Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Geometri
A. Pengertian Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Jika barisan geometri dinyatakan sebagai:
Maka deret geometri adalah:
di mana setiap suku memiliki rasio tetap r terhadap suku sebelumnya, yaitu:
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan barisan berikut:
2, 6, 18, 54, 162, …
Jika kita jumlahkan suku-sukunya secara berurutan:
| Jumlah suku ke- | Perhitungan | Hasil |
|---|---|---|
| S1 | 2 | 2 |
| S2 | 2 + 6 | 8 |
| S3 | 2 + 6 + 18 | 26 |
| S4 | 2 + 6 + 18 + 54 | 80 |
| S5 | 2 + 6 + 18 + 54 + 162 | 242 |
Penjumlahan berurutan di atas disebut Deret Geometri.
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama tanpa menjumlahkan satu per satu?
- Adakah rumus umum untuk menghitung jumlah deret geometri?
- Apa yang terjadi jika rasio r bernilai antara −1 dan 1?
B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri
💡 Kegiatan: Menalar
Penurunan rumus:
Misalkan Sn = a + ar + ar2 + … + arn−1 … (1)
Kalikan kedua ruas dengan r:
rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn … (2)
Kurangkan persamaan (1) dari (2):
rSn − Sn = arn − a
Sn(r − 1) = a(rn − 1)
Diperoleh dua bentuk rumus:
Sn = a(rn − 1)r − 1
Sn = a(1 − rn)1 − r
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama (U1)
- r = rasio (perbandingan tetap antar suku berurutan)
- n = banyaknya suku
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba hitung jumlah 5 suku pertama dari deret: 2 + 6 + 18 + 54 + …
Diketahui: a = 2, r = 3, n = 5
Karena r = 3 > 1, gunakan rumus:
S5 = 2(35 − 1)3 − 1 = 2(243 − 1)2 = 2 × 2422 = 242
✅ Hasil ini sesuai dengan tabel pengamatan sebelumnya!
C. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas (menuju tak hingga). Deret ini konvergen (memiliki jumlah tertentu) jika dan hanya jika |r| < 1, yaitu −1 < r < 1.
S∞ = a1 − r , untuk |r| < 1
Jika |r| ≥ 1, maka deret tersebut divergen (tidak memiliki jumlah tertentu, jumlahnya menuju tak hingga).
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan deret: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …
Di sini a = 1 dan r = ½
| n | Sn | Selisih dari 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1,5 | 0,5 |
| 5 | 1,9375 | 0,0625 |
| 10 | 1,998 | 0,002 |
| ∞ | 2 | 0 |
Semakin banyak suku, jumlahnya semakin mendekati 2. Dengan rumus: S∞ = 11 − ½ = 2
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan temanmu:
- Jelaskan mengapa deret geometri dengan |r| < 1 memiliki jumlah terbatas meskipun sukunya tak hingga.
- Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan deret geometri tak hingga (misalnya: pemantulan bola, peluruhan zat radioaktif).
- Apa perbedaan deret konvergen dan divergen? Berikan masing-masing satu contoh.
D. Hubungan Sn dan Un
Suku ke-n dapat diperoleh dari jumlah deret:
dan U1 = S1
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan jumlah 4 suku pertama dari deret geometri: 3 + 6 + 12 + 24 + …
Pembahasan:
a = 3, r = 6/3 = 2, n = 4
Karena r = 2 > 1:
S4 = 3(24 − 1)2 − 1 = 3(16 − 1)1 = 3 × 15 = 45
Soal 2:
Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri: 1 + 2 + 4 + 8 + …
Pembahasan:
a = 1, r = 2, n = 5
S5 = 1(25 − 1)2 − 1 = 32 − 11 = 31
Soal 3:
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 8 + 4 + 2 + 1 + …
Pembahasan:
a = 8, r = 4/8 = ½
Karena |r| = ½ < 1, deret konvergen:
S∞ = 81 − ½ = 8½ = 16
Soal 4:
Tentukan jumlah 3 suku pertama dari deret: 5 + 15 + 45 + …
Pembahasan:
a = 5, r = 3, n = 3
S3 = 5(33 − 1)3 − 1 = 5(27 − 1)2 = 5 × 262 = 65
Soal 5:
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 12 + 6 + 3 + 1,5 + …
Pembahasan:
a = 12, r = 6/12 = ½
S∞ = 121 − ½ = 12½ = 24
Tingkat Sedang
Soal 1:
Jumlah 6 suku pertama suatu deret geometri adalah 63. Jika suku pertamanya 1 dan rasionya 2, tentukan suku ke-6.
