Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Panjang Busur
Aplikasi Integral dalam Menghitung Panjang Kurva
📐 Materi: Panjang Busur (Arc Length)
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan sebuah kurva $y = f(x)$ pada interval $[a, b]$. Bayangkan kita ingin mengukur panjang kurva tersebut, bukan jarak lurus dari titik awal ke titik akhir, melainkan panjang sepanjang lekukan kurvanya.
Misalnya, jika kita memiliki kawat yang dibentuk mengikuti kurva $y = x^2$ dari $x=0$ sampai $x=1$, berapa panjang kawat yang dibutuhkan?
Amati bahwa panjang kurva selalu lebih besar atau sama dengan jarak lurus antara kedua titik ujungnya.
❓ Kegiatan 2: Menanya
- Bagaimana cara menghitung panjang kurva yang melengkung?
- Apakah integral dapat digunakan untuk menghitung panjang busur?
- Bagaimana jika kurva dinyatakan dalam bentuk parametrik?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Penurunan Rumus Panjang Busur:
Kita bagi kurva menjadi $n$ bagian kecil. Pada setiap bagian kecil, kita aproksimasi dengan segmen garis lurus.
Untuk segmen kecil dari $(x_i, y_i)$ ke $(x_i + \Delta x, y_i + \Delta y)$, panjang segmen tersebut menggunakan rumus Pythagoras:
Ketika $n \to \infty$ dan $\Delta x \to 0$, maka $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx} = f'(x)$.
Sehingga total panjang busur:
📌 Rumus-Rumus Panjang Busur
1. Bentuk Eksplisit $y = f(x)$:
2. Bentuk Eksplisit $x = g(y)$:
3. Bentuk Parametrik $x = x(t),\; y = y(t)$:
4. Bentuk Polar $r = f(\theta)$:
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Mari kita coba menghitung panjang busur kurva $y = x^{3/2}$ dari $x = 0$ sampai $x = 4$.
Langkah 1: Hitung $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2}$
Langkah 2: Hitung $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{9}{4}x$
Langkah 3: Substitusi ke rumus:
Langkah 4: Substitusi $u = 1 + \frac{9}{4}x$, maka $du = \frac{9}{4}dx$, sehingga $dx = \frac{4}{9}du$.
Batas: $x=0 \Rightarrow u=1$, $x=4 \Rightarrow u=10$.
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Langkah-langkah umum menghitung panjang busur:
- Tentukan bentuk kurva (eksplisit, parametrik, atau polar).
- Hitung turunan yang sesuai ($\frac{dy}{dx}$, $\frac{dx}{dt}$ dan $\frac{dy}{dt}$, atau $\frac{dr}{d\theta}$).
- Substitusi ke rumus panjang busur yang sesuai.
- Sederhanakan ekspresi di dalam akar.
- Evaluasi integral (gunakan substitusi atau teknik integral lain jika perlu).
Tips penting:
- Pastikan fungsi dan turunannya kontinu pada interval yang diberikan.
- Sering kali ekspresi di dalam akar dapat disederhanakan menjadi bentuk kuadrat sempurna.
- Jika integral sulit dihitung secara analitik, bisa digunakan metode numerik.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1. Hitunglah panjang busur kurva $y = 2x + 3$ dari $x = 0$ sampai $x = 4$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = 2$
$$L = \int_0^4 \sqrt{1 + 4}\;dx = \int_0^4 \sqrt{5}\;dx = 4\sqrt{5}$$
Verifikasi: Jarak dari $(0,3)$ ke $(4,11)$ = $\sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ ✓
Contoh 2. Hitunglah panjang busur kurva $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ dari $x = 0$ sampai $x = 3$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = x^{1/2}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = x$
$$L = \int_0^3 \sqrt{1+x}\;dx = \frac{2}{3}\left[(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(4^{3/2} – 1) = \frac{2}{3}(8-1) = \frac{14}{3}$$
Contoh 3. Hitunglah panjang busur kurva $y = \frac{x^2}{4} – \frac{\ln x}{2}$ dari $x = 1$ sampai $x = e$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} – \frac{1}{2x}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^2}{4} – \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2}$
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)^2$
$$L = \int_1^e \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)dx = \left[\frac{x^2}{4} + \frac{\ln x}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$$
Contoh 4. Hitunglah panjang busur kurva $x = \frac{y^3}{3} + \frac{1}{4y}$ dari $y = 1$ sampai $y = 2$.
