Langkah 1: Substitusi \(x=3\): \(\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0}\) → tak tentu

Langkah 2: Faktorkan pembilang (selisih kuadrat):

\(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\)

Langkah 3: Sederhanakan:

\(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)} = \lim_{x\to 3}(x+3)\)

Langkah 4: Substitusi: \(3 + 3 = 6\)

Langkah 1: Substitusi: \(\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\)

Langkah 2: Faktorkan: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Langkah 3: \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=\lim_{x\to 1}(x+1)\)

Langkah 4: Substitusi: \(1+1=2\)

Substitusi: \(\frac{0}{0}\). Faktorkan: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)}=\lim_{x\to 4}(x+4)=4+4=8\)

Substitusi: \(\frac{0}{0}\). Faktorkan: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 5}(x+5)=10\)

Substitusi: \(\frac{0}{0}\). Faktorkan: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2)=4\)

Langkah 1: Substitusi \(x=2\): \(\frac{4+2-6}{4-4}=\frac{0}{0}\)

Langkah 2: Faktorkan pembilang: \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\)

Faktorkan penyebut: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)

Langkah 3: \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+3}{x+2}\)

Langkah 4: \(\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}\)

Substitusi \(x=-1\): \(\frac{1-3+2}{1-1}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\)

Penyebut: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to -1}\frac{x+2}{x-1}=\frac{-1+2}{-1-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)

Substitusi: \(\frac{9-15+6}{9-9}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)

Penyebut: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{3-2}{3+3}=\frac{1}{6}\)

Substitusi \(x=0\): \(\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^2+3x=x(x+3)\)

Penyebut: \(2x^2+x=x(2x+1)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x(x+3)}{x(2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{x+3}{2x+1}=\frac{0+3}{0+1}=3\)

Substitusi \(x=-2\): \(\frac{4-10+6}{4-8+4}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)

Penyebut: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)

\(\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\lim_{x\to -2}\frac{x+3}{x+2}=\frac{-2+3}{-2+2}=\frac{1}{0}\)

Catatan: Hasilnya \(\frac{1}{0}\), bukan \(\frac{0}{0}\). Ini berarti limit tidak ada (menuju tak hingga). Setelah pemfaktoran dan pencoretan satu \((x+2)\), substitusi menghasilkan bentuk \(\frac{1}{0}\), yang menunjukkan limit divergen.

Substitusi: \(\frac{8-8}{4-4}=\frac{0}{0}\)

Pembilang (selisih kubik): \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

Penyebut (selisih kuadrat): \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}\)

Substitusi: \(\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3\)

Substitusi \(x=1\): \(\frac{1-3+2}{1-1-1+1}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^3-3x+2\). Karena \(x=1\) adalah akar, bagi dengan \((x-1)\):

Dengan Horner: \(x^3-3x+2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)\)

Penyebut: \(x^3-x^2-x+1\). Karena \(x=1\) adalah akar:

\(x^3-x^2-x+1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{3}{2}\)

Substitusi: \(\frac{-1+1}{1-3+2}=\frac{0}{0}\)

Pembilang (jumlah kubik): \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

Penyebut: \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1+1+1}{-1+2}=\frac{3}{1}=3\)

Substitusi: \(\frac{16-16}{8-8}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\)

Penyebut: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(x^2+4)}{x^2+2x+4}\)

Substitusi: \(\frac{(4)(8)}{4+4+4}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\)

Substitusi \(x=1\): \(\frac{1+1-5+3}{1-4+5-2}=\frac{0}{0}\)

Pembilang: \(x^3+x^2-5x+3\), akar \(x=1\):

Horner → \((x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)(x+3)(x-1)=(x-1)^2(x+3)\)

Penyebut: \(x^3-4x^2+5x-2\), akar \(x=1\):

Horner → \((x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)(x-1)(x-2)=(x-1)^2(x-2)\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2(x+3)}{(x-1)^2(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x-2}=\frac{4}{-1}=-4\)