Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Geometri Tak Berhingga
📘 Materi
1. Pengertian Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri yang banyak sukunya tak terhingga (menuju tak hingga).
Bentuk umum:
Keterangan:
- a = suku pertama
- r = rasio (perbandingan antar suku berurutan)
- S∞ = jumlah deret tak berhingga
2. Syarat Konvergensi
Deret geometri tak berhingga konvergen (memiliki jumlah tertentu) jika dan hanya jika:
Jika |r| ≥ 1, maka deret divergen (tidak memiliki jumlah tertentu / menuju tak hingga).
| Nilai r | Sifat Deret | Contoh |
|---|---|---|
| |r| < 1 | Konvergen | r = ½, r = −⅓ |
| |r| = 1 | Divergen | r = 1, r = −1 |
| |r| > 1 | Divergen | r = 2, r = −3 |
3. Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Berhingga
Untuk deret konvergen (|r| < 1), rumus jumlahnya:
Penurunan rumus:
Dari rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
Jika |r| < 1, maka ketika n → ∞, nilai rn → 0, sehingga:
4. Aplikasi: Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan
Bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai deret geometri tak berhingga.
Contoh: 0,333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + …
Ini adalah deret geometri dengan a = 0,3 dan r = 0,1
5. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Amati pola berikut:
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 m. Setiap kali memantul, bola mencapai ¾ dari ketinggian sebelumnya.
Tinggi pantulan: 16, 12, 9, 6,75, …
Total jarak yang ditempuh bola (naik-turun) membentuk deret geometri tak berhingga.
❓ Menanya
- Kapan deret geometri tak berhingga memiliki jumlah tertentu?
- Bagaimana cara menentukan jumlah deret geometri tak berhingga?
- Mengapa syarat |r| < 1 diperlukan agar deret konvergen?
- Bagaimana hubungan deret geometri tak berhingga dengan desimal berulang?
💡 Menalar
Perhatikan deret: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …
Jumlah parsial:
| n | Sn | Selisih dengan 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1,5 | 0,5 |
| 3 | 1,75 | 0,25 |
| 4 | 1,875 | 0,125 |
| 5 | 1,9375 | 0,0625 |
| 10 | 1,999… | ≈ 0,001 |
Semakin banyak suku yang dijumlahkan, hasilnya semakin mendekati 2. Dengan rumus: S∞ = 1/(1−½) = 2 ✓
🧪 Mencoba
Cobalah tentukan jumlah deret berikut:
- 8 + 4 + 2 + 1 + … (a = 8, r = ½)
- 27 − 9 + 3 − 1 + … (a = 27, r = −⅓)
- Ubah 0,666… menjadi pecahan biasa
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan penjelasanmu untuk pertanyaan berikut:
- Jelaskan mengapa deret 1 + 2 + 4 + 8 + … tidak memiliki jumlah!
- Jelaskan langkah-langkah mengubah 0,272727… menjadi pecahan biasa menggunakan konsep deret geometri tak berhingga!
- Berikan contoh penerapan deret geometri tak berhingga dalam kehidupan sehari-hari!
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1:
Tentukan jumlah deret geometri tak berhingga: 4 + 2 + 1 + ½ + …
Pembahasan
Diketahui: a = 4, r = 2/4 = ½
Karena |r| = ½ < 1, deret konvergen.
S∞ = a/(1−r) = 4/(1−½) = 4/(½) = 8
Contoh 2:
Tentukan jumlah deret: 9 + 3 + 1 + ⅓ + …
Pembahasan
Diketahui: a = 9, r = 3/9 = ⅓
Karena |r| = ⅓ < 1, deret konvergen.
S∞ = 9/(1−⅓) = 9/(⅔) = 9 × 3/2 = 27/2 = 13,5
Contoh 3:
Tentukan jumlah deret: 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + …
Pembahasan
Diketahui: a = 10, r = 5/10 = ½
S∞ = 10/(1−½) = 10/(½) = 20
Contoh 4:
Nyatakan 0,444… sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + …
a = 0,4 ; r = 0,1
S∞ = 0,4/(1−0,1) = 0,4/0,9 = 4/9
Jadi 0,444… = 4/9
Contoh 5:
Tentukan jumlah deret: 6 + 2 + ⅔ + 2/9 + …
Pembahasan
Diketahui: a = 6, r = 2/6 = ⅓
S∞ = 6/(1−⅓) = 6/(⅔) = 6 × 3/2 = 9
Sedang
Contoh 6:
Tentukan jumlah deret: 12 − 6 + 3 − 3/2 + …
Pembahasan
a = 12, r = −6/12 = −½
|r| = ½ < 1 → konvergen
S∞ = 12/(1−(−½)) = 12/(3/2) = 12 × 2/3 = 8
Contoh 7:
Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 20. Jika suku pertama 15, tentukan rasio!
