Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Integral Tentu
1. Pengertian Integral Tentu
Integral tentu adalah integral yang memiliki batas atas dan batas bawah. Jika f(x) merupakan fungsi yang kontinu pada interval [a, b], dan F(x) adalah antiturunan dari f(x), maka:
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Teorema Fundamental Kalkulus (Teorema Newton-Leibniz)
Keterangan:
- a = batas bawah integrasi
- b = batas atas integrasi
- f(x) = fungsi integran (fungsi yang diintegralkan)
- F(x) = antiturunan atau primitif dari f(x)
- dx = variabel integrasi
Notasi penulisan integral tentu:
∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)
Berbeda dengan integral tak tentu yang menghasilkan fungsi (ditambah konstanta C), integral tentu menghasilkan nilai bilangan (konstanta).
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan hubungan antara integral tentu dan luas daerah di bawah kurva:
Luas daerah yang diarsir = ∫ab f(x) dx
Amati bahwa integral tentu ∫ab f(x) dx secara geometris menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b.
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa perbedaan antara integral tentu dan integral tak tentu?
- Mengapa integral tentu menghasilkan nilai bilangan, bukan fungsi?
- Bagaimana jika batas bawah lebih besar dari batas atas?
- Apakah hasil integral tentu selalu positif?
2. Sifat-sifat Integral Tentu
Berikut adalah sifat-sifat integral tentu yang perlu dipahami:
Sifat 1: Batas sama
∫aa f(x) dx = 0
Sifat 2: Pertukaran batas
∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx
Sifat 3: Konstanta pengali
∫ab k · f(x) dx = k · ∫ab f(x) dx
Sifat 4: Penjumlahan dan pengurangan
∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
Sifat 5: Interval terpisah
∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx
untuk a ≤ c ≤ b
💡 Kegiatan: Menalar
Buktikan bahwa Sifat 1 benar dengan menggunakan definisi integral tentu:
∫aa f(x) dx = F(a) − F(a) = 0 ✓
Jelaskan secara geometris: jika batas atas dan batas bawah sama, maka tidak ada luas daerah yang terbentuk.
3. Langkah-langkah Menghitung Integral Tentu
Langkah-langkah menghitung integral tentu:
- Tentukan antiturunan F(x) dari f(x) (tanpa konstanta C)
- Substitusikan batas atas ke dalam F(x) → dapatkan F(b)
- Substitusikan batas bawah ke dalam F(x) → dapatkan F(a)
- Kurangkan: Hasil = F(b) − F(a)
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba hitung integral tentu berikut step by step:
∫13 2x dx
Langkah 1: Antiturunan dari 2x adalah x²
Langkah 2: Substitusi batas atas: F(3) = 3² = 9
Langkah 3: Substitusi batas bawah: F(1) = 1² = 1
Langkah 4: Hasil = 9 − 1 = 8
4. Integral Tentu Fungsi Aljabar
Rumus-rumus dasar yang digunakan untuk menghitung integral tentu fungsi aljabar:
| No | Fungsi f(x) | Antiturunan F(x) |
|---|---|---|
| 1 | k (konstanta) | kx |
| 2 | xn | xn+1n+1 , n ≠ −1 |
| 3 | ax + b | a2x² + bx |
| 4 | ax² + bx + c | a3x³ + b2x² + cx |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompok: Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa pada integral tentu kita tidak perlu menuliskan konstanta C. Presentasikan jawabanmu di depan kelas.
5. Integral Tentu dan Luas Daerah
Integral tentu memiliki interpretasi geometris sebagai luas daerah. Namun perlu diperhatikan:
Aturan Penting:
- Jika f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka Luas = ∫ab f(x) dx
- Jika f(x) ≤ 0 pada [a, b], maka Luas = −∫ab f(x) dx = |∫ab f(x) dx|
- Jika kurva memotong sumbu-x, pisahkan interval dan jumlahkan nilai mutlak masing-masing
Luas daerah antara dua kurva:
Luas = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
dengan f(x) adalah kurva atas dan g(x) adalah kurva bawah
Luas daerah antara kurva f(x) dan g(x)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
A. Contoh Soal Mudah
Contoh 1:
Hitunglah ∫02 3 dx
Pembahasan:
