Materi Matematika
Penerapan Fungsi Eksponen dalam Peluruhan
Pembahasan khusus tentang pengurangan atau penyusutan yang mengikuti pola eksponen, disusun runtut mulai dari materi, contoh soal, hingga latihan.
A. Materi: Peluruhan Eksponen
Peluruhan eksponen adalah proses berkurangnya suatu nilai secara berulang dengan persentase tetap pada setiap periode. Artinya, yang berkurang bukan jumlah yang sama, tetapi bagian tertentu dari nilai terakhir.
1. Bentuk Umum
A(t) = A₀(1 – r)t
Jika suatu benda menyusut 20% setiap tahun, maka faktor sisanya adalah 1 – 20% = 1 – 0,20 = 0,80. Jadi setiap tahun nilai benda menjadi 80% dari nilai tahun sebelumnya.
2. Ciri-Ciri Peluruhan Eksponen
- Nilai selalu berkurang dari waktu ke waktu.
- Persentase penurunan tetap.
- Faktor pengali berada di antara 0 dan 1.
- Grafiknya menurun melengkung, bukan garis lurus.
3. Contoh Situasi
- Penyusutan harga kendaraan.
- Peluruhan zat radioaktif.
- Berkurangnya kadar obat dalam tubuh.
- Penurunan jumlah bakteri setelah disterilkan.
- Berkurangnya nilai barang elektronik.
4. Tabel Peluruhan
Misalnya jumlah awal A₀ = 1000 dan menyusut 20% tiap periode.
| Periode t | Rumus | Hasil |
|---|---|---|
| 0 | 1000(0,8)⁰ | 1000 |
| 1 | 1000(0,8)¹ | 800 |
| 2 | 1000(0,8)² | 640 |
| 3 | 1000(0,8)³ | 512 |
| 4 | 1000(0,8)⁴ | 409,6 |
5. Grafik Peluruhan Eksponen
Grafik peluruhan eksponen turun cepat di awal, lalu semakin lama penurunannya tampak semakin lambat.
6. Kegiatan Pembelajaran
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut 15 contoh soal: 5 mudah, 5 sedang, dan 5 sulit. Semua contoh hanya membahas penerapan fungsi eksponen dalam peluruhan.
Contoh Soal Mudah
Contoh Soal Sedang
Contoh Soal Sulit
C. Latihan Soal Tanpa Pembahasan
Kerjakan secara mandiri. Gunakan rumus A(t) = A₀(1 – r)t.
5 Soal Mudah
- Harga sepeda Rp1.000.000 menyusut 10% per tahun. Berapa harganya setelah 1 tahun?
- Jumlah cairan 500 ml berkurang 20% tiap jam. Berapa sisa setelah 1 jam?
- Nilai barang Rp2.000.000 menyusut 25% sekali. Berapa nilai akhirnya?
- Sebuah zat 80 gram meluruh 50% tiap hari. Berapa sisa setelah 2 hari?
- Populasi hama 1000 ekor turun 30% setelah penyemprotan. Berapa yang tersisa?
5 Soal Sedang
- Mobil Rp180.000.000 menyusut 12% per tahun. Tentukan nilainya setelah 3 tahun.
- Kadar obat 250 mg berkurang 18% tiap jam. Berapa sisa setelah 4 jam?
- Jumlah bakteri 9000 berkurang 35% setiap proses sterilisasi. Berapa sisa setelah 3 proses?
- Sebuah mesin senilai Rp50.000.000 menyusut 8% per tahun. Tentukan nilai setelah 5 tahun.
- Zat radioaktif 600 gram memiliki faktor sisa 0,75 tiap jam. Berapa sisa setelah 6 jam?
5 Soal Sulit
- Suatu zat tinggal 40% setelah 5 jam. Jika awalnya 1200 gram, tentukan bentuk fungsi peluruhannya.
- Nilai aset Rp300.000.000 menjadi Rp180.000.000 setelah 4 tahun. Tentukan faktor peluruhan per tahun.
- Kadar obat mengikuti A(t)=500(0,82)t. Kapan kadar obat pertama kali kurang dari 200 mg?
- Populasi gulma 20.000 berkurang 15% tiap minggu. Tentukan minggu minimum agar tersisa kurang dari 8000.
- Sebuah bahan meluruh 6% per hari. Jika sisa harus di bawah 50% dari awal, tentukan hari minimum.
D. Ringkasan Penting
- Peluruhan eksponen terjadi jika nilai berkurang dengan persentase tetap setiap periode.
- Rumus utama: A(t) = A₀(1 – r)t.
- Faktor peluruhan adalah 1 – r, nilainya antara 0 dan 1.
- Grafik peluruhan eksponen menurun melengkung.
- Pangkat t menunjukkan banyaknya pengulangan proses peluruhan.