Transformasi Grafik Fungsi Eksponen
Matematika
1. Translasi (Pergeseran) Grafik Fungsi Eksponen
Mengamati
Perhatikan grafik fungsi dasar \( f(x) = 2^x \). Jika kita menambahkan konstanta pada eksponen atau pada hasil fungsi, grafik akan bergeser secara horizontal atau vertikal.
Bentuk Umum Translasi
Jika \( f(x) = a^x \) adalah fungsi eksponen dasar, maka:
- Pergeseran Vertikal: \( g(x) = a^x + k \)
• \( k > 0 \): grafik bergeser ke atas sejauh \( k \) satuan
• \( k < 0 \): grafik bergeser ke bawah sejauh \( |k| \) satuan
• Asimtot berubah dari \( y=0 \) menjadi \( y=k \) - Pergeseran Horizontal: \( g(x) = a^{x-h} \)
• \( h > 0 \): grafik bergeser ke kanan sejauh \( h \) satuan
• \( h < 0 \): grafik bergeser ke kiri sejauh \( |h| \) satuan - Gabungan: \( g(x) = a^{x-h} + k \) — grafik bergeser \( h \) satuan horizontal dan \( k \) satuan vertikal.
Menanya
Bagaimana perubahan asimtot horizontal ketika grafik \( y = 2^x \) digeser ke atas 3 satuan? Apakah titik potong dengan sumbu-y juga berubah?
Menalar
Pada \( y = 2^x \), asimtot horizontal adalah \( y = 0 \) dan titik potong sumbu-y adalah \( (0, 1) \).
Setelah digeser ke atas 3 satuan menjadi \( y = 2^x + 3 \):
- Asimtot baru: \( y = 3 \)
- Titik potong sumbu-y baru: \( (0, 2^0 + 3) = (0, 4) \)
Mencoba
Buatlah tabel nilai untuk \( y = 2^x \) dan \( y = 2^{x-2} + 1 \) untuk \( x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \), lalu gambarkan kedua grafik pada bidang koordinat yang sama.
Tabel Perbandingan Nilai
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2^x\) | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| \(y=2^{x-2}+1\) | 1¼ | 1¼ | 1¼ | 1½ | 2 | 3 | 5 |
Catatan: \(2^{x-2}+1\) artinya grafik \(2^x\) digeser 2 ke kanan dan 1 ke atas. Asimtot berubah menjadi \(y=1\).
Ilustrasi Grafik Translasi
Garis biru: \(y=2^x\), Garis merah putus-putus: \(y=2^{x-2}+1\)
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Translasi pada fungsi eksponen \(a^x\) menghasilkan pergeseran grafik tanpa mengubah bentuknya. Pergeseran horizontal dipengaruhi oleh nilai di eksponen \((x – h)\), sedangkan pergeseran vertikal dipengaruhi oleh konstanta \(+k\) di luar fungsi. Asimtot horizontal selalu bergeser sesuai nilai \(k\).
2. Refleksi (Pencerminan) Grafik Fungsi Eksponen
Mengamati
Perhatikan apa yang terjadi jika tanda negatif diberikan pada fungsi atau pada variabel \(x\) di eksponen.
Jenis-Jenis Refleksi
- Refleksi terhadap sumbu-x: \( g(x) = -a^x \)
Setiap titik \((x, y)\) dipetakan ke \((x, -y)\). Grafik terbalik ke bawah sumbu-x. - Refleksi terhadap sumbu-y: \( g(x) = a^{-x} \)
Setiap titik \((x, y)\) dipetakan ke \((-x, y)\). Grafik naik menjadi turun (atau sebaliknya).
Catatan: \( a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x \) - Refleksi terhadap titik asal \(O(0,0)\): \( g(x) = -a^{-x} \)
Gabungan refleksi sumbu-x dan sumbu-y.
Menanya
Jika \( f(x) = 3^x \), bagaimana bentuk grafik \( g(x) = -3^x \) dan \( h(x) = 3^{-x} \)? Apakah domain dan range-nya berubah?