Pembahasan
S∞ = a/(1−r)
20 = 15/(1−r)
20(1−r) = 15
1−r = 15/20 = ¾
r = 1 − ¾ = ¼
Contoh 8:
Nyatakan 0,272727… sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
0,272727… = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …
a = 0,27 ; r = 0,01
S∞ = 0,27/(1−0,01) = 0,27/0,99 = 27/99 = 3/11
Contoh 9:
Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 8. Jika rasio = ½, tentukan suku pertama!
Pembahasan
S∞ = a/(1−r)
8 = a/(1−½)
8 = a/(½)
a = 8 × ½ = 4
Contoh 10:
Tentukan jumlah deret: 1 − ⅔ + 4/9 − 8/27 + …
Pembahasan
a = 1, r = −⅔
|r| = ⅔ < 1 → konvergen
S∞ = 1/(1−(−⅔)) = 1/(1+⅔) = 1/(5/3) = 3/5
Sulit
Contoh 11:
Diketahui deret geometri tak berhingga dengan suku pertama (2x+1) dan rasio (x−1). Jika deret konvergen dan jumlahnya 3, tentukan nilai x!
Pembahasan
Syarat konvergen: |x−1| < 1 → 0 < x < 2
S∞ = a/(1−r)
3 = (2x+1)/(1−(x−1)) = (2x+1)/(2−x)
3(2−x) = 2x+1
6−3x = 2x+1
5 = 5x → x = 1
Cek: 0 < 1 < 2 ✓ (memenuhi syarat konvergen)
a = 2(1)+1 = 3, r = 1−1 = 0. S∞ = 3/(1−0) = 3 ✓
Contoh 12:
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 18 m dan setiap memantul mencapai ⅔ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti!
Pembahasan
Jarak jatuh pertama = 18 m
Setelah itu bola naik dan turun: 12, 12, 8, 8, …
Total jarak = 18 + 2(12 + 8 + 16/3 + …)
Deret naik: a = 12, r = ⅔
S∞ = 12/(1−⅔) = 12/(⅓) = 36
Total jarak = 18 + 2(36) = 18 + 72 = 90 m
Contoh 13:
Nyatakan 2,1̄8̄ (2,181818…) sebagai pecahan biasa!
Pembahasan
2,181818… = 2 + 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + …
Bagian desimal: a = 0,18, r = 0,01
S∞ = 0,18/(1−0,01) = 0,18/0,99 = 18/99 = 2/11
Jadi 2,181818… = 2 + 2/11 = 22/11 + 2/11 = 24/11
Contoh 14:
Jumlah deret geometri tak berhingga 2 kali suku pertamanya. Tentukan rasio deret tersebut!
Pembahasan
S∞ = 2a
a/(1−r) = 2a
1/(1−r) = 2
1 = 2(1−r)
1 = 2−2r
2r = 1 → r = ½
Contoh 15:
Tentukan jumlah deret: ∑ (n=0 sampai ∞) dari 3·(−¼)n
Pembahasan
Jabarkan: 3·(−¼)0 + 3·(−¼)1 + 3·(−¼)2 + …
= 3 + 3·(−¼) + 3·(1/16) + …
a = 3, r = −¼
|r| = ¼ < 1 → konvergen
S∞ = 3/(1−(−¼)) = 3/(5/4) = 3 × 4/5 = 12/5 = 2,4
✏️ Latihan Soal
Mudah
- Tentukan jumlah deret: 8 + 4 + 2 + 1 + …
- Tentukan jumlah deret: 12 + 4 + 4/3 + 4/9 + …
- Tentukan jumlah deret: 5 + 1 + 1/5 + 1/25 + …
- Nyatakan 0,555… sebagai pecahan biasa!
- Tentukan jumlah deret: 20 + 10 + 5 + 5/2 + …
Sedang
- Tentukan jumlah deret: 18 − 12 + 8 − 16/3 + …
- Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 12. Jika suku pertama = 9, tentukan rasio!
- Nyatakan 0,363636… sebagai pecahan biasa!
- Jumlah deret geometri tak berhingga = 15, rasio = ⅓. Tentukan suku pertama!
- Tentukan jumlah deret: 2 + 1 + ½ + ¼ + … dikurangi deret 3 + 1 + ⅓ + 1/9 + …
Sulit
- Diketahui deret geometri tak berhingga dengan a = (3x−2) dan r = (x+1)/3. Jika deret konvergen dan jumlahnya 6, tentukan nilai x!
- Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 24 m. Setiap memantul mencapai ¾ tinggi sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola!
- Jumlah deret geometri tak berhingga adalah 3 kali suku pertama. Jika suku kedua = 4, tentukan suku pertama dan rasio!
- Nyatakan 3,142857142857… (3,1̄4̄2̄8̄5̄7̄) sebagai pecahan biasa!
- Tentukan semua nilai x agar deret (x+3) + (x+3)2 + (x+3)3 + … konvergen, lalu tentukan jumlahnya dalam x!