Pembahasan:
Verifikasi: S6 = 1(26 − 1)2 − 1 = 64 − 1 = 63 ✓
U6 = ar5 = 1 × 25 = 32
Soal 2:
Deret geometri memiliki suku pertama 4 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukan jumlah 5 suku pertama.
Pembahasan:
U4 = ar3 → 108 = 4r3 → r3 = 27 → r = 3
S5 = 4(35 − 1)3 − 1 = 4(243 − 1)2 = 4 × 2422 = 484
Soal 3:
Jumlah deret geometri tak hingga adalah 20 dan suku pertamanya 12. Tentukan rasio dan suku ke-3.
Pembahasan:
S∞ = a1 − r → 20 = 121 − r
20(1 − r) = 12 → 1 − r = 0,6 → r = 0,4 = 25
U3 = 12 × (0,4)2 = 12 × 0,16 = 1,92
Soal 4:
Tentukan jumlah 7 suku pertama deret geometri: 2 − 6 + 18 − 54 + …
Pembahasan:
a = 2, r = −6/2 = −3
Karena r = −3 < −1, gunakan rumus r > 1 atau r < −1:
S7 = 2((−3)7 − 1)−3 − 1 = 2(−2187 − 1)−4 = 2 × (−2188)−4 = −4376−4 = 1094
Soal 5:
Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 3 kali suku pertamanya. Tentukan rasio deret tersebut.
Pembahasan:
S∞ = 3a
a1 − r = 3a
11 − r = 3
1 = 3(1 − r) → 1 = 3 − 3r → 3r = 2 → r = 23
Tingkat Sulit
Soal 1:
Jumlah 3 suku pertama suatu deret geometri adalah 21 dan jumlah 6 suku pertamanya adalah 189. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut.
Pembahasan:
S3 = a(r3 − 1)r − 1 = 21 … (1)
S6 = a(r6 − 1)r − 1 = 189 … (2)
Bagi (2) dengan (1):
r6 − 1r3 − 1 = 9
Faktorisasi: (r3 − 1)(r3 + 1)r3 − 1 = r3 + 1 = 9
r3 = 8 → r = 2
Substitusi ke (1): a(8 − 1)2 − 1 = 21 → 7a = 21 → a = 3
Jadi a = 3 dan r = 2
Soal 2:
Tiga bilangan membentuk deret geometri. Jumlah ketiganya 26 dan jumlah kuadratnya 364. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Pembahasan:
Misalkan tiga bilangan: ar, a, ar
Jumlah: ar + a + ar = 26 → a(1r + 1 + r) = 26 … (1)
Jumlah kuadrat: a2r2 + a2 + a2r2 = 364 → a2(1r2 + 1 + r2) = 364 … (2)
Dari (1): kuadratkan → a2(1r + 1 + r)2 = 676
Perhatikan: (1r + 1 + r)2 = 1r2 + 1 + r2 + 2(1r + 1 + r)
Maka: a2[(1r2 + 1 + r2) + 2(1r + 1 + r)] = 676
364 + 2(26) = 364 + 52… Koreksi: a2 × 2 × (1r + 1 + r) = 676 − 364 = 312
Dari (1): a(1r + 1 + r) = 26, maka a2(1r + 1 + r) = 26a
2 × 26a = 312 → 52a = 312 → a = 6
Substitusi: 6(1r + 1 + r) = 26 → 1r + 1 + r = 133
Kalikan r: 1 + r + r2 = 13r3 → 3r2 − 10r + 3 = 0
(3r − 1)(r − 3) = 0 → r = 3 atau r = ⅓
Untuk r = 3: bilangan = 2, 6, 18
Untuk r = ⅓: bilangan = 18, 6, 2
Jadi ketiga bilangan adalah 2, 6, 18
Soal 3:
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap kali memantul, bola mencapai ¾ dari ketinggian sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti.