Menalar
- \( f(x)=3^x \): domain \(\mathbb{R}\), range \((0, \infty)\), asimtot \(y=0\)
- \( g(x)=-3^x \): domain \(\mathbb{R}\), range \((-\infty, 0)\), asimtot \(y=0\) (dari bawah)
- \( h(x)=3^{-x} = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x \): domain \(\mathbb{R}\), range \((0, \infty)\), grafik turun
Mencoba
Lengkapi tabel berikut dan gambarkan ketiga grafik pada satu bidang koordinat:
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3^x\) | ⅑ | ⅓ | 1 | 3 | 9 |
| \(-3^x\) | -⅑ | -⅓ | -1 | -3 | -9 |
| \(3^{-x}\) | 9 | 3 | 1 | ⅓ | ⅑ |
Ilustrasi Refleksi
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Refleksi terhadap sumbu-x membalik grafik secara vertikal (range berubah tanda), sedangkan refleksi terhadap sumbu-y membalik grafik secara horizontal (fungsi naik menjadi turun). Kedua refleksi tidak mengubah domain fungsi.
3. Dilatasi (Perkalian Skalar) Grafik Fungsi Eksponen
Mengamati
Perhatikan apa yang terjadi jika fungsi \(a^x\) dikalikan konstanta positif \(c\), atau jika eksponen dikalikan konstanta \(b\).
Bentuk Umum Dilatasi
- Regangan/Penyusutan Vertikal: \( g(x) = c \cdot a^x \)
• \( c > 1 \): grafik meregang vertikal (lebih curam)
• \( 0 < c < 1 \): grafik menyusut vertikal (lebih landai)
• Titik potong sumbu-y berubah menjadi \((0, c)\) - Regangan/Penyusutan Horizontal: \( g(x) = a^{bx} \)
• \( b > 1 \): grafik menyusut horizontal (terkompresi)
• \( 0 < b < 1 \): grafik meregang horizontal
Menanya
Apakah perkalian skalar mengubah asimtot horizontal? Bagaimana pengaruhnya terhadap laju pertumbuhan grafik?
Menalar
Pada \( g(x) = c \cdot a^x \), saat \( x \to -\infty \), \( a^x \to 0 \) sehingga \( c \cdot a^x \to 0 \). Asimtot tetap \( y = 0 \).
Namun titik potong sumbu-y berubah: \( g(0) = c \cdot a^0 = c \cdot 1 = c \).
Untuk \( a^{bx} \), kecepatan pertumbuhan meningkat jika \( b > 1 \) karena setara dengan basis \( a^b \) yang lebih besar.
Mencoba
Bandingkan grafik \( y = 2^x \), \( y = 3 \cdot 2^x \), dan \( y = \frac{1}{2} \cdot 2^x \). Buat tabel nilai dan gambarkan.
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(3 \cdot 2^x\) | 0,75 | 1,5 | 3 | 6 | 12 | 24 |
| \(\frac{1}{2} \cdot 2^x\) | 0,125 | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Dilatasi vertikal \(c \cdot a^x\) memperbesar atau memperkecil nilai-y tanpa mengubah asimtot. Dilatasi horizontal \(a^{bx}\) mempercepat atau memperlambat pertumbuhan grafik. Keduanya tidak mengubah domain.
Ringkasan Seluruh Transformasi
| Transformasi | Bentuk Fungsi | Efek pada Grafik |
|---|---|---|
| Geser ke atas \(k\) | \(a^x + k\) | Naik \(k\) satuan, asimtot \(y=k\) |
| Geser ke bawah \(k\) | \(a^x – k\) | Turun \(k\) satuan, asimtot \(y=-k\) |
| Geser ke kanan \(h\) | \(a^{x-h}\) | Kanan \(h\) satuan |
| Geser ke kiri \(h\) | \(a^{x+h}\) | Kiri \(h\) satuan |
| Cermin sumbu-x | \(-a^x\) | Terbalik vertikal |
| Cermin sumbu-y | \(a^{-x}\) | Terbalik horizontal |
| Regang vertikal | \(c \cdot a^x,\ c>1\) | Lebih curam |
| Susut vertikal | \(c \cdot a^x,\ 0 |
Lebih landai |
Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Soal 1. Grafik \( y = 2^x \) digeser 4 satuan ke atas. Tentukan persamaan grafik baru dan asimtotnya.
Lihat Pembahasan
Pergeseran ke atas \(k=4\): \( y = 2^x + 4 \)
Asimtot horizontal baru: \( y = 4 \)
Titik potong sumbu-y: \( (0, 2^0+4) = (0, 5) \)
Soal 2. Tentukan persamaan fungsi jika grafik \( y = 3^x \) digeser 2 satuan ke kanan.
