Soal 1:

Tentukan suku ke-8 dari barisan 4, 7, 10, 13, …

Pembahasan:

a = 4, b = 7 − 4 = 3, n = 8

U₈ = 4 + (8 − 1) × 3 = 4 + 21 = 25

Soal 2:

Tentukan beda dari barisan 15, 11, 7, 3, …

Pembahasan:

b = U₂ − U₁ = 11 − 15 = −4

Soal 3:

Diketahui barisan aritmetika dengan a = 2 dan b = 5. Tentukan U₆!

Pembahasan:

U₆ = 2 + (6 − 1) × 5 = 2 + 25 = 27

Soal 4:

Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan 1, 4, 7, 10, …

Pembahasan:

b = 3

Suku berikutnya: 10 + 3 = 13, 13 + 3 = 16, 16 + 3 = 19

Jawaban: 13, 16, 19

Soal 5:

Apakah barisan 6, 6, 6, 6, … merupakan barisan aritmetika?

Pembahasan:

b = 6 − 6 = 0 (konstan)

Ya, barisan tersebut adalah barisan aritmetika dengan beda b = 0.

Soal 1:

Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke-12 adalah 45. Tentukan suku pertama dan beda!

Pembahasan:

U₅ = a + 4b = 17 … (1)

U₁₂ = a + 11b = 45 … (2)

Eliminasi (2) − (1): 7b = 28 → b = 4

Substitusi ke (1): a + 16 = 17 → a = 1

Jawaban: a = 1, b = 4

Soal 2:

Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmetika yang suku ke-3 = 10 dan suku ke-7 = 22.

Pembahasan:

U₃ = a + 2b = 10 … (1)

U₇ = a + 6b = 22 … (2)

(2) − (1): 4b = 12 → b = 3

Dari (1): a = 10 − 6 = 4

U₂₀ = 4 + 19 × 3 = 4 + 57 = 61

Soal 3:

Di antara setiap dua suku berurutan dari barisan 5, 17, 29, 41, … disisipkan 2 suku. Tentukan beda baru dan suku ke-10 barisan baru!

Pembahasan:

b = 12, k = 2

b’ = 12 / (2 + 1) = 4

Barisan baru dimulai dari a = 5 dengan b’ = 4

U₁₀ = 5 + 9 × 4 = 5 + 36 = 41

Soal 4:

Jika U₃ + U₇ = 40 dan U₅ = 20 pada barisan aritmetika, tunjukkan bahwa ini konsisten!

Pembahasan:

Karena 3 + 7 = 5 + 5, maka dari sifat simetri:

U₃ + U₇ = U₅ + U₅ = 2U₅ = 2 × 20 = 40 ✓

Terbukti konsisten.

Soal 5:

Suatu barisan aritmetika memiliki 15 suku. Jika suku pertama = 3 dan suku terakhir = 59, tentukan suku tengah!

Pembahasan:

Suku tengah ke-t = (15 + 1)/2 = 8

U₈ = (U₁ + U₁₅) / 2 = (3 + 59) / 2 = 31

Soal 1:

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan adalah 27 dan jumlah kuadratnya adalah 275. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Pembahasan:

Misalkan ketiga bilangan: (a − b), a, (a + b)

Jumlah: 3a = 27 → a = 9

Jumlah kuadrat: (9−b)² + 81 + (9+b)² = 275

81 − 18b + b² + 81 + 81 + 18b + b² = 275

243 + 2b² = 275

2b² = 32 → b² = 16 → b = ±4

Jawaban: 5, 9, 13 atau 13, 9, 5

Soal 2:

Suku ke berapa dari barisan 100, 97, 94, … yang pertama kali bernilai negatif?

Pembahasan:

a = 100, b = −3

Uₙ < 0

100 + (n−1)(−3) < 0

100 − 3n + 3 < 0

103 < 3n

n > 34,33…

Jadi suku pertama yang negatif adalah suku ke-35.

Cek: U₃₅ = 100 + 34(−3) = 100 − 102 = −2 ✓

Soal 3:

Empat bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah 24, sedangkan hasil kali bilangan kedua dan ketiga adalah 128. Tentukan barisan tersebut!

Pembahasan:

Misalkan: (a − 3d), (a − d), (a + d), (a + 3d)

Jumlah pertama dan terakhir: (a − 3d) + (a + 3d) = 2a = 24 → a = 12

Hasil kali kedua dan ketiga: (12 − d)(12 + d) = 128

144 − d² = 128

d² = 16 → d = ±4

Beda barisan = 2d = ±8

Jawaban: 0, 8, 16, 24 atau 24, 16, 8, 0

Soal 4:

Barisan aritmetika memiliki suku ke-p = q dan suku ke-q = p (dengan p ≠ q). Tentukan suku ke-(p + q)!

Pembahasan:

Uₚ = a + (p−1)b = q … (1)

U_q = a + (q−1)b = p … (2)

(1) − (2): (p − q)b = q − p = −(p − q)

Karena p ≠ q: b = −1

Dari (1): a = q − (p−1)(−1) = q + p − 1

U_{p+q} = a + (p+q−1)b = (p + q − 1) + (p + q − 1)(−1)

= (p + q − 1) − (p + q − 1) = 0

Soal 5:

Diketahui barisan aritmetika dengan U₃ × U₆ = 300 dan U₃ + U₆ = 35. Jika b > 0, tentukan U₁₅!

Pembahasan:

Misalkan U₃ = x dan U₆ = y

x + y = 35 dan xy = 300

Ini adalah akar dari: t² − 35t + 300 = 0

(t − 15)(t − 20) = 0 → t = 15 atau t = 20

Karena b > 0 maka barisan naik: U₃ = 15, U₆ = 20

b = (U₆ − U₃)/(6 − 3) = 5/3

U₁₅ = U₆ + (15 − 6) × 5/3 = 20 + 15 = 35