Titik Potong Grafik Fungsi Eksponen
Matematika
Daftar Isi
1. Pengertian Titik Potong Grafik Fungsi Eksponen 2. Titik Potong dengan Sumbu-X 3. Titik Potong dengan Sumbu-Y 4. Titik Potong Dua Grafik Fungsi Eksponen 5. Contoh Soal dan Pembahasan 6. Latihan Soal1. Pengertian Titik Potong Grafik Fungsi Eksponen
Perhatikan grafik fungsi eksponen \(f(x) = 2^x\) berikut. Amati di mana grafik tersebut memotong sumbu-X dan sumbu-Y.
Titik potong grafik adalah titik di mana grafik suatu fungsi memotong (bersinggungan atau melewati) sumbu koordinat atau grafik fungsi lain.
Pada grafik fungsi eksponen \(f(x) = a^x\) dengan \(a > 0, a \neq 1\), terdapat dua jenis titik potong yang sering dipelajari:
- Titik potong dengan sumbu-Y — titik di mana \(x = 0\).
- Titik potong dengan sumbu-X — titik di mana \(y = 0\).
- Titik potong antara dua grafik fungsi eksponen — titik di mana kedua fungsi bernilai sama.
Apakah grafik fungsi eksponen \(y = a^x\) selalu memotong sumbu-X? Mengapa?
2. Titik Potong dengan Sumbu-X
Grafik memotong sumbu-X berarti \(y = 0\). Untuk fungsi \(f(x) = a^x\), apakah mungkin \(a^x = 0\)?
Karena \(a > 0\) dan \(a \neq 1\), maka \(a^x > 0\) untuk semua nilai \(x\) bilangan real. Artinya:
Kesimpulan Penting:
Grafik fungsi eksponen sederhana \(y = a^x\) tidak pernah memotong sumbu-X karena \(a^x \neq 0\) untuk semua \(x \in \mathbb{R}\).
Namun, untuk fungsi eksponen yang ditransformasikan, misalnya:
\[ f(x) = a^x – k \]Grafik dapat memotong sumbu-X ketika:
\[ a^x – k = 0 \implies a^x = k \]Langkah mencari titik potong dengan sumbu-X:
- Substitusikan \(y = 0\) ke persamaan fungsi.
- Selesaikan persamaan eksponen yang dihasilkan.
- Nilai \(x\) yang diperoleh merupakan absis titik potong, sehingga titiknya adalah \((x, 0)\).
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x – 4\) dengan sumbu-X!
\(y = 0\):
\[ 2^x – 4 = 0 \implies 2^x = 4 = 2^2 \implies x = 2 \]Jadi titik potong dengan sumbu-X adalah (2, 0).
3. Titik Potong dengan Sumbu-Y
Grafik memotong sumbu-Y berarti \(x = 0\). Substitusikan \(x = 0\) ke fungsi:
Rumus Titik Potong dengan Sumbu-Y:
Untuk \(f(x) = a^x + c\), titik potong sumbu-Y adalah:
\[ (0,\ a^0 + c) = (0,\ 1 + c) \]Langkah mencari titik potong dengan sumbu-Y:
- Substitusikan \(x = 0\) ke persamaan fungsi.
- Hitung nilai \(y = f(0)\).
- Titik potong dengan sumbu-Y adalah \((0, f(0))\).
Tabel contoh titik potong dengan sumbu-Y:
| Fungsi | \(f(0)\) | Titik Potong Sumbu-Y |
|---|---|---|
| \(y = 3^x\) | \(3^0 = 1\) | (0, 1) |
| \(y = 2^x + 3\) | \(1 + 3 = 4\) | (0, 4) |
| \(y = 5^x – 2\) | \(1 – 2 = -1\) | (0, −1) |
| \(y = 2 \cdot 3^x\) | \(2 \cdot 1 = 2\) | (0, 2) |
| \(y = 4^{x-1}\) | \(4^{-1} = \tfrac{1}{4}\) | \((0, \tfrac{1}{4})\) |
Jelaskan kepada teman sebangku mengapa setiap grafik fungsi \(y = a^x\) (tanpa translasi vertikal) selalu melewati titik (0, 1).
