Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi
Matematika
Materi: Metode Substitusi pada Limit Fungsi Trigonometri
1. Pendahuluan
Metode substitusi adalah salah satu teknik untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri. Ide utamanya adalah mengganti variabel dengan variabel baru agar bentuk limit menjadi lebih sederhana dan dapat dievaluasi menggunakan limit-limit dasar trigonometri yang sudah diketahui.
Metode ini sangat berguna ketika argumen fungsi trigonometri bukan variabel $x$ secara langsung, melainkan suatu ekspresi dari $x$, misalnya $2x$, $3x$, $x^2$, atau ekspresi lain.
Limit Dasar Trigonometri yang Harus Diingat:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$$
2. Konsep Metode Substitusi
Langkah-langkah metode substitusi:
- Identifikasi argumen fungsi trigonometri. Misalkan argumennya adalah $f(x)$.
- Lakukan substitusi dengan memisalkan $u = f(x)$.
- Sesuaikan batas limit. Jika $x \to a$, maka tentukan $u \to f(a)$.
- Ubah seluruh ekspresi dalam variabel $u$.
- Evaluasi limit dalam variabel baru $u$.
Prinsip Substitusi:
Jika $u = f(x)$ dan ketika $x \to a$ maka $u \to f(a)$, maka:
$$\lim_{x \to a} g(f(x)) = \lim_{u \to f(a)} g(u)$$
3. Kasus-Kasus Penggunaan Substitusi
Kasus A: Argumen Berupa Kelipatan $x$
Contoh: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
Misalkan $u = 3x$, maka $x = \frac{u}{3}$.
Ketika $x \to 0$, maka $u \to 0$.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{3}} = \lim_{u \to 0} \frac{3\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3$$
Kasus B: Argumen Berupa Ekspresi Kuadrat
Contoh: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}$
Misalkan $u = x^2$, ketika $x \to 0$, maka $u \to 0$.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$$
Kasus C: Limit Tidak Menuju Nol
Contoh: $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x – \frac{\pi}{2}}$
Misalkan $u = x – \frac{\pi}{2}$, maka $x = u + \frac{\pi}{2}$.
Ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, maka $u \to 0$.
$$\cos x = \cos\left(u + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin u$$
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x – \frac{\pi}{2}} = \lim_{u \to 0} \frac{-\sin u}{u} = -1$$
Kasus D: Substitusi pada Fungsi Komposisi
Contoh: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$
Kita bisa tulis ulang:
$$\frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin 5x} \cdot \frac{1}{1} = \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}$$
Dengan substitusi $u=2x$ pada bagian pertama dan $v=5x$ pada bagian kedua:
$$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$$
Kegiatan Pembelajaran (5M)
🔍 Mengamati
Perhatikan perbedaan antara:
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \text{?}$
Amati bahwa pada limit kedua, argumen $\sin$ bukan $x$ melainkan $4x$. Jika kita substitusikan langsung $x=0$, hasilnya $\frac{0}{0}$ (tak tentu). Kita perlu metode substitusi untuk mengatasinya.
❓ Menanya
- Bagaimana cara mengubah $\frac{\sin 4x}{x}$ agar berbentuk $\frac{\sin u}{u}$?
- Kapan kita perlu menggunakan substitusi dan kapan cukup manipulasi langsung?
- Bagaimana jika limit menuju nilai selain nol?
💡 Menalar
Jika $u = 4x$, maka $x = \frac{u}{4}$. Saat $x \to 0$, maka $u \to 0$. Dengan demikian:
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 4x}{x} = \lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{\frac{u}{4}} = 4\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u} = 4$$
Kita menalar bahwa substitusi mengubah bentuk limit menjadi bentuk dasar yang nilainya sudah diketahui.