∫02 3 dx = [3x]02
= 3(2) − 3(0)
= 6 − 0
= 6
Contoh 2:
Hitunglah ∫14 2x dx
Pembahasan:
∫14 2x dx = [x²]14
= 4² − 1²
= 16 − 1
= 15
Contoh 3:
Hitunglah ∫03 x² dx
Pembahasan:
∫03 x² dx = [13x³]03
= 13(3³) − 13(0³)
= 273 − 0
= 9
Contoh 4:
Hitunglah ∫12 (x + 1) dx
Pembahasan:
∫12 (x + 1) dx = [12x² + x]12
= (12(4) + 2) − (12(1) + 1)
= (2 + 2) − (12 + 1)
= 4 − 32
= 52 = 2,5
Contoh 5:
Hitunglah ∫01 4x³ dx
Pembahasan:
∫01 4x³ dx = [x⁴]01
= 1⁴ − 0⁴
= 1 − 0
= 1
B. Contoh Soal Sedang
Contoh 6:
Hitunglah ∫13 (2x² − 3x + 1) dx
Pembahasan:
∫13 (2x² − 3x + 1) dx = [23x³ − 32x² + x]13
= (23(27) − 32(9) + 3) − (23(1) − 32(1) + 1)
= (18 − 272 + 3) − (23 − 32 + 1)
= (21 − 13,5) − (0,667 − 1,5 + 1)
= 7,5 − 0,167
= 223 = 713
Contoh 7:
Hitunglah ∫14 (3√x) dx = ∫14 3x½ dx
Pembahasan:
∫14 3x½ dx = [3 · x3/232]14 = [2x3/2]14
= 2(4)3/2 − 2(1)3/2
= 2(8) − 2(1)
= 16 − 2
= 14
Contoh 8:
Hitunglah ∫−12 (x³ − x) dx
Pembahasan:
= [14x⁴ − 12x²]−12
= (14(16) − 12(4)) − (14(1) − 12(1))
= (4 − 2) − (14 − 12)
= 2 − (−14)
= 2 + 14 = 94
Contoh 9:
Jika ∫14 f(x) dx = 10 dan ∫14 g(x) dx = 3, hitunglah ∫14 [2f(x) − g(x)] dx
Pembahasan:
Menggunakan sifat linearitas integral tentu:
∫14 [2f(x) − g(x)] dx
= 2∫14 f(x) dx − ∫14 g(x) dx
= 2(10) − 3
= 17
Contoh 10:
Hitunglah ∫12 3x² dx = ∫12 3x−2 dx
Pembahasan:
= [3x−1−1]12 = [−3x]12
= (−32) − (−31)
= −32 + 3
= 32 = 1,5
C. Contoh Soal Sulit
Contoh 11:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² − 4, sumbu-x, x = 0, dan x = 3.
Pembahasan:
Pertama, cari titik potong dengan sumbu-x: x² − 4 = 0 → x = 2 (dalam interval [0,3])
Pada [0, 2]: f(x) ≤ 0 (di bawah sumbu-x)
Pada [2, 3]: f(x) ≥ 0 (di atas sumbu-x)
Luas = |∫02 (x²−4) dx| + ∫23 (x²−4) dx
∫02 (x²−4) dx = [13x³ − 4x]02 = (83 − 8) − 0 = −163
∫23 (x²−4) dx = [13x³ − 4x]23 = (9 − 12) − (83 − 8) = −3 + 163 = 73
Luas = 163 + 73 = 233 satuan luas
Contoh 12:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = 2x.
Pembahasan:
Titik potong: x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x−2) = 0 → x = 0 atau x = 2
Pada [0, 2]: 2x ≥ x², jadi kurva atas = 2x, kurva bawah = x²
Luas = ∫02 (2x − x²) dx
= [x² − 13x³]02
= (4 − 83) − 0
= 43 satuan luas
Contoh 13:
Tentukan nilai a jika ∫0a (6x − 2) dx = 16, dengan a > 0.
Pembahasan:
[3x² − 2x]0a = 16
(3a² − 2a) − 0 = 16
3a² − 2a − 16 = 0
Menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi:
(3a − 8)(a + 2) = 0
a = 83 atau a = −2
Karena a > 0, maka a = 83
Contoh 14:
Hitunglah ∫04 |x − 2| dx
Pembahasan:
Pecah berdasarkan definisi nilai mutlak:
Untuk x < 2: |x−2| = −(x−2) = 2−x
Untuk x ≥ 2: |x−2| = x−2
= ∫02 (2−x) dx + ∫24 (x−2) dx
= [2x − 12x²]02 + [12x² − 2x]24
= (4 − 2) − 0 + (8 − 8) − (2 − 4)
= 2 + 0 − (−2)
= 4
Contoh 15:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x² + 1, y = −x² + 4x + 1.
Pembahasan:
Titik potong: x² + 1 = −x² + 4x + 1
2x² − 4x = 0 → 2x(x − 2) = 0 → x = 0 atau x = 2
Pada [0, 2]: kurva atas = −x² + 4x + 1, kurva bawah = x² + 1
Luas = ∫02 [(−x²+4x+1) − (x²+1)] dx
= ∫02 (−2x² + 4x) dx
= [−23x³ + 2x²]02
= (−163 + 8) − 0
= 83 satuan luas
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat mengerjakan!
A. Latihan Soal Mudah
1. Hitunglah ∫05 4 dx
2. Hitunglah ∫25 3x dx
3. Hitunglah ∫02 x³ dx
4. Hitunglah ∫13 (2x − 1) dx
5. Hitunglah ∫−11 5x⁴ dx
B. Latihan Soal Sedang
6. Hitunglah ∫03 (x² + 2x − 3) dx
7. Hitunglah ∫19 2√x dx
8. Jika ∫25 f(x) dx = 8 dan ∫25 g(x) dx = 5, hitunglah ∫25 [3f(x) + 2g(x)] dx
9. Hitunglah ∫13 4x³ dx
10. Jika ∫16 f(x) dx = 12 dan ∫13 f(x) dx = 5, hitunglah ∫36 f(x) dx
C. Latihan Soal Sulit
11. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² − 2x, sumbu-x, x = 0, dan x = 3.
12. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x + 2.
13. Tentukan nilai p jika ∫1p (4x − 2) dx = 12, dengan p > 1.
14. Hitunglah ∫−13 |x² − 4| dx
15. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = 6x − x² dan y = x² − 2x.