Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Luas Daerah antara Dua Kurva
Integral Tentu — Aplikasi Integral
📘 Materi
🔍 Mengamati
Perhatikan dua kurva berikut: y = f(x) dan y = g(x) pada interval [a, b]. Daerah yang terletak di antara kedua kurva tersebut membentuk suatu luasan tertentu.
Daerah berwarna kuning di antara kedua kurva itulah yang akan kita hitung luasnya menggunakan integral tentu.
❓ Menanya
- Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva?
- Bagaimana jika posisi kurva atas dan bawah bertukar di beberapa interval?
- Apa perbedaan menghitung luas daerah satu kurva dengan sumbu-x dan luas daerah antara dua kurva?
💡 Menalar
Konsep Dasar
Jika f(x) ≥ g(x) untuk semua x pada interval [a, b], maka luas daerah antara kedua kurva adalah:
L = ∫ab [f(x) − g(x)] dx
Keterangan:
- f(x) = fungsi yang berada di atas (kurva atas)
- g(x) = fungsi yang berada di bawah (kurva bawah)
- a dan b = batas-batas integrasi (titik potong atau batas yang diberikan)
Jika Posisi Kurva Bertukar
Jika pada interval tertentu f(x) ≥ g(x) dan pada interval lain g(x) ≥ f(x), maka gunakan nilai mutlak:
L = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
Atau bagi menjadi beberapa bagian berdasarkan titik potong:
L = ∫ac [f(x) − g(x)] dx + ∫cb [g(x) − f(x)] dx
Langkah-langkah Penyelesaian
- Tentukan titik potong kedua kurva dengan menyelesaikan f(x) = g(x)
- Tentukan kurva atas dan bawah pada setiap interval (substitusi titik uji)
- Susun integran: kurva atas dikurangi kurva bawah
- Hitung integral tentu pada setiap interval
- Jumlahkan semua luas parsial
Luas Daerah terhadap Sumbu-y
Jika daerah dibatasi oleh dua kurva dalam bentuk x = f(y) dan x = g(y):
L = ∫cd [f(y) − g(y)] dy
di mana f(y) adalah kurva paling kanan dan g(y) kurva paling kiri.
🧪 Mencoba
Cobalah hitung luas daerah antara y = x² dan y = x.
- Cari titik potong: x² = x → x = 0 dan x = 1
- Pada [0, 1]: x ≥ x² → kurva atas = x
- Hitung: L = ∫01 (x − x²) dx
📢 Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat:
- Menjelaskan konsep luas daerah antara dua kurva kepada teman
- Menyelesaikan soal-soal luas daerah antara dua kurva dengan benar
- Menyajikan hasil perhitungan secara rapi dan sistematis
- Menggunakan gambar/sketsa grafik untuk memperjelas penyelesaian
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong → x² = x → x² − x = 0 → x(x − 1) = 0
Jadi x = 0 dan x = 1
Langkah 2: Pada [0, 1], uji x = 0,5: f(0,5) = 0,5 dan g(0,5) = 0,25
Kurva atas = y = x, kurva bawah = y = x²
Langkah 3: L = ∫01 (x − x²) dx
= [x²2 − x³3]01
= (12 − 13) − (0)
= 3 − 26 = 16 satuan luas
Contoh 2
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = 4 − x² dan y = 0 (sumbu-x).
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong dengan sumbu-x: 4 − x² = 0 → x = −2 dan x = 2
Langkah 2: Pada [−2, 2]: 4 − x² ≥ 0, jadi kurva atas = 4 − x²
Langkah 3: L = ∫−22 (4 − x²) dx
= [4x − x³3]−22
= (8 − 83) − (−8 + 83)
= 163 + 163 = 323 satuan luas
Contoh 3
Hitunglah luas daerah antara y = 2x dan y = x² untuk x ∈ [0, 2].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: 2x = x² → x = 0 dan x = 2 ✓
Langkah 2: Uji x = 1: 2(1) = 2 > 1² = 1. Kurva atas = 2x
Langkah 3: L = ∫02 (2x − x²) dx
= [x² − x³3]02
= (4 − 83) − 0 = 43 satuan luas
Contoh 4
Hitunglah luas daerah antara y = x + 2 dan y = x².