Lihat Pembahasan
Pergeseran ke kanan \(h=2\): ganti \(x\) dengan \(x-2\)
\( y = 3^{x-2} \)
Asimtot tetap \(y=0\), titik potong sumbu-y: \( (0, 3^{-2}) = (0, \tfrac{1}{9}) \)
Soal 3. Grafik \( y = 5^x \) dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan persamaan hasilnya.
Lihat Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu-x: kalikan seluruh fungsi dengan \(-1\)
\( y = -5^x \)
Range berubah dari \((0,\infty)\) menjadi \((-\infty, 0)\)
Soal 4. Grafik \( y = 2^x \) dicerminkan terhadap sumbu-y. Tuliskan persamaan baru.
Lihat Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu-y: ganti \(x\) dengan \(-x\)
\( y = 2^{-x} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x \)
Grafik yang semula naik menjadi turun.
Soal 5. Tentukan titik potong sumbu-y dari \( y = 4 \cdot 2^x \).
Lihat Pembahasan
Substitusi \(x=0\): \( y = 4 \cdot 2^0 = 4 \cdot 1 = 4 \)
Titik potong sumbu-y: \( (0, 4) \)
SEDANG
Soal 6. Grafik \( y = 2^x \) digeser 3 satuan ke kiri dan 2 satuan ke bawah. Tentukan persamaan fungsi baru, asimtot, dan titik potong sumbu-y.
Lihat Pembahasan
Geser kiri 3: \(x\) diganti \(x+3\). Geser bawah 2: dikurangi 2.
\( y = 2^{x+3} – 2 \)
Asimtot: \( y = -2 \)
Titik potong sumbu-y: \( y = 2^{0+3} – 2 = 8 – 2 = 6 \), jadi \((0, 6)\)
Soal 7. Fungsi \( f(x) = 3^x \) mengalami dilatasi vertikal dengan faktor 2, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan persamaan akhirnya.
Lihat Pembahasan
Dilatasi vertikal faktor 2: \( g(x) = 2 \cdot 3^x \)
Refleksi sumbu-x: \( h(x) = -2 \cdot 3^x \)
Range: \((-\infty, 0)\), asimtot \(y=0\)
Soal 8. Diketahui grafik \( y = a^{x-1} + 2 \) melalui titik \((1, 3)\). Tentukan nilai \(a\).
Lihat Pembahasan
Substitusi \((1,3)\): \( 3 = a^{1-1} + 2 = a^0 + 2 = 1 + 2 = 3 \)
Persamaan terpenuhi untuk semua \(a > 0, a \neq 1\).
Artinya titik \((1,3)\) selalu dilalui oleh grafik ini untuk setiap basis \(a\) yang valid. Diperlukan titik tambahan untuk menentukan \(a\) secara unik.
Soal 9. Grafik \( y = 2^{2x} \) merupakan transformasi dari \( y = 2^x \). Jelaskan jenis transformasinya dan gambarkan perbandingannya.
Lihat Pembahasan
\( 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x \), atau bisa dilihat sebagai \( 2^{bx} \) dengan \(b=2\).
Ini adalah penyusutan horizontal dengan faktor \(\tfrac{1}{2}\). Grafik terkompresi ke arah sumbu-y.
Titik potong sumbu-y tetap \((0,1)\), tapi grafik naik lebih cepat.
Soal 10. Tentukan persamaan fungsi hasil transformasi \( y = 2^x \) yang dicerminkan terhadap sumbu-y lalu digeser 1 satuan ke atas.
Lihat Pembahasan
Langkah 1 — Refleksi sumbu-y: \( y = 2^{-x} \)
Langkah 2 — Geser atas 1: \( y = 2^{-x} + 1 \)
Asimtot baru: \( y = 1 \)
Titik potong sumbu-y: \( (0, 2^0 + 1) = (0, 2) \)
SULIT
Soal 11. Grafik \( y = 2^x \) mengalami transformasi berturut-turut: (i) refleksi terhadap sumbu-y, (ii) dilatasi vertikal faktor 3, (iii) translasi 2 satuan ke kanan dan 5 satuan ke atas. Tentukan persamaan akhir dan tentukan titik potong dengan sumbu-y.
