Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Luas Daerah antara Dua Kurva
Integral Tentu β Aplikasi Integral
π Materi
π Mengamati
Perhatikan dua kurva berikut: y = f(x) dan y = g(x) pada interval [a, b]. Daerah yang terletak di antara kedua kurva tersebut membentuk suatu luasan tertentu.
Daerah berwarna kuning di antara kedua kurva itulah yang akan kita hitung luasnya menggunakan integral tentu.
β Menanya
- Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva?
- Bagaimana jika posisi kurva atas dan bawah bertukar di beberapa interval?
- Apa perbedaan menghitung luas daerah satu kurva dengan sumbu-x dan luas daerah antara dua kurva?
π‘ Menalar
Konsep Dasar
Jika f(x) β₯ g(x) untuk semua x pada interval [a, b], maka luas daerah antara kedua kurva adalah:
L = β«ab [f(x) β g(x)] dx
Keterangan:
- f(x) = fungsi yang berada di atas (kurva atas)
- g(x) = fungsi yang berada di bawah (kurva bawah)
- a dan b = batas-batas integrasi (titik potong atau batas yang diberikan)
Jika Posisi Kurva Bertukar
Jika pada interval tertentu f(x) β₯ g(x) dan pada interval lain g(x) β₯ f(x), maka gunakan nilai mutlak:
L = β«ab |f(x) β g(x)| dx
Atau bagi menjadi beberapa bagian berdasarkan titik potong:
L = β«ac [f(x) β g(x)] dx + β«cb [g(x) β f(x)] dx
Langkah-langkah Penyelesaian
- Tentukan titik potong kedua kurva dengan menyelesaikan f(x) = g(x)
- Tentukan kurva atas dan bawah pada setiap interval (substitusi titik uji)
- Susun integran: kurva atas dikurangi kurva bawah
- Hitung integral tentu pada setiap interval
- Jumlahkan semua luas parsial
Luas Daerah terhadap Sumbu-y
Jika daerah dibatasi oleh dua kurva dalam bentuk x = f(y) dan x = g(y):
L = β«cd [f(y) β g(y)] dy
di mana f(y) adalah kurva paling kanan dan g(y) kurva paling kiri.
π§ͺ Mencoba
Cobalah hitung luas daerah antara y = xΒ² dan y = x.
- Cari titik potong: xΒ² = x β x = 0 dan x = 1
- Pada [0, 1]: x β₯ xΒ² β kurva atas = x
- Hitung: L = β«01 (x β xΒ²) dx
π’ Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat:
- Menjelaskan konsep luas daerah antara dua kurva kepada teman
- Menyelesaikan soal-soal luas daerah antara dua kurva dengan benar
- Menyajikan hasil perhitungan secara rapi dan sistematis
- Menggunakan gambar/sketsa grafik untuk memperjelas penyelesaian
π Contoh Soal dan Pembahasan
π’ Tingkat Mudah
Contoh 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = xΒ² dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong β xΒ² = x β xΒ² β x = 0 β x(x β 1) = 0
Jadi x = 0 dan x = 1
Langkah 2: Pada [0, 1], uji x = 0,5: f(0,5) = 0,5 dan g(0,5) = 0,25
Kurva atas = y = x, kurva bawah = y = xΒ²
Langkah 3: L = β«01 (x β xΒ²) dx
= [xΒ²2 β xΒ³3]01
= (12 β 13) β (0)
= 3 β 26 = 16 satuan luas
Contoh 2
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = 4 β xΒ² dan y = 0 (sumbu-x).
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong dengan sumbu-x: 4 β xΒ² = 0 β x = β2 dan x = 2
Langkah 2: Pada [β2, 2]: 4 β xΒ² β₯ 0, jadi kurva atas = 4 β xΒ²
Langkah 3: L = β«β22 (4 β xΒ²) dx
= [4x β xΒ³3]β22
= (8 β 83) β (β8 + 83)
= 163 + 163 = 323 satuan luas
Contoh 3
Hitunglah luas daerah antara y = 2x dan y = xΒ² untuk x β [0, 2].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: 2x = xΒ² β x = 0 dan x = 2 β
Langkah 2: Uji x = 1: 2(1) = 2 > 1Β² = 1. Kurva atas = 2x
Langkah 3: L = β«02 (2x β xΒ²) dx
= [xΒ² β xΒ³3]02
= (4 β 83) β 0 = 43 satuan luas
Contoh 4
Hitunglah luas daerah antara y = x + 2 dan y = xΒ².
