Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Geometri Tak Berhingga
π Materi
1. Pengertian Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri yang banyak sukunya tak terhingga (menuju tak hingga).
Bentuk umum:
Keterangan:
- a = suku pertama
- r = rasio (perbandingan antar suku berurutan)
- Sβ = jumlah deret tak berhingga
2. Syarat Konvergensi
Deret geometri tak berhingga konvergen (memiliki jumlah tertentu) jika dan hanya jika:
Jika |r| β₯ 1, maka deret divergen (tidak memiliki jumlah tertentu / menuju tak hingga).
| Nilai r | Sifat Deret | Contoh |
|---|---|---|
| |r| < 1 | Konvergen | r = Β½, r = ββ |
| |r| = 1 | Divergen | r = 1, r = β1 |
| |r| > 1 | Divergen | r = 2, r = β3 |
3. Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Berhingga
Untuk deret konvergen (|r| < 1), rumus jumlahnya:
Penurunan rumus:
Dari rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
Jika |r| < 1, maka ketika n β β, nilai rn β 0, sehingga:
4. Aplikasi: Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan
Bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai deret geometri tak berhingga.
Contoh: 0,333β¦ = 0,3 + 0,03 + 0,003 + β¦
Ini adalah deret geometri dengan a = 0,3 dan r = 0,1
5. Kegiatan Pembelajaran
π Mengamati
Amati pola berikut:
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 m. Setiap kali memantul, bola mencapai ΒΎ dari ketinggian sebelumnya.
Tinggi pantulan: 16, 12, 9, 6,75, β¦
Total jarak yang ditempuh bola (naik-turun) membentuk deret geometri tak berhingga.
β Menanya
- Kapan deret geometri tak berhingga memiliki jumlah tertentu?
- Bagaimana cara menentukan jumlah deret geometri tak berhingga?
- Mengapa syarat |r| < 1 diperlukan agar deret konvergen?
- Bagaimana hubungan deret geometri tak berhingga dengan desimal berulang?
π‘ Menalar
Perhatikan deret: 1 + Β½ + ΒΌ + β + β¦
Jumlah parsial:
| n | Sn | Selisih dengan 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1,5 | 0,5 |
| 3 | 1,75 | 0,25 |
| 4 | 1,875 | 0,125 |
| 5 | 1,9375 | 0,0625 |
| 10 | 1,999β¦ | β 0,001 |
Semakin banyak suku yang dijumlahkan, hasilnya semakin mendekati 2. Dengan rumus: Sβ = 1/(1βΒ½) = 2 β
π§ͺ Mencoba
Cobalah tentukan jumlah deret berikut:
- 8 + 4 + 2 + 1 + β¦ (a = 8, r = Β½)
- 27 β 9 + 3 β 1 + β¦ (a = 27, r = ββ )
- Ubah 0,666β¦ menjadi pecahan biasa
π’ Mengkomunikasikan
Tuliskan penjelasanmu untuk pertanyaan berikut:
- Jelaskan mengapa deret 1 + 2 + 4 + 8 + β¦ tidak memiliki jumlah!
- Jelaskan langkah-langkah mengubah 0,272727β¦ menjadi pecahan biasa menggunakan konsep deret geometri tak berhingga!
- Berikan contoh penerapan deret geometri tak berhingga dalam kehidupan sehari-hari!
π Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1:
Tentukan jumlah deret geometri tak berhingga: 4 + 2 + 1 + Β½ + β¦
Pembahasan
Diketahui: a = 4, r = 2/4 = Β½
Karena |r| = Β½ < 1, deret konvergen.
Sβ = a/(1βr) = 4/(1βΒ½) = 4/(Β½) = 8
Contoh 2:
Tentukan jumlah deret: 9 + 3 + 1 + β + β¦
Pembahasan
Diketahui: a = 9, r = 3/9 = β
Karena |r| = β < 1, deret konvergen.
Sβ = 9/(1ββ ) = 9/(β ) = 9 Γ 3/2 = 27/2 = 13,5
Contoh 3:
Tentukan jumlah deret: 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + β¦
Pembahasan
Diketahui: a = 10, r = 5/10 = Β½
Sβ = 10/(1βΒ½) = 10/(Β½) = 20
Contoh 4:
Nyatakan 0,444β¦ sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
0,444β¦ = 0,4 + 0,04 + 0,004 + β¦
a = 0,4 ; r = 0,1
Sβ = 0,4/(1β0,1) = 0,4/0,9 = 4/9
Jadi 0,444β¦ = 4/9
Contoh 5:
Tentukan jumlah deret: 6 + 2 + β + 2/9 + β¦
Pembahasan
Diketahui: a = 6, r = 2/6 = β
Sβ = 6/(1ββ ) = 6/(β ) = 6 Γ 3/2 = 9
Sedang
Contoh 6:
Tentukan jumlah deret: 12 β 6 + 3 β 3/2 + β¦
Pembahasan
a = 12, r = β6/12 = βΒ½
|r| = Β½ < 1 β konvergen
Sβ = 12/(1β(βΒ½)) = 12/(3/2) = 12 Γ 2/3 = 8
Contoh 7:
Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 20. Jika suku pertama 15, tentukan rasio!