🧪 Mencoba
Cobalah selesaikan dengan metode substitusi:
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x}$ (substitusi $u = 7x$)
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}$ (substitusi $u = 3x$)
- $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x – \pi)}{x – \pi}$ (substitusi $u = x-\pi$)
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara lengkap dengan format:
- Tentukan substitusi yang digunakan
- Tentukan batas limit baru
- Ubah ekspresi ke variabel baru
- Hitung nilai limitnya
- Tuliskan kesimpulan
4. Tips Memilih Substitusi
| Bentuk Limit | Substitusi | Batas Baru |
|---|---|---|
| $x \to 0$, argumen $ax$ | $u = ax$ | $u \to 0$ |
| $x \to a$, argumen $(x-a)$ | $u = x – a$ | $u \to 0$ |
| $x \to 0$, argumen $x^2$ | $u = x^2$ | $u \to 0$ |
| $x \to \frac{\pi}{2}$, ada $\cos x$ | $u = x – \frac{\pi}{2}$ | $u \to 0$ |
| $x \to \pi$, ada $\sin x$ | $u = x – \pi$ | $u \to 0$ |
Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$
Langkah 1: Misalkan $u = 5x$, maka $x = \frac{u}{5}$
Langkah 2: Saat $x \to 0$, maka $u \to 0$
Langkah 3: Substitusi:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{5}} = \lim_{u \to 0} \frac{5\sin u}{u} = 5 \cdot 1 = \boxed{5}$$
Contoh 2:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$
Langkah 1: Misalkan $u = 2x$, maka $x = \frac{u}{2}$
Langkah 2: Saat $x \to 0$, maka $u \to 0$
Langkah 3: Substitusi:
$$\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{\frac{u}{2}} = 2\lim_{u \to 0}\frac{\tan u}{u} = 2 \cdot 1 = \boxed{2}$$
Contoh 3:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 3x}$
Langkah 1: Misalkan $u = 3x$, maka $x = \frac{u}{3}$
Langkah 2: Saat $x \to 0$, maka $u \to 0$
Langkah 3:
$$\lim_{u \to 0} \frac{\frac{u}{3}}{\sin u} = \frac{1}{3}\lim_{u \to 0}\frac{u}{\sin u} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \boxed{\frac{1}{3}}$$
Contoh 4:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 2x}$
Langkah 1: Tulis ulang sebagai:
$$\frac{\sin 6x}{\sin 2x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{6x}{2x}$$
Langkah 2: Substitusi $u=6x$ pada bagian pertama, $v=2x$ pada bagian kedua:
$$= \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} \cdot \lim_{v\to 0}\frac{v}{\sin v} \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = \boxed{3}$$
Contoh 5:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{\tan x}$
Langkah 1: Tulis ulang:
$$\frac{\tan 4x}{\tan x} = \frac{\tan 4x}{4x} \cdot \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{4x}{x}$$
Langkah 2: Dengan substitusi $u=4x$ dan $v=x$:
$$= 1 \cdot 1 \cdot 4 = \boxed{4}$$
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$
Langkah 1: Tulis ulang:
$$\frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\tan 5x} \cdot \frac{3x}{5x}$$
Langkah 2: Substitusi $u=3x$, $v=5x$:
$$= \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\cdot\lim_{v\to 0}\frac{v}{\tan v}\cdot\frac{3}{5} = 1\cdot 1\cdot\frac{3}{5} = \boxed{\frac{3}{5}}$$
Contoh 7:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x – \pi)}{x – \pi}$
Langkah 1: Misalkan $u = x – \pi$, saat $x \to \pi$ maka $u \to 0$
Langkah 2:
$$\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u} = \boxed{1}$$
Contoh 8:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x – \frac{\pi}{2}}$
Langkah 1: Misalkan $u = x – \frac{\pi}{2}$, maka $x = u + \frac{\pi}{2}$, saat $x \to \frac{\pi}{2}$ maka $u \to 0$
Langkah 2: Gunakan identitas: $\cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin u$
Langkah 3:
$$\lim_{u\to 0}\frac{-\sin u}{u} = -1 \cdot \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = \boxed{-1}$$
Contoh 9:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2}$
Langkah 1: Tulis ulang:
$$\frac{\sin^2 3x}{x^2} = \left(\frac{\sin 3x}{x}\right)^2$$
Langkah 2: Substitusi $u=3x$ pada bagian dalam:
$$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin u}{\frac{u}{3}} = \frac{3\sin u}{u}$$
Langkah 3:
$$\lim_{u\to 0}\left(\frac{3\sin u}{u}\right)^2 = (3\cdot 1)^2 = \boxed{9}$$
Contoh 10:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos 2x}{x\sin x}$
Langkah 1: Gunakan identitas $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$:
$$\frac{1-\cos 2x}{x\sin x} = \frac{2\sin^2 x}{x\sin x} = \frac{2\sin x}{x}$$
Langkah 2:
$$\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x}{x} = 2\cdot 1 = \boxed{2}$$
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x}$
Langkah 1: Tulis ulang:
$$\frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot\frac{x^2}{\sin^2 x}$$
Langkah 2: Untuk bagian pertama, substitusi $u=x^2$, saat $x\to 0$ maka $u\to 0$:
$$\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$$
Langkah 3: Bagian kedua:
$$\frac{x^2}{\sin^2 x} = \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 \to 1^2 = 1$$
Hasil: $1 \cdot 1 = \boxed{1}$
