Penerapan Fungsi Eksponen dalam Kehidupan Nyata
Matematika – Materi Fungsi Eksponen
Pendahuluan
Fungsi eksponen adalah fungsi yang memiliki bentuk umum:
f(x) = a · bx
Dimana:
• a = nilai awal (konstanta, a ≠ 0)
• b = basis/bilangan pokok (b > 0, b ≠ 1)
• x = variabel (eksponen/pangkat)
Fungsi eksponen banyak diterapkan dalam kehidupan nyata, antara lain:
- Pertumbuhan populasi (bakteri, penduduk)
- Peluruhan radioaktif
- Bunga majemuk (compound interest)
- Penyusutan nilai barang (depresiasi)
- Penyebaran penyakit (epidemiologi)
- Pendinginan benda (Hukum Newton tentang Pendinginan)
Kegiatan 1: Mengamati
Amatilah tabel pertumbuhan bakteri berikut. Satu bakteri membelah menjadi dua setiap jam.
| Waktu (jam) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Jumlah Bakteri | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| Bentuk Eksponen | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Perhatikan bahwa jumlah bakteri mengikuti pola f(t) = 2t, dimana t = waktu dalam jam.
Grafik Pertumbuhan Bakteri f(t) = 2t
Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati, coba ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa jumlah bakteri bertambah semakin cepat seiring waktu?
- Bagaimana jika pertumbuhan bukan kelipatan 2, melainkan kelipatan 3?
- Apakah ada situasi di mana nilai berkurang secara eksponensial?
- Bagaimana menghitung jumlah bakteri pada jam ke-10 tanpa menghitung satu per satu?
- Di mana lagi kita jumpai pola pertumbuhan seperti ini dalam kehidupan sehari-hari?
Materi 1: Pertumbuhan Populasi
A. Konsep Dasar
Pertumbuhan populasi mengikuti model eksponensial ketika laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah populasi saat itu. Rumus yang digunakan:
P(t) = P0 · (1 + r)t
Keterangan:
• P(t) = populasi setelah waktu t
• P0 = populasi awal
• r = laju pertumbuhan (dalam desimal)
• t = waktu
Jika populasi berkurang (peluruhan), maka rumusnya:
P(t) = P0 · (1 − r)t
B. Ciri-ciri Pertumbuhan Eksponensial
- Pertumbuhan semakin cepat seiring waktu (bukan konstan)
- Grafik berbentuk kurva yang naik tajam
- Rasio perubahan antar periode selalu tetap (kelipatan konstan)
Kegiatan 3: Menalar
Perhatikan dua situasi berikut:
Situasi A: Penduduk kota bertambah 500 orang setiap tahun (pertumbuhan linear).
Situasi B: Penduduk kota bertambah 2% setiap tahun (pertumbuhan eksponensial).
Jika populasi awal = 10.000 orang, bandingkan hasilnya setelah 20 tahun:
| Tahun | Linear (A) | Eksponensial (B) |
|---|---|---|
| 0 | 10.000 | 10.000 |
| 5 | 12.500 | 11.041 |
| 10 | 15.000 | 12.190 |
| 15 | 17.500 | 13.459 |
| 20 | 20.000 | 14.859 |
| 50 | 35.000 | 26.916 |
| 100 | 60.000 | 72.446 |
Kesimpulan: Pada awalnya pertumbuhan linear terlihat lebih besar, tetapi pertumbuhan eksponensial akan menyalip karena sifatnya yang berlipat ganda.
Contoh Soal – Pertumbuhan Populasi
MUDAH
Contoh 1:
Sebuah koloni bakteri berjumlah 100 bakteri. Setiap jam jumlahnya menjadi 2 kali lipat. Berapa jumlah bakteri setelah 4 jam?
Lihat Pembahasan
Diketahui: P0 = 100, b = 2, t = 4
Rumus: P(t) = P0 · bt
P(4) = 100 · 24
P(4) = 100 · 16
P(4) = 1.600 bakteri
Contoh 2:
Populasi ikan di kolam berjumlah 50 ekor. Setiap bulan bertambah 10%. Berapa jumlah ikan setelah 3 bulan?
Lihat Pembahasan
Diketahui: P0 = 50, r = 10% = 0,1, t = 3
P(t) = P0 · (1 + r)t
P(3) = 50 · (1,1)3
P(3) = 50 · 1,331
P(3) = 66,55 ≈ 66 ekor
Contoh 3:
Suatu virus menggandakan dirinya setiap 2 jam. Jika awalnya ada 5 virus, berapa jumlahnya setelah 8 jam?
