📐 Matematika Peminatan
Limit Tak Berhingga dalam Bentuk Akar
Panduan lengkap untuk memahami cara menyelesaikan limit menuju tak hingga yang memuat bentuk akar (radikal).
👁 Mengamati
1. Konsep Dasar Limit Tak Berhingga Bentuk Akar
Limit tak berhingga dalam bentuk akar adalah limit yang variabelnya menuju ∞ (tak hingga) dan fungsinya mengandung akar (tanda radikal √) .
Bentuk umum yang sering dijumpai:
lim x→∞ f(x) g(x)
atau bentuk:
lim x→∞ f(x)
Jika kita substitusi langsung x = ∞ , akan menghasilkan bentuk ∞ − ∞ yang merupakan bentuk tak tentu . Oleh karena itu diperlukan teknik khusus untuk menyelesaikannya.
💡 Ingat: Bentuk ∞ − ∞ bukan berarti hasilnya 0. Ini adalah bentuk tak tentu yang harus diselesaikan dengan teknik tertentu.
❓ Menanya
Pertanyaan Kunci:
Mengapa ∞ − ∞ tidak bisa langsung dihitung?
Bagaimana cara mengubah bentuk ∞ − ∞ agar bisa diselesaikan?
Apa hubungan “kali sekawan” dengan penyelesaian limit bentuk akar?
🧠 Menalar
2. Teknik Kali Sekawan (Rasionalisasi)
Teknik utama untuk menyelesaikan limit bentuk akar adalah mengalikan dengan sekawan (conjugate) .
A. Bentuk √f(x) − √g(x)
Langkah-langkah:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan -nya, yaitu √f(x) + √g(x)
Gunakan rumus (a − b)(a + b) = a² − b²
Sederhanakan hasilnya
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x
lim x→∞ f(x) g(x)
= lim x→∞ f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
= lim x→∞ f(x) − g(x) f(x) g(x)
B. Bentuk √f(x) − (ax + b)
Kalikan dengan sekawan:
lim x→∞ f(x) f(x) f(x)
🔬 Mencoba
🖊 Coba sendiri: Ambil f(x) = 4x² + 3x dan g(x) = 4x² − x . Hitung selisihnya setelah dikalikan sekawan. Apakah hasilnya bentuk tak tentu lagi?
🧠 Menalar
3. Rumus Cepat Limit Bentuk Akar
Untuk bentuk yang sering muncul, terdapat rumus cepat yang bisa digunakan setelah memahami konsepnya:
Rumus 1: √(ax² + bx + c) − √(ax² + dx + e)
lim x→∞ ax² + bx + c ax² + dx + e b − d 2a
💡 Syarat: Koefisien x² pada kedua akar harus sama (keduanya = a ). Jika berbeda, limit-nya adalah ∞ atau −∞ .
Tabel ringkasan berdasarkan koefisien x²:
Kondisi koef. x²
Hasil Limit
Keterangan
Koef. x² sama (= a)
(b − d) / (2√a)
Nilai berhingga
Koef. x² kiri > kanan
∞
Divergen ke +∞
Koef. x² kiri < kanan
−∞
Divergen ke −∞
Rumus 2: √(ax² + bx + c) − (px + q)
Jika p² = a (artinya p = √a ), maka:
lim x→∞ ax² + bx + c b − 2pq 2p
⚠️ Perhatian: Jika p² ≠ a , maka limit-nya adalah ±∞ , bukan nilai berhingga.
Pembuktian Rumus 1 📢 Mengkomunikasikan
Mari buktikan rumus cepat agar kita paham asal-usulnya:
Langkah 1: Kalikan sekawan
= lim x→∞ (ax² + bx + c) − (ax² + dx + e) ax² + bx + c ax² + dx + e
Langkah 2: Sederhanakan pembilang
= lim x→∞ (b − d)x + (c − e) ax² + bx + c ax² + dx + e
Langkah 3: Bagi pembilang dan penyebut dengan x
= lim x→∞ (b − d) + c − e x a + b x c x² a + d x e x²
Langkah 4: Substitusi x → ∞ (suku per-x habis)
= b − d a a b − d 2√a
🔬 Mencoba
4. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1
lim x→∞ x² + 6x + 1 x² + 2x + 3
Lihat Pembahasan
Identifikasi: Koef. x² sama = 1, b = 6, d = 2
Cara Cepat:
= b − d 2√a 6 − 2 2√1 4 2 2
Cara Panjang (Kali Sekawan):
Kalikan sekawan:
= lim x→∞ (x² + 6x + 1) − (x² + 2x + 3) x² + 6x + 1 x² + 2x + 3
= lim x→∞ 4x − 2 x² + 6x + 1 x² + 2x + 3
Bagi dengan x:
= 4 − 0 √1 + √1 4 2 2
Soal 2
lim x→∞ x² + 8x x² + 4x
Lihat Pembahasan
Identifikasi: a = 1, b = 8, d = 4
= 8 − 4 2√1 4 2 2
Soal 3
lim x→∞ x² + 10x + 5
Lihat Pembahasan
Cara: Tulis x = √(x²), lalu gunakan rumus dengan a=1, b=10, d=0:
Atau kali sekawan dengan (√(x²+10x+5) + x):
= lim x→∞ x² + 10x + 5 − x² x² + 10x + 5 lim x→∞ 10x + 5 x² + 10x + 5
Bagi dengan x: = 10 1 + 1 5
Soal 4
lim x→∞ 4x² + 12x + 1 4x² + 4x + 3
Lihat Pembahasan
Identifikasi: a = 4, b = 12, d = 4