Pembahasan:
$\frac{dx}{dy} = y^2 – \frac{1}{4y^2}$
$\left(\frac{dx}{dy}\right)^2 = y^4 – \frac{1}{2} + \frac{1}{16y^4}$
$1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2 = y^4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16y^4} = \left(y^2 + \frac{1}{4y^2}\right)^2$
$$L = \int_1^2 \left(y^2 + \frac{1}{4y^2}\right)dy = \left[\frac{y^3}{3} – \frac{1}{4y}\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} – \frac{1}{8}\right) – \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) = \frac{59}{24}$$
Contoh 5. Hitunglah panjang busur kurva $y = \frac{x^2}{2}$ dari $x = 0$ sampai $x = 1$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = x$
$$L = \int_0^1 \sqrt{1+x^2}\;dx$$
Gunakan substitusi trigonometri $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\;d\theta$:
$$L = \int_0^{\pi/4} \sec^3\theta\;d\theta = \frac{1}{2}\left[\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta + \tan\theta|\right]_0^{\pi/4}$$
$$= \frac{1}{2}\left[\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})\right]$$
Sedang
Contoh 6. Hitunglah panjang busur kurva $y = \ln(\cos x)$ dari $x = 0$ sampai $x = \frac{\pi}{4}$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \tan^2 x$
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
$$L = \int_0^{\pi/4} \sqrt{\sec^2 x}\;dx = \int_0^{\pi/4} \sec x\;dx = \left[\ln|\sec x + \tan x|\right]_0^{\pi/4}$$
$$= \ln(\sqrt{2}+1) – \ln(1) = \ln(\sqrt{2}+1)$$
Contoh 7. Hitunglah panjang busur kurva parametrik $x = \cos t$, $y = \sin t$ untuk $0 \le t \le 2\pi$.
Pembahasan:
$\frac{dx}{dt} = -\sin t$, $\frac{dy}{dt} = \cos t$
$$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}\;dt = \int_0^{2\pi} 1\;dt = 2\pi$$
Ini adalah keliling lingkaran satuan. ✓
Contoh 8. Hitunglah panjang busur kurva parametrik $x = t^2$, $y = t^3$ dari $t = 0$ sampai $t = 1$.
Pembahasan:
$\frac{dx}{dt} = 2t$, $\frac{dy}{dt} = 3t^2$
$$L = \int_0^1\sqrt{4t^2 + 9t^4}\;dt = \int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\;dt$$
Substitusi $u = 4+9t^2$, $du = 18t\;dt$:
$$L = \frac{1}{18}\int_4^{13}\sqrt{u}\;du = \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_4^{13} = \frac{1}{27}\left(13\sqrt{13} – 8\right)$$
Contoh 9. Hitunglah panjang busur kurva $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (catenary) dari $x = 0$ sampai $x = 1$.
Pembahasan:
$y = \cosh x$, maka $\frac{dy}{dx} = \sinh x$
$1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$
$$L = \int_0^1\sqrt{\cosh^2 x}\;dx = \int_0^1 \cosh x\;dx = [\sinh x]_0^1 = \sinh 1 = \frac{e – e^{-1}}{2}$$
Contoh 10. Hitunglah panjang busur kurva $y = x^{3/2}$ dari $x = 0$ sampai $x = 5$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{9}{4}x$
$$L = \int_0^5 \sqrt{1 + \frac{9x}{4}}\;dx$$
Substitusi $u = 1 + \frac{9x}{4}$, $du = \frac{9}{4}dx$:
Batas: $x=0 \Rightarrow u=1$, $x=5 \Rightarrow u=\frac{49}{4}$
$$L = \frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_1^{49/4} = \frac{8}{27}\left[\left(\frac{49}{4}\right)^{3/2} – 1\right] = \frac{8}{27}\left(\frac{343}{8} – 1\right) = \frac{8}{27}\cdot\frac{335}{8} = \frac{335}{27}$$
Sulit
Contoh 11. Hitunglah panjang busur satu lengkung sikloid $x = a(t – \sin t)$, $y = a(1 – \cos t)$ untuk $0 \le t \le 2\pi$.
Pembahasan:
$\frac{dx}{dt} = a(1-\cos t)$, $\frac{dy}{dt} = a\sin t$
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2(1-\cos t)^2 + a^2\sin^2 t$$
$$= a^2(1 – 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 – 2\cos t) = 2a^2(1-\cos t)$$
Gunakan identitas $1 – \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$:
$$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}}\;dt = \int_0^{2\pi} 2a\left|\sin\frac{t}{2}\right|dt$$
Pada $[0, 2\pi]$, $\sin\frac{t}{2} \ge 0$:
$$L = 2a\int_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\;dt = 2a\left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = 2a(-2(-1) + 2(1)) = 8a$$
Contoh 12. Hitunglah panjang busur kurva polar $r = 1 + \cos\theta$ (cardioid) untuk $0 \le \theta \le 2\pi$.