Contoh 12:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x – \sin 3x}{x^3}$
Langkah 1: Misalkan $u = 3x$, maka $x = \frac{u}{3}$, $x^3 = \frac{u^3}{27}$:
$$\lim_{u\to 0}\frac{\tan u – \sin u}{\frac{u^3}{27}} = 27\lim_{u\to 0}\frac{\tan u – \sin u}{u^3}$$
Langkah 2: Sederhanakan $\tan u – \sin u$:
$$\tan u – \sin u = \frac{\sin u}{\cos u} – \sin u = \sin u\left(\frac{1-\cos u}{\cos u}\right)$$
Langkah 3:
$$27\lim_{u\to 0}\frac{\sin u(1-\cos u)}{u^3 \cos u} = 27\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}\cdot\frac{1}{\cos u}$$
Kita tahu $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$
$$= 27\cdot 1\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \boxed{\frac{27}{2}}$$
Contoh 13:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x^2\tan x}$
Langkah 1: Tulis $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, sehingga $x^2\tan x = \frac{x^2\sin x}{\cos x}$:
$$\frac{x-\sin x}{x^2\tan x} = \frac{(x-\sin x)\cos x}{x^2\sin x}$$
Langkah 2: Saat $x\to 0$, $\cos x\to 1$. Fokus pada:
$$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^2\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\cdot\frac{x}{\sin x}$$
Langkah 3: Diketahui $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$ (dari deret Taylor) dan $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$:
$$= \frac{1}{6}\cdot 1\cdot 1= \boxed{\frac{1}{6}}$$
Contoh 14:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x – \cos x}{1 – \tan x}$
Langkah 1: Misalkan $u = x – \frac{\pi}{4}$, saat $x\to\frac{\pi}{4}$ maka $u\to 0$.
$x = u + \frac{\pi}{4}$
Langkah 2: Hitung pembilang:
$\sin x – \cos x = \sin(u+\frac{\pi}{4})-\cos(u+\frac{\pi}{4})$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin u+\cos u) – \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos u – \sin u)$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}(2\sin u) = \sqrt{2}\sin u$
Langkah 3: Hitung penyebut $1-\tan x$:
$1-\tan(u+\frac{\pi}{4}) = 1 – \frac{\tan u + 1}{1-\tan u} = \frac{1-\tan u-\tan u-1}{1-\tan u} = \frac{-2\tan u}{1-\tan u}$
Langkah 4:
$$\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{2}\sin u}{\frac{-2\tan u}{1-\tan u}} = \lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{2}\sin u(1-\tan u)}{-2\tan u}$$
$$= \lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{2}\sin u}{-2\tan u}\cdot(1-\tan u) = \frac{\sqrt{2}}{-2}\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{\tan u}\cdot 1$$
Karena $\frac{\sin u}{\tan u} = \cos u \to 1$:
$$= \frac{\sqrt{2}}{-2}\cdot 1 = \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
Contoh 15:
Tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x) – \tan(\sin x)}{x^3}$
Langkah 1: Ini adalah soal klasik. Kita gunakan pendekatan deret Taylor:
$\sin x \approx x – \frac{x^3}{6}$, $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$
Langkah 2: $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$, maka:
$\sin(\tan x) \approx \tan x – \frac{(\tan x)^3}{6} \approx (x+\frac{x^3}{3})-\frac{x^3}{6} = x+\frac{x^3}{6}$
Langkah 3: $\sin x \approx x – \frac{x^3}{6}$, maka:
$\tan(\sin x) \approx \sin x + \frac{(\sin x)^3}{3} \approx (x-\frac{x^3}{6})+\frac{x^3}{3} = x+\frac{x^3}{6}$
Langkah 4: Perbedaannya muncul di orde yang lebih tinggi. Hasil yang tepat (dengan ekspansi orde 5):
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan x)-\tan(\sin x)}{x^3} = 0$$
Namun jika dihitung lebih teliti hingga orde 7, limitnya $= \boxed{0}$ (pada orde $x^3$, koefisiennya sama).
Catatan: Soal ini memerlukan ekspansi Taylor orde tinggi. Untuk orde $x^7$: hasilnya $-\frac{1}{30}$ jika limitnya $\frac{\sin(\tan x)-\tan(\sin x)}{x^7}$. Namun untuk $x^3$ jawabannya adalah $\boxed{0}$.
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut menggunakan metode substitusi. Tidak disertai pembahasan — kerjakan secara mandiri!
MUDAH
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 8x}{x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 6x}{x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 4x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 7x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 9x}$
SEDANG
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2}$
- $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{\tan(x-\pi)}{x-\pi}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 4x}{x\sin 2x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x-\pi)}{x-\frac{\pi}{2}}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x\cdot\tan 2x}{x^2}$
SULIT
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3}$
- $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos x – 1}{x – \frac{\pi}{3}}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2+3x)}{x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x\cos x – \sin x}{x^2\sin x}$
- $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan x}{\sin x – \cos x}$