Lihat Pembahasan
Langkah (i): \( y = 2^{-x} \)
Langkah (ii): \( y = 3 \cdot 2^{-x} \)
Langkah (iii): ganti \(x\) dengan \(x-2\), tambah 5:
\( y = 3 \cdot 2^{-(x-2)} + 5 = 3 \cdot 2^{2-x} + 5 \)
Titik potong sumbu-y (\(x=0\)):
\( y = 3 \cdot 2^{2-0} + 5 = 3 \cdot 4 + 5 = 17 \)
Jadi titik potong: \((0, 17)\), asimtot: \(y = 5\)
Soal 12. Diketahui \( g(x) = -2 \cdot 3^{x+1} + 6 \). Tentukan semua transformasi yang mengubah \( f(x) = 3^x \) menjadi \( g(x) \). Tentukan juga domain, range, asimtot, dan titik potong kedua sumbu.
Lihat Pembahasan
Transformasi dari \(3^x\) ke \(-2 \cdot 3^{x+1} + 6\):
- Geser kiri 1 satuan: \(3^{x+1}\)
- Dilatasi vertikal faktor 2: \(2 \cdot 3^{x+1}\)
- Refleksi sumbu-x: \(-2 \cdot 3^{x+1}\)
- Geser atas 6: \(-2 \cdot 3^{x+1} + 6\)
Domain: \(\mathbb{R}\)
Range: Karena \(-2 \cdot 3^{x+1} < 0\) untuk semua \(x\), maka \(g(x) < 6\). Range: \((-\infty, 6)\)
Asimtot: \(y = 6\)
Titik potong sumbu-y (\(x=0\)): \( g(0) = -2 \cdot 3^1 + 6 = -6 + 6 = 0 \). Titik: \((0, 0)\)
Titik potong sumbu-x (\(y=0\)): \( 0 = -2 \cdot 3^{x+1} + 6 \Rightarrow 3^{x+1} = 3 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0 \). Titik: \((0, 0)\)
Soal 13. Grafik fungsi \( h(x) = a \cdot 2^{x-b} + c \) memiliki asimtot \( y = -3 \), melalui titik \((2, -1)\) dan \((3, 1)\). Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\).
Lihat Pembahasan
Asimtot \(y = c = -3\). Jadi \( h(x) = a \cdot 2^{x-b} – 3 \).
Titik \((2, -1)\): \( -1 = a \cdot 2^{2-b} – 3 \Rightarrow a \cdot 2^{2-b} = 2 \) … (1)
Titik \((3, 1)\): \( 1 = a \cdot 2^{3-b} – 3 \Rightarrow a \cdot 2^{3-b} = 4 \) … (2)
Bagi (2) oleh (1):
\( \dfrac{a \cdot 2^{3-b}}{a \cdot 2^{2-b}} = \dfrac{4}{2} \)
\( 2^{(3-b)-(2-b)} = 2 \Rightarrow 2^1 = 2 \) ✓ (selalu benar)
Karena rasio selalu 2, kita butuh menentukan \(a\) dan \(b\). Dari persamaan (1):
\( a \cdot 2^{2-b} = 2 \)
Pilih \(b = 2\): \( a \cdot 2^0 = 2 \Rightarrow a = 2 \)
Verifikasi dengan (2): \( 2 \cdot 2^{3-2} = 2 \cdot 2 = 4 \) ✓
Jawaban: \( a = 2,\ b = 2,\ c = -3 \)
Fungsi: \( h(x) = 2 \cdot 2^{x-2} – 3 = 2^{x-1} – 3 \)
Soal 14. Tentukan persamaan fungsi eksponen yang grafiknya merupakan hasil transformasi \( y = e^x \) setelah: dilatasi horizontal faktor \(\frac{1}{2}\), refleksi terhadap sumbu-x, lalu translasi vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Tentukan titik balik (jika ada) dan asimtot.
Lihat Pembahasan
Dilatasi horizontal faktor \(\tfrac{1}{2}\) berarti \(x\) dikalikan \(\tfrac{1}{1/2} = 2\):
\( y = e^{2x} \)
Refleksi sumbu-x: \( y = -e^{2x} \)
Translasi \(\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\): ganti \(x\) dengan \(x-1\), tambah 3:
\( y = -e^{2(x-1)} + 3 = -e^{2x-2} + 3 \)
Fungsi eksponen tidak memiliki titik balik (monoton). Karena koefisien negatif, fungsi monoton turun.
