangan rasional
Penerapan: Merasionalkan Penyebut
Bentuk sekawan digunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan yang mengandung bentuk akar dua suku. Caranya:
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan penyebutnya
- Penyebut akan menjadi bilangan rasional (selisih kuadrat)
- Sederhanakan hasilnya
Rumus Merasionalkan Penyebut:
ca + √b = c(a − √b)(a + √b)(a − √b) = c(a − √b)a² − b
c√a + √b = c(√a − √b)(√a + √b)(√a − √b) = c(√a − √b)a − b
✋ Mencoba
Cobalah tentukan sekawan dari bentuk-bentuk berikut, lalu buktikan dengan mengalikannya:
- 3 + √5 → Sekawan: 3 − √5 → Hasil: (3+√5)(3−√5) = 9 − 5 = 4 ✓
- √7 − √2 → Sekawan: √7 + √2 → Hasil: (√7−√2)(√7+√2) = 7 − 2 = 5 ✓
- 2√3 + √5 → Sekawan: 2√3 − √5 → Hasil: (2√3)² − (√5)² = 12 − 5 = 7 ✓
📢 Mengkomunikasikan
Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:
- Bentuk sekawan diperoleh dengan mengubah tanda operasi antara dua suku
- Perkalian suatu bentuk akar dengan sekawannya menggunakan rumus (a+b)(a−b) = a²−b²
- Hasil perkalian selalu berupa bilangan rasional
- Bentuk sekawan sangat berguna untuk merasionalkan penyebut pecahan
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Mudah
1. Tentukan sekawan dari 5 + √3
Pembahasan:
Sekawan dari a + √b adalah a − √b
Maka sekawan dari 5 + √3 adalah 5 − √3
Bukti: (5+√3)(5−√3) = 25 − 3 = 22 (rasional) ✓
2. Tentukan sekawan dari √7 − 2
Pembahasan:
Sekawan dari √a − b adalah √a + b
Maka sekawan dari √7 − 2 adalah √7 + 2
Bukti: (√7−2)(√7+2) = 7 − 4 = 3 (rasional) ✓
3. Tentukan sekawan dari √5 + √2
Pembahasan:
Sekawan dari √a + √b adalah √a − √b
Maka sekawan dari √5 + √2 adalah √5 − √2
Bukti: (√5+√2)(√5−√2) = 5 − 2 = 3 (rasional) ✓
4. Hitunglah hasil dari (4 + √2)(4 − √2)
Pembahasan:
Menggunakan rumus (a+b)(a−b) = a² − b²
= 4² − (√2)²
= 16 − 2
= 14
5. Hitunglah hasil dari (√11 + √3)(√11 − √3)
Pembahasan:
= (√11)² − (√3)²
= 11 − 3
= 8
SEDANG Contoh Soal Sedang
1. Rasionalkan penyebut dari 6√3 + 1
Pembahasan:
Sekawan dari √3 + 1 adalah √3 − 1
= 6√3 + 1 × √3 − 1√3 − 1
= 6(√3 − 1)(√3)² − 1²
= 6(√3 − 1)3 − 1
= 6(√3 − 1)2
= 3(√3 − 1) = 3√3 − 3
2. Rasionalkan penyebut dari 4√5 − √3
Pembahasan:
Sekawan dari √5 − √3 adalah √5 + √3
= 4(√5 + √3)(√5)² − (√3)²
= 4(√5 + √3)5 − 3
= 4(√5 + √3)2
= 2(√5 + √3) = 2√5 + 2√3
3. Rasionalkan penyebut dari 103 + √7
Pembahasan:
Sekawan dari 3 + √7 adalah 3 − √7
= 10(3 − √7)3² − (√7)²
= 10(3 − √7)9 − 7
= 10(3 − √7)2
= 5(3 − √7) = 15 − 5√7