Pembahasan:
Jarak jatuh pertama = 10 m
Setelah itu, bola naik dan turun berulang kali membentuk deret geometri tak hingga:
Jarak pantul = 2 × (10 × ¾ + 10 × (¾)2 + 10 × (¾)3 + …)
= 2 × 10 × ¾1 − ¾ = 2 × 7,50,25 = 2 × 30 = 60
Total jarak = 10 + 60 = 70 m
Soal 4:
Diketahui deret geometri dengan S∞ = 36 dan S∞ dari suku-suku yang berpangkat genap (U₂ + U₄ + U₆ + …) = 12. Tentukan a dan r.
Pembahasan:
S∞ = a1 − r = 36 … (1)
Suku genap: U₂ + U₄ + U₆ + … = ar + ar3 + ar5 + … = ar1 − r2 = 12 … (2)
Bagi (2) dengan (1): ar(1 − r)a(1 − r2) = 1236
r(1 − r)(1 − r)(1 + r) = ⅓
r1 + r = ⅓ → 3r = 1 + r → 2r = 1 → r = ½
Dari (1): a1 − ½ = 36 → a = 36 × ½ = 18
Soal 5:
Tentukan nilai dari: 13 + 29 + 427 + 881 + … (hingga tak hingga)
Pembahasan:
Identifikasi pola: suku ke-n = 2n−13n
Suku pertama: a = 13
Rasio: r = 2/91/3 = 23
Karena |r| = ⅔ < 1:
S∞ = ⅓1 − ⅔ = ⅓⅓ = 1
📋 Latihan Soal
(Kerjakan tanpa melihat pembahasan untuk mengasah kemampuanmu!)
Tingkat Mudah
1. Tentukan jumlah 4 suku pertama dari deret geometri: 2 + 4 + 8 + 16 + …
2. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri: 3 + 9 + 27 + 81 + …
3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + …
4. Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret: 1 + 3 + 9 + 27 + …
5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 18 + 6 + 2 + ⅔ + …
Tingkat Sedang
1. Suatu deret geometri memiliki suku pertama 5 dan jumlah tak hingganya 20. Tentukan rasio dan suku ke-4.
2. Jumlah 4 suku pertama deret geometri adalah 120 dan rasionya 2. Tentukan suku pertama.
3. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret geometri: 4 − 8 + 16 − 32 + …
4. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4 kali suku pertamanya. Tentukan rasio deret tersebut.
5. Deret geometri memiliki U2 = 6 dan U5 = 162. Tentukan jumlah 6 suku pertama.
Tingkat Sulit
1. Jumlah 4 suku pertama suatu deret geometri adalah 30 dan jumlah 8 suku pertamanya adalah 510. Tentukan suku pertama dan rasio.
2. Tiga bilangan membentuk deret geometri. Jumlah ketiganya 14 dan hasil kalinya 64. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 m. Setiap memantul, bola mencapai ½ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti.
4. Diketahui S∞ = 48 dan jumlah suku-suku bernomor ganjil (U₁ + U₃ + U₅ + …) = 32. Tentukan a dan r.
5. Tentukan nilai dari: 25 + 425 + 8125 + 16625 + … (hingga tak hingga)