Lihat Pembahasan
Diketahui: P0 = 5, mengganda setiap 2 jam, t = 8 jam
Jumlah penggandaan = 8 ÷ 2 = 4 kali
P = 5 · 24 = 5 · 16
P = 80 virus
Contoh 4:
Populasi kelinci di suatu daerah berjumlah 200 ekor dan bertumbuh 5% per tahun. Berapa populasinya setelah 2 tahun?
Lihat Pembahasan
P(2) = 200 · (1,05)2
P(2) = 200 · 1,1025
P(2) = 220,5 ≈ 220 ekor
Contoh 5:
Sebuah kota memiliki 1.000.000 penduduk dengan pertumbuhan 1% per tahun. Berapa penduduknya setelah 1 tahun?
Lihat Pembahasan
P(1) = 1.000.000 · (1,01)1
P(1) = 1.000.000 · 1,01
P(1) = 1.010.000 penduduk
SEDANG
Contoh 6:
Populasi bakteri awalnya 500. Setiap 3 jam menjadi 3 kali lipat. Berapa jumlahnya setelah 12 jam?
Lihat Pembahasan
Diketahui: P0 = 500, menjadi 3× setiap 3 jam, t = 12 jam
Jumlah periode = 12 ÷ 3 = 4
P = 500 · 34 = 500 · 81
P = 40.500 bakteri
Contoh 7:
Penduduk suatu desa berjumlah 8.000 orang pada tahun 2020 dengan laju pertumbuhan 3% per tahun. Berapa penduduknya pada tahun 2025?
Lihat Pembahasan
P(5) = 8.000 · (1,03)5
(1,03)5 = 1,03 × 1,03 × 1,03 × 1,03 × 1,03 = 1,15927
P(5) = 8.000 · 1,15927
P(5) ≈ 9.274 orang
Contoh 8:
Populasi rusa di hutan berkurang 8% per tahun karena perburuan. Jika saat ini ada 1.200 ekor, berapa yang tersisa setelah 5 tahun?
Lihat Pembahasan
P(5) = 1.200 · (1 − 0,08)5
P(5) = 1.200 · (0,92)5
(0,92)5 = 0,6591
P(5) = 1.200 · 0,6591
P(5) ≈ 791 ekor
Contoh 9:
Jumlah sel kanker menjadi 1,5 kali lipat setiap minggu. Jika awalnya terdeteksi 1.000 sel, berapa jumlahnya setelah 6 minggu?
Lihat Pembahasan
P(6) = 1.000 · (1,5)6
(1,5)6 = 11,3906
P(6) ≈ 11.391 sel
Contoh 10:
Populasi lalat buah berjumlah 30 ekor. Populasinya bertambah 50% setiap 2 hari. Berapa jumlahnya setelah 10 hari?
Lihat Pembahasan
Jumlah periode = 10 ÷ 2 = 5
P = 30 · (1,5)5
(1,5)5 = 7,59375
P ≈ 228 ekor
SULIT
Contoh 11:
Populasi bakteri awalnya 200. Setelah 5 jam menjadi 6.400. Tentukan faktor pertumbuhannya per jam!
Lihat Pembahasan
P(t) = P0 · bt
6.400 = 200 · b5
b5 = 6.400 ÷ 200 = 32
b = 321/5 = (25)1/5 = 2
Faktor pertumbuhan = 2 (populasi berlipat dua setiap jam)
Contoh 12:
Populasi sebuah kota 500.000 pada tahun 2010 dan 650.000 pada tahun 2020. Tentukan laju pertumbuhan per tahun!
Lihat Pembahasan
650.000 = 500.000 · (1 + r)10
(1 + r)10 = 650.000 ÷ 500.000 = 1,3
1 + r = 1,31/10
1 + r = 1,30,1 ≈ 1,0266
r ≈ 0,0266
Laju pertumbuhan ≈ 2,66% per tahun
Contoh 13:
Berapa lama waktu yang dibutuhkan agar populasi 1.000 organisme menjadi 8.000, jika pertumbuhannya 20% per jam?
Lihat Pembahasan
8.000 = 1.000 · (1,2)t
(1,2)t = 8
Menggunakan logaritma: t · log(1,2) = log(8)
t = log(8) ÷ log(1,2)
t = 0,9031 ÷ 0,0792
t ≈ 11,4 jam
Contoh 14:
Dua koloni bakteri: A mulai dengan 100 dan berlipat 2 setiap jam, B mulai dengan 3.200 dan berlipat 1,5 setiap jam. Kapan jumlah A menyalip B?