Pembahasan
Langkah 1: x + 2 = x² → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0
x = −1 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 0: 0+2 = 2 > 0² = 0. Kurva atas = x+2
Langkah 3: L = ∫−12 (x + 2 − x²) dx
= [x²2 + 2x − x³3]−12
= (2 + 4 − 83) − (12 − 2 + 13)
= 103 − (−76) = 206 + 76 = 92 satuan luas
Contoh 5
Hitunglah luas daerah antara y = 6 − x dan y = x untuk x ∈ [0, 3].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: 6 − x = x → x = 3
Langkah 2: Pada [0, 3], uji x = 1: 6−1=5 > 1. Kurva atas = 6−x
Langkah 3: L = ∫03 (6 − x − x) dx = ∫03 (6 − 2x) dx
= [6x − x²]03 = (18 − 9) − 0 = 9 satuan luas
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 2x + 3.
Pembahasan
Langkah 1: x² = 2x + 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0
x = −1 dan x = 3
Langkah 2: Uji x = 0: 2(0)+3 = 3 > 0² = 0. Kurva atas = 2x+3
Langkah 3: L = ∫−13 (2x + 3 − x²) dx
= [x² + 3x − x³3]−13
= (9 + 9 − 9) − (1 − 3 + 13)
= 9 − (−53) = 9 + 53 = 323 satuan luas
Contoh 7
Hitunglah luas daerah antara y = x² dan y = 4x − x².
Pembahasan
Langkah 1: x² = 4x − x² → 2x² − 4x = 0 → 2x(x − 2) = 0
x = 0 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 1: 4(1)−1 = 3 > 1² = 1. Kurva atas = 4x − x²
Langkah 3: L = ∫02 (4x − x² − x²) dx = ∫02 (4x − 2x²) dx
= [2x² − 2x³3]02
= (8 − 163) − 0 = 83 satuan luas
Contoh 8
Hitunglah luas daerah antara y = x³ dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: x³ = x → x³ − x = 0 → x(x²−1) = 0 → x = −1, 0, 1
Langkah 2:
• Pada [−1, 0]: uji x = −0,5: (−0,5)³ = −0,125 dan −0,5. Kurva atas = x³
• Pada [0, 1]: uji x = 0,5: 0,5 > 0,125. Kurva atas = x
Langkah 3:
L = ∫−10 (x³ − x) dx + ∫01 (x − x³) dx
= [x⁴4 − x²2]−10 + [x²2 − x⁴4]01
= (0) − (14 − 12) + (12 − 14) − 0
= 14 + 14 = 12 satuan luas
Contoh 9
Hitunglah luas daerah antara y = x² − 4 dan y = −x² + 4.
Pembahasan
Langkah 1: x² − 4 = −x² + 4 → 2x² = 8 → x = ±2
Langkah 2: Uji x = 0: −4 < 4. Kurva atas = −x²+4
Langkah 3: L = ∫−22 [(−x²+4) − (x²−4)] dx
= ∫−22 (−2x² + 8) dx
= [−2x³3 + 8x]−22
= (−163 + 16) − (163 − 16)
= 323 + 323 = 643 satuan luas
Contoh 10
Hitunglah luas daerah antara y = √x dan y = x².
Pembahasan
Langkah 1: √x = x² → kuadratkan: x = x⁴ → x⁴ − x = 0 → x(x³−1) = 0
x = 0 dan x = 1
Langkah 2: Uji x = 0,5: √0,5 ≈ 0,707 > 0,25 = (0,5)². Kurva atas = √x
Langkah 3: L = ∫01 (√x − x²) dx = ∫01 (x1/2 − x²) dx
= [23x3/2 − x³3]01
= 23 − 13 = 13 satuan luas
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x³ − 3x dan y = x.
Pembahasan
Langkah 1: x³ − 3x = x → x³ − 4x = 0 → x(x²−4) = 0
x = −2, 0, 2
Langkah 2:
• [−2, 0]: uji x = −1: f(−1) = −1+3 = 2, g(−1) = −1. Kurva atas = x³−3x
• [0, 2]: uji x = 1: f(1) = 1−3 = −2, g(1) = 1. Kurva atas = x
Langkah 3:
L = ∫−20 (x³−3x−x) dx + ∫02 (x−x³+3x) dx
= ∫−20 (x³−4x) dx + ∫02 (4x−x³) dx
= [x⁴4 − 2x²]−20 + [2x² − x⁴4]02
= 0 − (4−8) + (8−4) − 0 = 4 + 4 = 8 satuan luas
Contoh 12
Hitunglah luas daerah antara y = x² − 2x dan y = −x² + 4x − 4.