4. Sederhanakan √6 + √2√6 − √2
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut: √6 + √2
= (√6 + √2)(√6 + √2)(√6 − √2)(√6 + √2)
= (√6 + √2)²6 − 2
= 6 + 2√12 + 24
= 8 + 2√124
= 8 + 4√34
= 2 + √3
5. Hitunglah nilai dari (2√3 + √5)(2√3 − √5)
Pembahasan:
= (2√3)² − (√5)²
= 4 × 3 − 5
= 12 − 5
= 7
SULIT Contoh Soal Sulit
1. Rasionalkan penyebut dari 3√2 + √53√2 − √5
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut: 3√2 + √5
= (3√2 + √5)(3√2 + √5)(3√2 − √5)(3√2 + √5)
Penyebut: (3√2)² − (√5)² = 18 − 5 = 13
Pembilang: (3√2 + √5)² = (3√2)² + 2(3√2)(√5) + (√5)²
= 18 + 6√10 + 5 = 23 + 6√10
= 23 + 6√1013
2. Sederhanakan 1√2 + √3 + √5
Pembahasan:
Kelompokkan: penyebut = (√2 + √3) + √5
Kalikan dengan sekawan: (√2 + √3) − √5
= (√2 + √3) − √5(√2 + √3)² − (√5)²
Penyebut: (2 + 2√6 + 3) − 5 = 2√6
= √2 + √3 − √52√6
Kalikan dengan √6√6:
= (√2 + √3 − √5) × √62 × 6
= √12 + √18 − √3012
= 2√3 + 3√2 − √3012
3. Jika x = 1√5 − 2, tentukan nilai x² − 4x
Pembahasan:
Rasionalkan x: x = 1√5 − 2 × √5 + 2√5 + 2 = √5 + 25 − 4 = √5 + 2
x = √5 + 2
x² = (√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5
4x = 4(√5 + 2) = 4√5 + 8
x² − 4x = (9 + 4√5) − (4√5 + 8) = 9 + 4√5 − 4√5 − 8
= 1
4. Sederhanakan √7 + √5√7 − √5 + √7 − √5√7 + √5
Pembahasan:
Pecahan pertama: kalikan dengan √7 + √5√7 + √5
= (√7 + √5)²7 − 5 = 12 + 2√352 = 6 + √35
Pecahan kedua: kalikan dengan √7 − √5√7 − √5
= (√7 − √5)²7 − 5 = 12 − 2√352 = 6 − √35
Jumlah: (6 + √35) + (6 − √35) = 12
5. Jika a = √3 + √2√3 − √2 dan b = √3 − √2√3 + √2, tentukan a² + b²
Pembahasan:
Rasionalkan a: a = (√3 + √2)²3 − 2 = 5 + 2√6
Rasionalkan b: b = (√3 − √2)²3 − 2 = 5 − 2√6
a² = (5 + 2√6)² = 25 + 20√6 + 24 = 49 + 20√6
b² = (5 − 2√6)² = 25 − 20√6 + 24 = 49 − 20√6
a² + b² = (49 + 20√6) + (49 − 20√6) = 98
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
MUDAH
1. Tentukan sekawan dari 4 + √7
2. Tentukan sekawan dari √11 − 3
3. Hitunglah (6 + √5)(6 − √5)
4. Hitunglah (√13 + √2)(√13 − √2)
5. Tentukan sekawan dari 2√3 + 1
SEDANG
1. Rasionalkan penyebut dari 8√7 − √3
2. Rasionalkan penyebut dari 52 + √3
3. Sederhanakan √10 + √6√10 − √6
4. Rasionalkan penyebut dari 3√2√5 + √2
5. Hitunglah (3√2 + 2√3)(3√2 − 2√3)
SULIT
1. Sederhanakan 2√5 + 3√22√5 − 3√2
2. Jika p = 1√7 − √3, tentukan nilai 4p² − (√7 − √3)²
3. Sederhanakan √5 + √3√5 − √3 − √5 − √3√5 + √3
4. Jika m = √6 + √2√6 − √2, tentukan m − 1m
5. Rasionalkan penyebut dari 11 + √2 + √3