Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
Materi Matematika — Eksponen dan Bentuk Akar
A. Pendahuluan
Dalam matematika, bentuk akar dan pangkat pecahan memiliki hubungan yang sangat erat. Memahami hubungan ini akan membantu kita dalam menyederhanakan dan menyelesaikan berbagai persoalan matematika yang melibatkan akar dan eksponen.
Pada materi ini, kita akan fokus mempelajari bagaimana bentuk akar dapat dinyatakan sebagai pangkat pecahan, dan sebaliknya.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pola berikut ini:
| Bentuk Pangkat | Hasil | Keterangan |
|---|---|---|
| 41 | 4 | 4 = 4 |
| 41/2 × 41/2 | 41 = 4 | Karena 12 + 12 = 1 |
| √4 × √4 | 4 | √4 = 2, dan 2 × 2 = 4 |
Dari pengamatan di atas, terlihat bahwa 41/2 = √4 = 2
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana hubungan antara bentuk akar dan pangkat pecahan?
- Apakah semua bentuk akar dapat dinyatakan sebagai pangkat pecahan?
- Bagaimana cara mengubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan dan sebaliknya?
- Bagaimana sifat-sifat pangkat berlaku pada pangkat pecahan?
B. Definisi Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
1. Definisi Dasar
Definisi:
n√a = a1/n
dengan a ≥ 0 dan n adalah bilangan bulat positif, n ≥ 2
Artinya, akar ke-n dari bilangan a sama dengan bilangan a dipangkatkan 1n.
2. Bentuk Umum
Bentuk Umum:
n√(am) = am/n
dengan a ≥ 0, m bilangan bulat, n bilangan bulat positif, n ≥ 2
Bentuk ini menunjukkan bahwa akar ke-n dari a pangkat m sama dengan a dipangkatkan mn.
3. Tabel Hubungan
| Bentuk Akar | Pangkat Pecahan | Penjelasan |
|---|---|---|
| √a | a1/2 | Akar kuadrat = pangkat ½ |
| 3√a | a1/3 | Akar pangkat tiga = pangkat ⅓ |
| 4√a | a1/4 | Akar pangkat empat = pangkat ¼ |
| n√a | a1/n | Akar pangkat n = pangkat 1/n |
| √(a3) | a3/2 | Akar kuadrat dari a³ = pangkat 3/2 |
| 3√(a2) | a2/3 | Akar pangkat tiga dari a² = pangkat 2/3 |
| n√(am) | am/n | Akar pangkat n dari am = pangkat m/n |
Kegiatan: Menalar
Mari kita buktikan bahwa a1/n = n√a
Bukti:
Misalkan x = a1/n
Maka xn = (a1/n)n = a(1/n)×n = a1 = a
Karena xn = a, maka x = n√a
Jadi terbukti: a1/n = n√a ✓
C. Sifat-Sifat Pangkat Pecahan
Sifat-sifat pangkat yang berlaku pada pangkat bulat juga berlaku pada pangkat pecahan:
Sifat 1: am/n × ap/q = a(m/n + p/q)
Sifat 2: am/n ÷ ap/q = a(m/n − p/q)
Sifat 3: (am/n)p/q = a(m/n × p/q)
Sifat 4: (a × b)m/n = am/n × bm/n
Sifat 5: (a ÷ b)m/n = am/n ÷ bm/n
Kegiatan: Mencoba
Cobalah ubah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat pecahan:
- √5 = 5…
- 3√7 = 7…
- √(23) = 2…
- 4√(33) = 3…
- 5√(x2) = x…
Jawaban: 51/2, 71/3, 23/2, 33/4, x2/5
D. Cara Mengubah Bentuk Akar ke Pangkat Pecahan dan Sebaliknya
1. Mengubah Bentuk Akar → Pangkat Pecahan
Langkah:
• Tentukan indeks akar (n) → menjadi penyebut pangkat
• Tentukan pangkat bilangan di dalam akar (m) → menjadi pembilang pangkat
Rumus: n√(am) → am/n
2. Mengubah Pangkat Pecahan → Bentuk Akar
Langkah:
• Penyebut pangkat (n) → menjadi indeks akar
• Pembilang pangkat (m) → menjadi pangkat bilangan di dalam akar
Rumus: am/n → n√(am)
3. Contoh Konversi
| Bentuk Akar | → | Pangkat Pecahan |
|---|---|---|
| √9 | → | 91/2 = 3 |
| 3√8 | → | 81/3 = 2 |
| √(272) | → | 272/2 = 27 |
| 3√(162) | → | 162/3 |
| 4√(81) | → | 811/4 = 3 |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan temanmu dan jelaskan:
- Mengapa √4 = 41/2 = 2? Jelaskan dengan kata-katamu sendiri!
- Apa keuntungan menulis bentuk akar sebagai pangkat pecahan dalam operasi perkalian?
- Berikan contoh penerapan hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan dalam kehidupan sehari-hari.
E. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1: Ubah √16 ke bentuk pangkat pecahan, kemudian hitung nilainya!
Pembahasan:
√16 = 161/2
= (4²)1/2
= 42×(1/2)
= 41
= 4
Contoh 2: Ubah 3√27 ke bentuk pangkat pecahan, kemudian hitung nilainya!
Pembahasan:
3√27 = 271/3
= (3³)1/3
= 33×(1/3)
= 31
= 3
Contoh 3: Nyatakan 51/2 dalam bentuk akar!
Pembahasan:
51/2 = 2√5 = √5
Jadi, 51/2 = √5
Contoh 4: Ubah 4√81 ke bentuk pangkat pecahan dan hitung!
Pembahasan:
4√81 = 811/4
= (34)1/4
= 34×(1/4)
= 31
= 3
Contoh 5: Nyatakan 21/3 dalam bentuk akar!
Pembahasan:
21/3 = 3√2
Jadi, 21/3 = 3√2
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6: Sederhanakan 82/3!
Pembahasan:
82/3 = (2³)2/3
= 23×(2/3)
= 22
= 4
Contoh 7: Hitung nilai dari 272/3!
Pembahasan:
272/3 = (3³)2/3
= 33×(2/3)
= 32
= 9
Contoh 8: Sederhanakan 3√(64) × 41/3!
Pembahasan:
3√64 × 41/3 = 641/3 × 41/3
= (64 × 4)1/3
= 2561/3
= (44)1/3
= 44/3
= 3√(44) = 3√256
Contoh 9: Sederhanakan 163/4!
Pembahasan:
163/4 = (24)3/4
= 24×(3/4)
= 23
= 8
Contoh 10: Hitung 253/2!
Pembahasan:
253/2 = (5²)3/2
= 52×(3/2)
= 53
= 125
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11: Sederhanakan (82/3 × 271/3) ÷ 61/2!
Pembahasan:
82/3 = (2³)2/3 = 2² = 4
271/3 = (3³)1/3 = 3
Pembilang = 4 × 3 = 12
Penyebut = 61/2 = √6
= 12 ÷ √6 = 12/√6
= (12√6)/6
= 2√6
Contoh 12: Sederhanakan (322/5 × 4−1/2) ÷ 21/3!
Pembahasan:
322/5 = (25)2/5 = 22 = 4
4−1/2 = (2²)−1/2 = 2−1 = 1/2
Pembilang = 4 × (1/2) = 2
= 2 ÷ 21/3 = 21 × 2−1/3
= 21−1/3 = 22/3
= 3√4
Contoh 13: Tentukan nilai x jika 4x = 3√(82)!
Pembahasan:
Ruas kanan: 3√(8²) = 82/3 = (2³)2/3 = 2²= 4
Ruas kiri: 4x = (2²)x = 22x
Maka: 22x = 2² (karena 4 = 2²)
2x = 2
x = 1
Contoh 14: Sederhanakan 272/3 × 84/362!
Pembahasan:
272/3 = (3³)2/3 = 3² = 9
84/3 = (2³)4/3 = 24 = 16
6² = 36
= (9 × 16) / 36
= 144 / 36
= 4
Contoh 15: Jika a = 21/3 dan b = 31/2, tentukan nilai (a6 + b4)1/2!
Pembahasan:
a6 = (21/3)6 = 26/3 = 2² = 4
b4 = (31/2)4 = 34/2 = 3² = 9
a6 + b4 = 4 + 9 = 13
(a6 + b4)1/2 = 131/2
= √13
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawaban di buku latihanmu!
Mudah Latihan Tingkat Mudah
- Ubah √25 ke bentuk pangkat pecahan dan hitung nilainya!
- Nyatakan 71/2 dalam bentuk akar!
- Ubah 3√64 ke bentuk pangkat pecahan dan hitung nilainya!
- Nyatakan 101/4 dalam bentuk akar!
- Hitung nilai 4√16!
Sedang Latihan Tingkat Sedang
- Sederhanakan 323/5!
- Hitung nilai 493/2!
- Sederhanakan 1252/3 × 81/3!
- Ubah 3√(x4) ke bentuk pangkat pecahan!
- Sederhanakan (41/2)3 × 2−1!
Sulit Latihan Tingkat Sulit
- Sederhanakan (163/4 × 272/3) ÷ 12!
- Tentukan nilai x jika 9x = 4√(813)!
- Sederhanakan 642/3 × 251/242 × 5−1!
- Jika p = 41/2 dan q = 81/3, tentukan nilai (p4 − q6)1/3!
- Buktikan bahwa 21/2 × 81/6 = 21 = 2!
G. Rangkuman
- • n√a = a1/n (akar ke-n = pangkat 1/n)
- • n√(am) = am/n (bentuk umum hubungan akar dan pangkat pecahan)
- • Indeks akar menjadi penyebut pangkat pecahan
- • Pangkat di dalam akar menjadi pembilang pangkat pecahan
- • Semua sifat pangkat bulat berlaku juga pada pangkat pecahan