Pembahasan
Langkah 1: x + 2 = xΒ² β xΒ² β x β 2 = 0 β (xβ2)(x+1) = 0
x = β1 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 0: 0+2 = 2 > 0Β² = 0. Kurva atas = x+2
Langkah 3: L = β«β12 (x + 2 β xΒ²) dx
= [xΒ²2 + 2x β xΒ³3]β12
= (2 + 4 β 83) β (12 β 2 + 13)
= 103 β (β76) = 206 + 76 = 92 satuan luas
Contoh 5
Hitunglah luas daerah antara y = 6 β x dan y = x untuk x β [0, 3].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: 6 β x = x β x = 3
Langkah 2: Pada [0, 3], uji x = 1: 6β1=5 > 1. Kurva atas = 6βx
Langkah 3: L = β«03 (6 β x β x) dx = β«03 (6 β 2x) dx
= [6x β xΒ²]03 = (18 β 9) β 0 = 9 satuan luas
π‘ Tingkat Sedang
Contoh 6
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = xΒ² dan y = 2x + 3.
Pembahasan
Langkah 1: xΒ² = 2x + 3 β xΒ² β 2x β 3 = 0 β (xβ3)(x+1) = 0
x = β1 dan x = 3
Langkah 2: Uji x = 0: 2(0)+3 = 3 > 0Β² = 0. Kurva atas = 2x+3
Langkah 3: L = β«β13 (2x + 3 β xΒ²) dx
= [xΒ² + 3x β xΒ³3]β13
= (9 + 9 β 9) β (1 β 3 + 13)
= 9 β (β53) = 9 + 53 = 323 satuan luas
Contoh 7
Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² dan y = 4x β xΒ².
Pembahasan
Langkah 1: xΒ² = 4x β xΒ² β 2xΒ² β 4x = 0 β 2x(x β 2) = 0
x = 0 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 1: 4(1)β1 = 3 > 1Β² = 1. Kurva atas = 4x β xΒ²
Langkah 3: L = β«02 (4x β xΒ² β xΒ²) dx = β«02 (4x β 2xΒ²) dx
= [2xΒ² β 2xΒ³3]02
= (8 β 163) β 0 = 83 satuan luas
Contoh 8
Hitunglah luas daerah antara y = xΒ³ dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: xΒ³ = x β xΒ³ β x = 0 β x(xΒ²β1) = 0 β x = β1, 0, 1
Langkah 2:
β’ Pada [β1, 0]: uji x = β0,5: (β0,5)Β³ = β0,125 dan β0,5. Kurva atas = xΒ³
β’ Pada [0, 1]: uji x = 0,5: 0,5 > 0,125. Kurva atas = x
Langkah 3:
L = β«β10 (xΒ³ β x) dx + β«01 (x β xΒ³) dx
= [xβ΄4 β xΒ²2]β10 + [xΒ²2 β xβ΄4]01
= (0) β (14 β 12) + (12 β 14) β 0
= 14 + 14 = 12 satuan luas
Contoh 9
Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² β 4 dan y = βxΒ² + 4.
Pembahasan
Langkah 1: xΒ² β 4 = βxΒ² + 4 β 2xΒ² = 8 β x = Β±2
Langkah 2: Uji x = 0: β4 < 4. Kurva atas = βxΒ²+4
Langkah 3: L = β«β22 [(βxΒ²+4) β (xΒ²β4)] dx
= β«β22 (β2xΒ² + 8) dx
= [β2xΒ³3 + 8x]β22
= (β163 + 16) β (163 β 16)
= 323 + 323 = 643 satuan luas
Contoh 10
Hitunglah luas daerah antara y = βx dan y = xΒ².
Pembahasan
Langkah 1: βx = xΒ² β kuadratkan: x = xβ΄ β xβ΄ β x = 0 β x(xΒ³β1) = 0
x = 0 dan x = 1
Langkah 2: Uji x = 0,5: β0,5 β 0,707 > 0,25 = (0,5)Β². Kurva atas = βx
Langkah 3: L = β«01 (βx β xΒ²) dx = β«01 (x1/2 β xΒ²) dx
= [23x3/2 β xΒ³3]01
= 23 β 13 = 13 satuan luas
π΄ Tingkat Sulit
Contoh 11
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = xΒ³ β 3x dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: xΒ³ β 3x = x β xΒ³ β 4x = 0 β x(xΒ²β4) = 0
x = β2, 0, 2
Langkah 2:
β’ [β2, 0]: uji x = β1: f(β1) = β1+3 = 2, g(β1) = β1. Kurva atas = xΒ³β3x
β’ [0, 2]: uji x = 1: f(1) = 1β3 = β2, g(1) = 1. Kurva atas = x
Langkah 3:
L = β«β20 (xΒ³β3xβx) dx + β«02 (xβxΒ³+3x) dx
= β«β20 (xΒ³β4x) dx + β«02 (4xβxΒ³) dx
= [xβ΄4 β 2xΒ²]β20 + [2xΒ² β xβ΄4]02
= 0 β (4β8) + (8β4) β 0 = 4 + 4 = 8 satuan luas
Contoh 12
Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² β 2x dan y = βxΒ² + 4x β 4.