Pembahasan
Sβ = a/(1βr)
20 = 15/(1βr)
20(1βr) = 15
1βr = 15/20 = ΒΎ
r = 1 β ΒΎ = ΒΌ
Contoh 8:
Nyatakan 0,272727β¦ sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
0,272727β¦ = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + β¦
a = 0,27 ; r = 0,01
Sβ = 0,27/(1β0,01) = 0,27/0,99 = 27/99 = 3/11
Contoh 9:
Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 8. Jika rasio = Β½, tentukan suku pertama!
Pembahasan
Sβ = a/(1βr)
8 = a/(1βΒ½)
8 = a/(Β½)
a = 8 Γ Β½ = 4
Contoh 10:
Tentukan jumlah deret: 1 β β + 4/9 β 8/27 + β¦
Pembahasan
a = 1, r = ββ
|r| = β < 1 β konvergen
Sβ = 1/(1β(ββ )) = 1/(1+β ) = 1/(5/3) = 3/5
Sulit
Contoh 11:
Diketahui deret geometri tak berhingga dengan suku pertama (2x+1) dan rasio (xβ1). Jika deret konvergen dan jumlahnya 3, tentukan nilai x!
Pembahasan
Syarat konvergen: |xβ1| < 1 β 0 < x < 2
Sβ = a/(1βr)
3 = (2x+1)/(1β(xβ1)) = (2x+1)/(2βx)
3(2βx) = 2x+1
6β3x = 2x+1
5 = 5x β x = 1
Cek: 0 < 1 < 2 β (memenuhi syarat konvergen)
a = 2(1)+1 = 3, r = 1β1 = 0. Sβ = 3/(1β0) = 3 β
Contoh 12:
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 18 m dan setiap memantul mencapai β tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti!
Pembahasan
Jarak jatuh pertama = 18 m
Setelah itu bola naik dan turun: 12, 12, 8, 8, β¦
Total jarak = 18 + 2(12 + 8 + 16/3 + β¦)
Deret naik: a = 12, r = β
Sβ = 12/(1ββ ) = 12/(β ) = 36
Total jarak = 18 + 2(36) = 18 + 72 = 90 m
Contoh 13:
Nyatakan 2,1Μ8Μ (2,181818β¦) sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
2,181818β¦ = 2 + 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + β¦
Bagian desimal: a = 0,18, r = 0,01
Sβ = 0,18/(1β0,01) = 0,18/0,99 = 18/99 = 2/11
Jadi 2,181818β¦ = 2 + 2/11 = 22/11 + 2/11 = 24/11
Contoh 14:
Jumlah deret geometri tak berhingga 2 kali suku pertamanya. Tentukan rasio deret tersebut!
Pembahasan
Sβ = 2a
a/(1βr) = 2a
1/(1βr) = 2
1 = 2(1βr)
1 = 2β2r
2r = 1 β r = Β½
Contoh 15:
Tentukan jumlah deret: β (n=0 sampai β) dari 3Β·(βΒΌ)n
Pembahasan
Jabarkan: 3Β·(βΒΌ)0 + 3Β·(βΒΌ)1 + 3Β·(βΒΌ)2 + β¦
= 3 + 3Β·(βΒΌ) + 3Β·(1/16) + β¦
a = 3, r = βΒΌ
|r| = ΒΌ < 1 β konvergen
Sβ = 3/(1β(βΒΌ)) = 3/(5/4) = 3 Γ 4/5 = 12/5 = 2,4
βοΈ Latihan Soal
Mudah
- Tentukan jumlah deret: 8 + 4 + 2 + 1 + β¦
- Tentukan jumlah deret: 12 + 4 + 4/3 + 4/9 + β¦
- Tentukan jumlah deret: 5 + 1 + 1/5 + 1/25 + β¦
- Nyatakan 0,555β¦ sebagai pecahan biasa!
- Tentukan jumlah deret: 20 + 10 + 5 + 5/2 + β¦
Sedang
- Tentukan jumlah deret: 18 β 12 + 8 β 16/3 + β¦
- Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 12. Jika suku pertama = 9, tentukan rasio!
- Nyatakan 0,363636β¦ sebagai pecahan biasa!
- Jumlah deret geometri tak berhingga = 15, rasio = β . Tentukan suku pertama!
- Tentukan jumlah deret: 2 + 1 + Β½ + ΒΌ + β¦ dikurangi deret 3 + 1 + β + 1/9 + β¦
Sulit
- Diketahui deret geometri tak berhingga dengan a = (3xβ2) dan r = (x+1)/3. Jika deret konvergen dan jumlahnya 6, tentukan nilai x!
- Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 24 m. Setiap memantul mencapai ΒΎ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola!
- Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 3 kali suku pertama. Jika suku kedua = 4, tentukan suku pertama dan rasio!
- Nyatakan 3,142857142857β¦ (3,1Μ4Μ2Μ8Μ5Μ7Μ) sebagai pecahan biasa!
- Tentukan semua nilai x agar deret (x+3) + (x+3)2 + (x+3)3 + β¦ konvergen, lalu tentukan jumlahnya dalam x!