Lihat Pembahasan
A(t) = 100 · 2t dan B(t) = 3.200 · 1,5t
Syarat A = B: 100 · 2t = 3.200 · 1,5t
2t / 1,5t = 32
(2/1,5)t = 32
(4/3)t = 32
t · log(4/3) = log(32)
t = log(32) ÷ log(1,333)
t = 1,5051 ÷ 0,1249
t ≈ 12,05 jam (A menyalip B setelah sekitar 12 jam)
Contoh 15:
Populasi awal suatu kota adalah P0. Setelah t tahun dengan laju r per tahun, populasinya menjadi 3P0. Jika r = 5%, tentukan nilai t!
Lihat Pembahasan
3P0 = P0 · (1,05)t
(1,05)t = 3
t · log(1,05) = log(3)
t = log(3) ÷ log(1,05)
t = 0,4771 ÷ 0,0212
t ≈ 22,5 tahun
Latihan Soal – Pertumbuhan Populasi
MUDAH
- Bakteri berjumlah 80. Berlipat dua setiap jam. Berapa jumlahnya setelah 5 jam?
- Populasi ikan 300 ekor, bertambah 20% per bulan. Hitung jumlahnya setelah 2 bulan.
- Koloni semut berjumlah 1.000 dan bertambah 3 kali lipat setiap minggu. Berapa setelah 3 minggu?
- Penduduk desa 5.000 orang, bertumbuh 2% per tahun. Berapa setelah 1 tahun?
- Virus berlipat 4 setiap hari. Awalnya 10 virus. Berapa setelah 3 hari?
SEDANG
- Populasi 2.000 hewan bertumbuh 6% per tahun. Berapa setelah 8 tahun?
- Bakteri awalnya 150, berlipat 2 setiap 4 jam. Berapa setelah 20 jam?
- Populasi berkurang 12% per tahun. Awalnya 10.000. Berapa setelah 4 tahun?
- Tanaman air berlipat 1,8 setiap minggu. Awalnya 40. Berapa setelah 5 minggu?
- Populasi kota 200.000, bertumbuh 1,5% per tahun. Berapa setelah 10 tahun?
SULIT
- Populasi bakteri dari 400 menjadi 51.200 dalam 7 jam. Tentukan faktor pertumbuhannya!
- Penduduk kota dari 120.000 menjadi 180.000 dalam 15 tahun. Berapa laju pertumbuhan per tahun?
- Berapa lama populasi 500 menjadi 10.000 jika bertumbuh 15% per periode?
- Koloni A: 50 bakteri berlipat 3/jam. Koloni B: 10.000 bakteri berlipat 1,2/jam. Kapan A menyalip B?
- Populasi awal P0 menjadi 5P0 dengan laju 8% per tahun. Tentukan waktu yang dibutuhkan!
Materi 2: Bunga Majemuk (Compound Interest)
A. Konsep Dasar
Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung dari modal pokok ditambah bunga yang telah terkumpul sebelumnya. Inilah yang membedakannya dari bunga tunggal.
A = P · (1 + rn)n·t
Keterangan:
• A = jumlah akhir (modal + bunga)
• P = modal awal (principal)
• r = suku bunga tahunan (desimal)
• n = frekuensi pembungaan per tahun
• t = waktu dalam tahun
Jika bunga dihitung setahun sekali (n = 1), rumus menjadi lebih sederhana:
A = P · (1 + r)t
B. Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
| Aspek | Bunga Tunggal | Bunga Majemuk |
|---|---|---|
| Perhitungan | Dari modal pokok saja | Dari modal + bunga sebelumnya |
| Rumus | A = P(1 + rt) | A = P(1 + r)t |
| Pertumbuhan | Linear | Eksponensial |
| Grafik | Garis lurus | Kurva naik |
Kegiatan 4: Mencoba
Hitunglah sendiri! Kamu menabung Rp1.000.000 dengan bunga 6% per tahun. Lengkapi tabel berikut:
| Tahun | Bunga Tunggal | Bunga Majemuk | Selisih |
|---|---|---|---|
| 1 | Rp1.060.000 | Rp1.060.000 | Rp0 |
| 2 | Rp1.120.000 | Rp1.123.600 | Rp3.600 |
| 5 | Rp1.300.000 | Rp1.338.226 | Rp38.226 |
| 10 | Rp1.600.000 | Rp1.790.848 | Rp190.848 |
| 20 | Rp2.200.000 | Rp3.207.135 | Rp1.007.135 |
Perhatikan: Selisih semakin besar seiring waktu. Inilah kekuatan bunga majemuk!