Pembahasan
Langkah 1: x²−2x = −x²+4x−4 → 2x²−6x+4 = 0 → x²−3x+2 = 0
(x−1)(x−2) = 0 → x = 1 dan x = 2
Langkah 2: Uji x = 1,5:
f(1,5) = 2,25−3 = −0,75
g(1,5) = −2,25+6−4 = −0,25
Kurva atas = −x²+4x−4
Langkah 3: L = ∫12 [(−x²+4x−4) − (x²−2x)] dx
= ∫12 (−2x²+6x−4) dx
= [−2x³3 + 3x² − 4x]12
= (−163 + 12 − 8) − (−23 + 3 − 4)
= (−163 + 4) − (−23 − 1)
= −43 + 53 = 13 satuan luas
Contoh 13
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh x = y² dan x = 2 − y².
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: y² = 2 − y² → 2y² = 2 → y = ±1
Langkah 2: Uji y = 0: kanan = 2−0 = 2, kiri = 0. Kurva kanan = 2−y²
Langkah 3: Integrasi terhadap y:
L = ∫−11 [(2−y²) − y²] dy = ∫−11 (2−2y²) dy
= [2y − 2y³3]−11
= (2 − 23) − (−2 + 23)
= 43 + 43 = 83 satuan luas
Contoh 14
Hitunglah luas daerah antara y = x² − 1 dan y = |x| untuk x ∈ [−2, 2].
Pembahasan
Langkah 1: Karena simetri terhadap sumbu-y, hitung untuk [0, 2] lalu kalikan 2.
Untuk x ≥ 0: x² − 1 = x → x² − x − 1 = 0
x = 1 + √52 ≈ 1,618 (ambil yang positif)
Langkah 2:
• [0, 1,618]: uji x = 1: |1| = 1 > 1−1 = 0. Kurva atas = |x| = x
• [1,618, 2]: uji x = 1,9: 1,9²−1 = 2,61 > 1,9. Kurva atas = x²−1
Langkah 3: Hitung setengah (sisi kanan):
L/2 = ∫0φ (x − x² + 1) dx + ∫φ2 (x² − 1 − x) dx
di mana φ = 1+√52
Bagian 1: [x²2 − x³3 + x]0φ ≈ 1,309 + 0 = 1,309
Bagian 2: [x³3 − x − x²2]φ2 = (83 − 2 − 2) − (≈ −0,976) ≈ 0,309
L = 2 × (1,309 + 0,309) ≈ ≈ 3,236 ≈ 2√5 − 23 satuan luas
Contoh 15
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = sin x dan y = cos x pada interval [0, 2π].
Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: sin x = cos x → tan x = 1 → x = π/4 dan x = 5π/4
Langkah 2:
• [0, π/4]: cos x ≥ sin x → kurva atas = cos x
• [π/4, 5π/4]: sin x ≥ cos x → kurva atas = sin x
• [5π/4, 2π]: cos x ≥ sin x → kurva atas = cos x
Langkah 3:
L = ∫0π/4 (cos x − sin x) dx + ∫π/45π/4 (sin x − cos x) dx + ∫5π/42π (cos x − sin x) dx
= [sin x + cos x]0π/4 + [−cos x − sin x]π/45π/4 + [sin x + cos x]5π/42π
= (√2 − 1) + (√2 + √2) + (1 + √2)
= √2 − 1 + 2√2 + 1 + √2 = 4√2 satuan luas
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis penyelesaian secara lengkap dan rapi.
🟢 Tingkat Mudah
1. Hitunglah luas daerah antara y = 3x dan y = x².
2. Hitunglah luas daerah antara y = x² dan y = 4.
3. Hitunglah luas daerah antara y = x + 1 dan y = x²−1.
4. Hitunglah luas daerah antara y = 2x dan y = x² − 4x untuk x ∈ [0, 6].
5. Hitunglah luas daerah antara y = 9 − x² dan sumbu-x.
🟡 Tingkat Sedang
6. Hitunglah luas daerah antara y = x² − 4x + 3 dan y = −x² + 2x + 3.
7. Hitunglah luas daerah antara y = x³ dan y = 4x.
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi x = y² dan x = 4.
9. Hitunglah luas daerah antara y = √x dan y = x/2.
10. Hitunglah luas daerah antara y = x² dan y = 6 − x.
🔴 Tingkat Sulit
11. Hitunglah luas daerah antara y = x³ − x dan y = 3x.
12. Hitunglah luas daerah antara y = sin x dan y = sin 2x pada [0, π].
13. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh x = y² − 2 dan x = 4 − y².
14. Hitunglah luas daerah antara y = |x² − 4| dan y = 5.
15. Hitunglah luas daerah antara y = ex dan y = e2−x serta garis x = 0 dan x = 2.