4. Titik Potong Dua Grafik Fungsi Eksponen
Perhatikan grafik \(y = 2^x\) dan \(y = 4^{x-1}\). Di mana kedua grafik berpotongan?
Dua grafik \(y = f(x)\) dan \(y = g(x)\) berpotongan di titik yang memenuhi:
\[ f(x) = g(x) \]Langkah menentukan titik potong dua grafik fungsi eksponen:
- Samakan kedua fungsi: \(f(x) = g(x)\).
- Ubah kedua ruas menjadi basis yang sama (jika memungkinkan).
- Samakan pangkat untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Substitusikan nilai \(x\) ke salah satu fungsi untuk mendapatkan \(y\).
- Tuliskan titik potong \((x, y)\).
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x\) dan \(y = 4^{x-1}\).
Samakan:
\[ 2^x = 4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} \]Samakan pangkat:
\[ x = 2x – 2 \implies x = 2 \]Substitusi \(x = 2\): \(y = 2^2 = 4\)
Titik potong: (2, 4)
Bagaimana jika basis kedua fungsi tidak bisa disamakan? Misalnya \(2^x = 3^x\). Kapan hal ini terjadi dan bagaimana penyelesaiannya?
\(2^x = 3^x \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \implies x = 0\).
Saat \(x = 0\): \(y = 2^0 = 1\). Titik potong: (0, 1).
5. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1.
Tentukan titik potong grafik \(y = 5^x\) dengan sumbu-Y.
Pembahasan:
Substitusi \(x = 0\):
\[ y = 5^0 = 1 \]Titik potong dengan sumbu-Y: (0, 1)
Soal 2.
Tentukan titik potong grafik \(y = 3^x – 1\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
Syarat: \(y = 0\)
\[ 3^x – 1 = 0 \implies 3^x = 1 = 3^0 \implies x = 0 \]Titik potong dengan sumbu-X: (0, 0)
Soal 3.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x + 5\) dengan sumbu-Y.
Pembahasan:
\[ f(0) = 2^0 + 5 = 1 + 5 = 6 \]Titik potong: (0, 6)
Soal 4.
Tentukan titik potong grafik \(y = 4^x – 16\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
\[ 4^x – 16 = 0 \implies 4^x = 16 = 4^2 \implies x = 2 \]Titik potong: (2, 0)
Soal 5.
Tentukan titik potong grafik \(y = 3 \cdot 2^x\) dengan sumbu-Y.
Pembahasan:
\[ f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]Titik potong: (0, 3)
Sedang
Soal 6.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^{x+1} – 8\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
\[ 2^{x+1} – 8 = 0 \implies 2^{x+1} = 8 = 2^3 \implies x+1 = 3 \implies x = 2 \]Titik potong: (2, 0)
Soal 7.
Tentukan titik potong grafik \(y = 3^{2x} – 9\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
\[ 3^{2x} = 9 = 3^2 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]Titik potong: (1, 0)
Soal 8.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x\) dan \(y = 8\).
Pembahasan:
\[ 2^x = 8 = 2^3 \implies x = 3 \]Titik potong: (3, 8)
Soal 9.
Tentukan titik potong grafik \(y = 4^x\) dan \(y = 2^{x+2}\).
Pembahasan:
\[ 4^x = 2^{x+2} \implies (2^2)^x = 2^{x+2} \implies 2^{2x} = 2^{x+2} \] \[ 2x = x + 2 \implies x = 2 \]Substitusi: \(y = 4^2 = 16\)
Titik potong: (2, 16)
Soal 10.
Tentukan titik potong grafik \(y = 9^x\) dan \(y = 27^{x-1}\).
