Menyederhanakan Bentuk Akar
Matematika — Materi Lengkap dengan Contoh dan Latihan
📘 Materi: Menyederhanakan Bentuk Akar
🔍 Mengamati
Perhatikan bilangan-bilangan berikut:
- √4 = 2 (bilangan rasional)
- √9 = 3 (bilangan rasional)
- √2 = 1,41421356… (bilangan irasional)
- √12 = ? (bisakah disederhanakan?)
Perhatikan bahwa √4 dan √9 menghasilkan bilangan bulat karena 4 dan 9 adalah bilangan kuadrat sempurna. Namun √2 dan √12 tidak menghasilkan bilangan bulat. Meskipun demikian, √12 masih bisa disederhanakan.
❓ Menanya
- Bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar?
- Apa syarat suatu bentuk akar dikatakan sudah sederhana?
- Sifat-sifat apa saja yang digunakan dalam menyederhanakan bentuk akar?
💡 Menalar
A. Pengertian Bentuk Akar Sederhana
Bentuk akar √a dikatakan sudah sederhana jika bilangan a tidak memiliki faktor yang merupakan kuadrat sempurna selain 1.
Contoh:
- √5 → sudah sederhana (5 tidak punya faktor kuadrat sempurna selain 1)
- √12 → belum sederhana (12 = 4 × 3, dan 4 adalah kuadrat sempurna)
B. Sifat-Sifat yang Digunakan
Sifat 1: Perkalian Bentuk Akar
√(a × b) = √a × √b
untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0
Sifat 2: Pembagian Bentuk Akar
√(a/b) = √a / √b
untuk a ≥ 0 dan b > 0
Sifat 3: Akar dari Kuadrat Sempurna
√(a2) = a
untuk a ≥ 0
Sifat 4: Menarik Keluar Akar
√(a2 × b) = a√b
untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0
C. Langkah-Langkah Menyederhanakan Bentuk Akar
- Faktorkan bilangan di bawah tanda akar menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna terbesar dengan bilangan lain.
- Gunakan sifat √(a × b) = √a × √b
- Tarik keluar faktor yang merupakan kuadrat sempurna dari tanda akar.
- Sederhanakan hasil akhir.
Contoh Penerapan Langkah:
Sederhanakan √72
- 72 = 36 × 2 (36 adalah kuadrat sempurna terbesar yang menjadi faktor 72)
- √72 = √(36 × 2) = √36 × √2
- √36 = 6, maka √72 = 6√2
- Hasil: √72 = 6√2
D. Daftar Bilangan Kuadrat Sempurna
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
E. Menyederhanakan Bentuk Akar dengan Koefisien
Jika bentuk akar sudah memiliki koefisien, maka:
m√(a2 × b) = m × a × √b = ma√b
Contoh: 3√50 = 3√(25 × 2) = 3 × 5 × √2 = 15√2
F. Menyederhanakan Bentuk Akar dalam Pecahan
Untuk pecahan di bawah akar:
√(a/b) = √a / √b
Contoh: √(18/2) = √18 / √2 = √9 = 3
Atau bisa juga: √(18/2) = √9 = 3
✏️ Mencoba
Cobalah sederhanakan bentuk akar berikut secara mandiri:
- √48 = …
- √75 = …
- 2√98 = …
- √(50/2) = …
- √200 = …
Petunjuk: Cari faktor kuadrat sempurna terbesar dari bilangan di bawah akar.
📢 Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi ini, coba jelaskan kepada teman sebangkumu:
- Apa yang dimaksud dengan menyederhanakan bentuk akar?
- Langkah-langkah apa saja yang dilakukan?
- Mengapa kita perlu menyederhanakan bentuk akar?
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
1. Sederhanakan √8
Pembahasan:
√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2
Jawaban: 2√2
2. Sederhanakan √18
Pembahasan:
√18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2
Jawaban: 3√2
3. Sederhanakan √20
Pembahasan:
√20 = √(4 × 5) = √4 × √5 = 2√5
Jawaban: 2√5
4. Sederhanakan √32
Pembahasan:
√32 = √(16 × 2) = √16 × √2 = 4√2
Jawaban: 4√2
5. Sederhanakan √45
Pembahasan:
√45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5
Jawaban: 3√5
🟡 Tingkat Sedang
1. Sederhanakan √128
Pembahasan:
128 = 64 × 2
√128 = √(64 × 2) = √64 × √2 = 8√2
Jawaban: 8√2
2. Sederhanakan 2√72
Pembahasan:
72 = 36 × 2
2√72 = 2√(36 × 2) = 2 × √36 × √2 = 2 × 6 × √2 = 12√2
Jawaban: 12√2
3. Sederhanakan √(75/3)
Pembahasan:
√(75/3) = √25 = 5
Atau: √75 / √3 = (5√3) / √3 = 5
Jawaban: 5
4. Sederhanakan 3√242
Pembahasan:
242 = 121 × 2
3√242 = 3√(121 × 2) = 3 × √121 × √2 = 3 × 11 × √2 = 33√2
Jawaban: 33√2
5. Sederhanakan √(48) + √(27)
Pembahasan:
√48 = √(16 × 3) = 4√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3
√48 + √27 = 4√3 + 3√3 = 7√3
Jawaban: 7√3
🔴 Tingkat Sulit
1. Sederhanakan √500 − 2√125 + 3√45
Pembahasan:
√500 = √(100 × 5) = 10√5
2√125 = 2√(25 × 5) = 2 × 5√5 = 10√5
3√45 = 3√(9 × 5) = 3 × 3√5 = 9√5
= 10√5 − 10√5 + 9√5 = 9√5
Jawaban: 9√5
2. Sederhanakan √(288/2) + √(200/8)
Pembahasan:
√(288/2) = √144 = 12
√(200/8) = √25 = 5
= 12 + 5 = 17
Jawaban: 17
3. Sederhanakan 2√(34 × 52 × 7)
Pembahasan:
34 = 81 = (32)2 = 92
52 = 25
2√(92 × 52 × 7) = 2 × 9 × 5 × √7 = 90√7
Jawaban: 90√7
4. Sederhanakan √(25 × 33 × 52)
Pembahasan:
25 = 24 × 2 = 16 × 2
33 = 32 × 3 = 9 × 3
52 = 25
√(16 × 2 × 9 × 3 × 25) = √16 × √9 × √25 × √(2×3)
= 4 × 3 × 5 × √6 = 60√6
Jawaban: 60√6
5. Sederhanakan 5√(1/50) + 2√(1/8) − √(1/18)
Pembahasan:
5√(1/50) = 5 × (1/√50) = 5 × (1/(5√2)) = 5/(5√2) = 1/√2 = √2/2
2√(1/8) = 2 × (1/√8) = 2 × (1/(2√2)) = 2/(2√2) = 1/√2 = √2/2
√(1/18) = 1/√18 = 1/(3√2) = √2/6
= √2/2 + √2/2 − √2/6
= 3√2/6 + 3√2/6 − √2/6 = 5√2/6
Jawaban: 5√2/6
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.