= 12 − 4 2√4 8 4 2
Soal 5
lim x→∞ 9x² + 3x
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus 2: a=9, b=3, p=3, q=0
= b − 2pq 2p 3 − 0 6 ½
Atau: koef x² = 9, b=3, d=0 → (3−0)/(2√9) = 3/6 = ½
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6
lim x→∞ 4x² + 8x − 1
Lihat Pembahasan
Identifikasi: a=4, b=8, p=2, q=1. Cek: p²=4=a ✓
= b − 2pq 2p 8 − 2(2)(1) 2(2) 8 − 4 4 1
Verifikasi dengan kali sekawan:
= lim x→∞ 4x² + 8x − 1 − (2x+1)² 4x² + 8x − 1
= lim x→∞ 4x² + 8x − 1 − 4x² − 4x − 1 4x² + 8x − 1
= lim x→∞ 4x − 2 4x² + 8x − 1
Bagi x: = 4 2 + 2 1 ✓
Soal 7
lim x→∞ x² + 5x + 2 x² − 3x + 1
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 5, d = −3
= 5 − (−3) 2√1 8 2 4
Perhatikan: d = −3 (negatif), jadi b − d = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Soal 8
lim x→∞ 9x² − 6x + 2 9x² + 12x − 1
Lihat Pembahasan
a = 9, b = −6, d = 12
= −6 − 12 2√9 −18 6 −3
Soal 9
lim x→∞ 25x² + 20x + 3
Lihat Pembahasan
a=25, b=20, p=5, q=−1. Cek: p²=25=a ✓
= 20 − 2(5)(−1) 2(5) 20 + 10 10 3
Soal 10
lim x→∞ x² + 4
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Selesaikan bagian dalam dulu. Kali sekawan pada (√(x²+4) − x):
x²+4 x²+4 − x² x²+4 4 x²+4
Langkah 2: Kalikan dengan x:
= lim x→∞ 4x x²+4
Bagi dengan x: = 4 1+1 2
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11
lim x→∞ x² + 3x + 1 x² + x + 1 x² − x + 1 x² − 3x + 1
Lihat Pembahasan
Strategi: Kelompokkan menjadi dua pasang:
Pasangan 1: √(x²+3x+1) − √(x²+x+1) → (3−1)/2 = 1
Pasangan 2: −√(x²−x+1) + √(x²−3x+1) = √(x²−3x+1) − √(x²−x+1) → (−3−(−1))/2 = −1
Total = 1 + (−1) = 0
Soal 12
lim x→∞ x + x + x x
Lihat Pembahasan
Strategi: Kalikan sekawan dengan (√(x+√(x+√x)) + √x):
= lim x→∞ x + x x+x+x x
Untuk x besar: √(x+√x) ≈ √x · √(1+1/√x) ≈ √x
Penyebut ≈ √x + √x = 2√x
Jadi ≈ √x / (2√x) = ½
Soal 13
lim x→∞ x² + x x² − x 2x ÷ (x
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung √(x²+x) − √(x²−x) terlebih dahulu:
= (1−(−1))/(2√1) = 2/2 = 1
Tapi ini pendekatan limit. Kita butuh lebih presisi.
Kali sekawan: = 2x √(x²+x) + √(x²−x)
Untuk x besar: ≈ 2x/(2x) = 1. Tapi kita perlu order selanjutnya.
Lebih teliti: √(x²+x) = x√(1+1/x) ≈ x(1 + 1/(2x)) = x + ½
√(x²−x) ≈ x − ½
Selisih ≈ 1, pangkat 2x ≈ 2x, bagi √x:
≈ (1)^(2x) · (koreksi) / √x → Perlu analisis lebih cermat.
Dengan ekspansi teliti: hasilnya = ∞ (divergen)
Soal 14
lim x→∞ 2 (x⁴ + x² + 1
Lihat Pembahasan
Strategi: Misalkan u = x². Maka soal menjadi:
= lim(u→∞) u · (√(u²+u+1) − u − ½)
Kali sekawan (√(u²+u+1) − (u+½)) dengan sekawannya:
= u · u²+u+1 − (u+½)² √(u²+u+1) + u + ½
= u · u²+u+1 − u² − u − ¼ √(u²+u+1) + u + ½
= u · ¾ √(u²+u+1) + u + ½
Bagi dengan u: = ¾ 1 + 1 3/8
Soal 15
lim x→∞
Lihat Pembahasan
Perhatian: Ini bentuk akar pangkat tiga! Gunakan identitas a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²).
Misalkan a = ∛(x³+3x²), b = x = ∛(x³)
a − b = a³ − b³ a² + ab + b² x³+3x² − x³ (∛(x³+3x²))² + x·∛(x³+3x²) + x²
= 3x² (∛(x³+3x²))² + x·∛(x³+3x²) + x²
Untuk x besar: ∛(x³+3x²) ≈ x, jadi penyebut ≈ x² + x² + x² = 3x²
= 3x²/(3x²) = 1
📢 Mengkomunikasikan
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan teknik kali sekawan atau rumus cepat yang telah dipelajari.
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1. lim x→∞ x² + 4x + 3 x² + 2x + 1
3. lim x→∞ 4x² + 8x + 5 4x² + 2x + 1
4. lim x→∞ 16x² + 4x
5. lim x→∞ x² + 10x + 7 x² + 4x + 3
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6. lim x→∞ 9x² + 12x − 5
7. lim x→∞ x² + 7x + 2 x² − x + 4
9. lim x→∞ 4x² − 10x + 3 4x² + 6x − 1
10. lim x→∞ x² + 3x x² + x
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11. lim x→∞ 4x² + x
12. lim x→∞
13. lim x→∞ x² + 2x x² − 2x
14. lim x→∞ x⁴ + 4x²
15. lim x→∞ x + 1 x x
📐 Limit Tak Berhingga dalam Bentuk Akar — Matematika