Asimtot: \( y = 3 \) (didekati dari bawah karena \(-e^{2x-2} \to 0^-\) saat \(x \to -\infty\))
Soal 15. Dua fungsi \( f(x) = 4^x \) dan \( g(x) = 2^{x+3} – 8 \). Buktikan bahwa kedua grafik berpotongan dan tentukan titik potongnya. Jelaskan hubungan transformasi antara keduanya.
Lihat Pembahasan
Mencari titik potong: \( 4^x = 2^{x+3} – 8 \)
Ubah ke basis 2: \( 2^{2x} = 2^{x+3} – 8 \)
Misalkan \( u = 2^x \), maka \( u^2 = 8u – 8 \)
\( u^2 – 8u + 8 = 0 \)
\( u = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-32}}{2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \dfrac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2} \)
Karena \( u = 2^x > 0 \), kedua solusi valid (keduanya positif).
\( x = \log_2(4 + 2\sqrt{2}) \approx 2,77 \) dan \( x = \log_2(4 – 2\sqrt{2}) \approx 0,23 \)
Terbukti kedua grafik berpotongan di dua titik.
Hubungan transformasi:
\( g(x) = 2^{x+3} – 8 = 8 \cdot 2^x – 8 \). Ini adalah \(2^x\) yang didilatasi vertikal faktor 8 lalu digeser ke bawah 8.
\( f(x) = 4^x = (2^x)^2 \). Ini bukan transformasi linear dari \(2^x\), melainkan kuadrat dari \(2^x\).
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disertai pembahasan.
MUDAH
1. Tentukan persamaan grafik yang diperoleh jika \( y = 5^x \) digeser 3 satuan ke bawah.
2. Grafik \( y = 2^x \) digeser 4 satuan ke kiri. Tentukan persamaan baru dan titik potong sumbu-y.
3. Tentukan asimtot horizontal dari \( y = 7^x – 10 \).
4. Tuliskan hasil pencerminan \( y = 4^x \) terhadap sumbu-y.
5. Jika \( y = \frac{1}{3} \cdot 2^x \), tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y.
SEDANG
6. Grafik \( y = 3^x \) dicerminkan terhadap sumbu-x kemudian digeser 4 satuan ke atas. Tentukan persamaan akhir, asimtot, dan range.
7. Tentukan persamaan fungsi jika \( y = 2^x \) didilatasi vertikal faktor 5 lalu digeser 1 satuan ke kanan dan 2 satuan ke bawah.
8. Grafik \( y = e^x \) ditransformasikan menjadi \( y = e^{3x-6} \). Jelaskan transformasi apa saja yang terjadi.
9. Diketahui \( g(x) = 2^{-(x-3)} + 1 \). Tentukan asimtot, domain, range, dan sketsa grafik.
10. Fungsi \( f(x) = a \cdot 2^x + b \) memiliki asimtot \( y = -4 \) dan melalui titik \((0, -2)\). Tentukan \(a\) dan \(b\).
SULIT
11. Grafik \( y = 2^x \) mengalami transformasi berturut-turut: refleksi sumbu-y, dilatasi vertikal faktor 4, translasi 3 kanan dan 7 ke atas. Tentukan persamaan akhir, asimtot, dan tentukan \(x\) saat \(y = 11\).
12. Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) jika grafik \( y = a \cdot 3^{x-b} + c \) memiliki asimtot \(y = 2\), melalui \((1, 5)\) dan \((2, 11)\).
13. Fungsi \( f(x) = -3 \cdot 2^{2x-4} + 12 \). Tentukan semua transformasi dari \( y = 2^x \), titik potong dengan kedua sumbu koordinat, dan sketsa grafik lengkap dengan asimtot.
14. Buktikan bahwa grafik \( y = 4^{x-1} \) dan \( y = 2 \cdot 2^{2x} – 4 \) tidak pernah berpotongan. Jelaskan secara aljabar.
15. Diketahui \( f(x) = 2^{|x|} \) dan \( g(x) = 2^x + 2^{-x} \). Selidiki apakah kedua fungsi identik. Jika tidak, tentukan untuk nilai \(x\) mana keduanya sama dan jelaskan transformasi geometri yang menghubungkannya.