Pembahasan:
$\frac{dr}{d\theta} = -\sin\theta$
$$r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = (1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac{\theta}{2}$$
$$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}}\;d\theta = \int_0^{2\pi} 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|d\theta$$
$$= 2\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\;d\theta + 2\int_{\pi}^{2\pi}\left(-\cos\frac{\theta}{2}\right)d\theta$$
$$= 2\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^{\pi} + 2\left[-2\sin\frac{\theta}{2}\right]_{\pi}^{2\pi} = 4 + 4 = 8$$
Contoh 13. Hitunglah panjang busur kurva $y = \ln(\sec x)$ dari $x = 0$ sampai $x = \frac{\pi}{3}$.
Pembahasan:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec x \tan x}{\sec x} = \tan x$
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
$$L = \int_0^{\pi/3}\sec x\;dx = \left[\ln|\sec x + \tan x|\right]_0^{\pi/3}$$
$$= \ln|2 + \sqrt{3}| – \ln|1| = \ln(2+\sqrt{3})$$
Contoh 14. Hitunglah panjang busur kurva $x = e^t\cos t$, $y = e^t\sin t$ dari $t = 0$ sampai $t = \pi$.
Pembahasan:
$\frac{dx}{dt} = e^t(\cos t – \sin t)$, $\frac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)$
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}[(\cos t-\sin t)^2 + (\sin t+\cos t)^2]$$
$$= e^{2t}[\cos^2 t – 2\sin t\cos t + \sin^2 t + \sin^2 t + 2\sin t\cos t + \cos^2 t] = 2e^{2t}$$
$$L = \int_0^{\pi}\sqrt{2e^{2t}}\;dt = \sqrt{2}\int_0^{\pi}e^t\;dt = \sqrt{2}(e^{\pi}-1)$$
Contoh 15. Hitunglah panjang busur kurva polar $r = e^{2\theta}$ dari $\theta = 0$ sampai $\theta = \pi$.
Pembahasan:
$\frac{dr}{d\theta} = 2e^{2\theta}$
$$r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = e^{4\theta} + 4e^{4\theta} = 5e^{4\theta}$$
$$L = \int_0^{\pi}\sqrt{5e^{4\theta}}\;d\theta = \sqrt{5}\int_0^{\pi}e^{2\theta}\;d\theta = \sqrt{5}\cdot\frac{1}{2}\left[e^{2\theta}\right]_0^{\pi}$$
$$= \frac{\sqrt{5}}{2}(e^{2\pi} – 1)$$
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus panjang busur yang sesuai.
Mudah
1. Hitunglah panjang busur $y = 3x + 1$ dari $x = 0$ sampai $x = 5$.
2. Hitunglah panjang busur $y = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}$ dari $x = 0$ sampai $x = 3$.
3. Hitunglah panjang busur $y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x}$ dari $x = 1$ sampai $x = 3$.
4. Hitunglah panjang busur $x = \frac{2}{3}y^{3/2}$ dari $y = 0$ sampai $y = 8$.
5. Hitunglah panjang busur $y = 4x – 7$ dari $x = 2$ sampai $x = 6$.
Sedang
6. Hitunglah panjang busur $y = \ln(\sin x)$ dari $x = \frac{\pi}{4}$ sampai $x = \frac{\pi}{2}$.
7. Hitunglah panjang busur kurva parametrik $x = 3\cos t$, $y = 3\sin t$ untuk $0 \le t \le \pi$.
8. Hitunglah panjang busur $y = \cosh x$ dari $x = 0$ sampai $x = 2$.
9. Hitunglah panjang busur $x = t^2 + 1$, $y = 4t^{3/2}$ dari $t = 0$ sampai $t = 1$.
10. Hitunglah panjang busur $y = \frac{x^4}{8} + \frac{1}{4x^2}$ dari $x = 1$ sampai $x = 2$.
Sulit
11. Hitunglah panjang busur satu putaran kurva $x = a(\cos t + t\sin t)$, $y = a(\sin t – t\cos t)$ dari $t = 0$ sampai $t = 2\pi$.
12. Hitunglah panjang busur kurva polar $r = \sin^2\frac{\theta}{2}$ untuk $0 \le \theta \le \pi$.
13. Hitunglah panjang busur kurva $y = \int_0^x \sqrt{t^3 – 1}\;dt$ dari $x = 1$ sampai $x = 4$.
14. Hitunglah panjang busur astroid $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ untuk satu putaran penuh.
15. Hitunglah panjang busur kurva polar $r = 1 – \cos\theta$ untuk $0 \le \theta \le 2\pi$.