Pembahasan:
\[ 9^x = 27^{x-1} \implies (3^2)^x = (3^3)^{x-1} \implies 3^{2x} = 3^{3x-3} \] \[ 2x = 3x – 3 \implies x = 3 \]Substitusi: \(y = 9^3 = 729\)
Titik potong: (3, 729)
Sulit
Soal 11.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x + 2^{-x}\) dengan garis \(y = 2\).
Pembahasan:
Misalkan \(t = 2^x\), maka \(2^{-x} = \frac{1}{t}\):
\[ t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 + 1 = 2t \implies t^2 – 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \] \[ t = 1 \implies 2^x = 1 \implies x = 0 \]Titik potong: (0, 2)
Soal 12.
Tentukan titik potong grafik \(y = 4^x – 3 \cdot 2^x + 2\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
Misalkan \(t = 2^x\), maka \(4^x = (2^x)^2 = t^2\):
\[ t^2 – 3t + 2 = 0 \implies (t-1)(t-2) = 0 \]\(t = 1 \implies 2^x = 1 \implies x = 0\)
\(t = 2 \implies 2^x = 2 \implies x = 1\)
Titik potong: (0, 0) dan (1, 0)
Soal 13.
Tentukan titik potong grafik \(y = 9^x – 4 \cdot 3^x + 3\) dengan sumbu-X.
Pembahasan:
Misalkan \(t = 3^x\), maka \(9^x = t^2\):
\[ t^2 – 4t + 3 = 0 \implies (t-1)(t-3) = 0 \]\(t = 1 \implies 3^x = 1 \implies x = 0\)
\(t = 3 \implies 3^x = 3 \implies x = 1\)
Titik potong: (0, 0) dan (1, 0)
Soal 14.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^{2x+1}\) dan \(y = 3 \cdot 2^x – 1\).
Pembahasan:
\(2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x} = 2 \cdot (2^x)^2\). Misalkan \(t = 2^x\):
\[ 2t^2 = 3t – 1 \implies 2t^2 – 3t + 1 = 0 \implies (2t-1)(t-1) = 0 \]\(t = 1 \implies x = 0\), \(y = 2^1 = 2\) → titik (0, 2)
\(t = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1\), \(y = 2^{-1} = \frac{1}{2}\) → titik \((-1, \frac{1}{2})\)
Soal 15.
Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x + 4^x\) dan \(y = 6\).
Pembahasan:
Misalkan \(t = 2^x\), maka \(4^x = t^2\):
\[ t + t^2 = 6 \implies t^2 + t – 6 = 0 \implies (t+3)(t-2) = 0 \]\(t = 2\) (karena \(t > 0\)) \(\implies 2^x = 2 \implies x = 1\)
Titik potong: (1, 6)
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Selamat mengerjakan!
Mudah
- Tentukan titik potong grafik \(y = 7^x\) dengan sumbu-Y.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 2^x – 2\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 5^x + 4\) dengan sumbu-Y.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 10^x – 10\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 6 \cdot 3^x\) dengan sumbu-Y.
Sedang
- Tentukan titik potong grafik \(y = 3^{x-2} – 1\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 2^{2x} – 4\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 5^x\) dan \(y = 25^{x-1}\).
- Tentukan titik potong grafik \(y = 8^x\) dan \(y = 4^{x+1}\).
- Tentukan titik potong grafik \(y = 2^{x+3}\) dengan sumbu-Y dan sumbu-X (jika ada).
Sulit
- Tentukan titik potong grafik \(y = 4^x – 5 \cdot 2^x + 4\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 9^x + 3^x – 6\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 2^{x+1} + 2^{1-x} – 4\) dengan sumbu-X.
- Tentukan titik potong grafik \(y = 3 \cdot 4^x – 5 \cdot 2^x + 2\) dengan sumbu-X.
- Tentukan semua titik potong grafik \(y = 2^x + 2^{2-x}\) dengan garis \(y = 5\).