Pembahasan
Langkah 1: xΒ²β2x = βxΒ²+4xβ4 β 2xΒ²β6x+4 = 0 β xΒ²β3x+2 = 0
(xβ1)(xβ2) = 0 β x = 1 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 1,5:
f(1,5) = 2,25β3 = β0,75
g(1,5) = β2,25+6β4 = β0,25
Kurva atas = βxΒ²+4xβ4
Langkah 3: L = β«12 [(βxΒ²+4xβ4) β (xΒ²β2x)] dx
= β«12 (β2xΒ²+6xβ4) dx
= [β2xΒ³3 + 3xΒ² β 4x]12
= (β163 + 12 β 8) β (β23 + 3 β 4)
= (β163 + 4) β (β23 β 1)
= β43 + 53 = 13 satuan luas
Contoh 13
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh x = yΒ² dan x = 2 β yΒ².
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: yΒ² = 2 β yΒ² β 2yΒ² = 2 β y = Β±1
Langkah 2: Uji y = 0: kanan = 2β0 = 2, kiri = 0. Kurva kanan = 2βyΒ²
Langkah 3: Integrasi terhadap y:
L = β«β11 [(2βyΒ²) β yΒ²] dy = β«β11 (2β2yΒ²) dy
= [2y β 2yΒ³3]β11
= (2 β 23) β (β2 + 23)
= 43 + 43 = 83 satuan luas
Contoh 14
Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² β 1 dan y = |x| untuk x β [β2, 2].
Pembahasan
Langkah 1: Karena simetri terhadap sumbu-y, hitung untuk [0, 2] lalu kalikan 2.
Untuk x β₯ 0: xΒ² β 1 = x β xΒ² β x β 1 = 0
x = 1 + β52 β 1,618 (ambil yang positif)
Langkah 2:
β’ [0, 1,618]: uji x = 1: |1| = 1 > 1β1 = 0. Kurva atas = |x| = x
β’ [1,618, 2]: uji x = 1,9: 1,9Β²β1 = 2,61 > 1,9. Kurva atas = xΒ²β1
Langkah 3: Hitung setengah (sisi kanan):
L/2 = β«0Ο (x β xΒ² + 1) dx + β«Ο2 (xΒ² β 1 β x) dx
di mana Ο = 1+β52
Bagian 1: [xΒ²2 β xΒ³3 + x]0Ο β 1,309 + 0 = 1,309
Bagian 2: [xΒ³3 β x β xΒ²2]Ο2 = (83 β 2 β 2) β (β β0,976) β 0,309
L = 2 Γ (1,309 + 0,309) β β 3,236 β 2β5 β 23 satuan luas
Contoh 15
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = sin x dan y = cos x pada interval [0, 2Ο].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: sin x = cos x β tan x = 1 β x = Ο/4 dan x = 5Ο/4
Langkah 2:
β’ [0, Ο/4]: cos x β₯ sin x β kurva atas = cos x
β’ [Ο/4, 5Ο/4]: sin x β₯ cos x β kurva atas = sin x
β’ [5Ο/4, 2Ο]: cos x β₯ sin x β kurva atas = cos x
Langkah 3:
L = β«0Ο/4 (cos x β sin x) dx + β«Ο/45Ο/4 (sin x β cos x) dx + β«5Ο/42Ο (cos x β sin x) dx
= [sin x + cos x]0Ο/4 + [βcos x β sin x]Ο/45Ο/4 + [sin x + cos x]5Ο/42Ο
= (β2 β 1) + (β2 + β2) + (1 + β2)
= β2 β 1 + 2β2 + 1 + β2 = 4β2 satuan luas
βοΈ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis penyelesaian secara lengkap dan rapi.
π’ Tingkat Mudah
1. Hitunglah luas daerah antara y = 3x dan y = xΒ².
2. Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² dan y = 4.
3. Hitunglah luas daerah antara y = x + 1 dan y = xΒ²β1.
4. Hitunglah luas daerah antara y = 2x dan y = xΒ² β 4x untuk x β [0, 6].
5. Hitunglah luas daerah antara y = 9 β xΒ² dan sumbu-x.
π‘ Tingkat Sedang
6. Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² β 4x + 3 dan y = βxΒ² + 2x + 3.
7. Hitunglah luas daerah antara y = xΒ³ dan y = 4x.
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi x = yΒ² dan x = 4.
9. Hitunglah luas daerah antara y = βx dan y = x/2.
10. Hitunglah luas daerah antara y = xΒ² dan y = 6 β x.
π΄ Tingkat Sulit
11. Hitunglah luas daerah antara y = xΒ³ β x dan y = 3x.
12. Hitunglah luas daerah antara y = sin x dan y = sin 2x pada [0, Ο].
13. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh x = yΒ² β 2 dan x = 4 β yΒ².
14. Hitunglah luas daerah antara y = |xΒ² β 4| dan y = 5.
15. Hitunglah luas daerah antara y = ex dan y = e2βx serta garis x = 0 dan x = 2.