Contoh Soal – Bunga Majemuk
MUDAH
Contoh 1:
Andi menabung Rp2.000.000 dengan bunga majemuk 5% per tahun. Berapa tabungannya setelah 3 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 2.000.000 · (1,05)3
A = 2.000.000 · 1,157625
A = Rp2.315.250
Contoh 2:
Modal Rp5.000.000, bunga 10% per tahun. Berapa setelah 2 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 5.000.000 · (1,1)2 = 5.000.000 · 1,21
A = Rp6.050.000
Contoh 3:
Rp1.000.000 ditabung dengan bunga 8% per tahun selama 1 tahun. Berapa bunga yang diperoleh?
Lihat Pembahasan
A = 1.000.000 · (1,08)1 = 1.080.000
Bunga = 1.080.000 − 1.000.000
Bunga = Rp80.000
Contoh 4:
Tabungan Rp3.000.000, bunga 4% per tahun. Berapa total setelah 4 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 3.000.000 · (1,04)4 = 3.000.000 · 1,16986
A ≈ Rp3.509.580
Contoh 5:
Investasi Rp10.000.000 dengan bunga 6% per tahun. Berapa nilainya setelah 2 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 10.000.000 · (1,06)2 = 10.000.000 · 1,1236
A = Rp11.236.000
SEDANG
Contoh 6:
Rp4.000.000 ditabung dengan bunga 12% per tahun yang dibungakan setiap 3 bulan (triwulan). Berapa setelah 2 tahun?
Lihat Pembahasan
r = 12% = 0,12; n = 4 (triwulan); t = 2
A = 4.000.000 · (1 + 0,12/4)4×2
A = 4.000.000 · (1,03)8
(1,03)8 = 1,26677
A ≈ Rp5.067.080
Contoh 7:
Budi meminjam Rp8.000.000 dengan bunga majemuk 15% per tahun. Berapa total yang harus dibayar setelah 3 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 8.000.000 · (1,15)3
(1,15)3 = 1,520875
A ≈ Rp12.167.000
Contoh 8:
Rp6.000.000 diinvestasikan dengan bunga 9% per tahun dibungakan bulanan. Berapa setelah 1 tahun?
Lihat Pembahasan
A = 6.000.000 · (1 + 0,09/12)12×1
A = 6.000.000 · (1,0075)12
(1,0075)12 = 1,09381
A ≈ Rp6.562.860
Contoh 9:
Berapa bunga yang diperoleh dari tabungan Rp20.000.000 dengan bunga 7% per tahun selama 5 tahun (bunga majemuk tahunan)?
Lihat Pembahasan
A = 20.000.000 · (1,07)5 = 20.000.000 · 1,40255
A = Rp28.051.000
Bunga = 28.051.000 − 20.000.000
Bunga ≈ Rp8.051.000
Contoh 10:
Dua bank menawarkan: Bank A bunga 10% per tahun (tahunan), Bank B bunga 9,5% per tahun (bulanan). Mana yang lebih menguntungkan untuk tabungan Rp10.000.000 selama 3 tahun?
Lihat Pembahasan
Bank A: A = 10.000.000 · (1,1)3 = 10.000.000 · 1,331 = Rp13.310.000
Bank B: A = 10.000.000 · (1 + 0,095/12)36
= 10.000.000 · (1,00792)36 = 10.000.000 · 1,3295 = Rp13.295.000
Bank A sedikit lebih menguntungkan (selisih Rp15.000)
SULIT
Contoh 11:
Berapa modal awal yang harus ditabung agar setelah 10 tahun menjadi Rp50.000.000 dengan bunga 8% per tahun?
Lihat Pembahasan
50.000.000 = P · (1,08)10
P = 50.000.000 ÷ (1,08)10
(1,08)10 = 2,15892
P ≈ Rp23.159.500
Contoh 12:
Berapa lama Rp5.000.000 menjadi Rp10.000.000 dengan bunga 6% per tahun (bunga majemuk)?
Lihat Pembahasan
10.000.000 = 5.000.000 · (1,06)t
(1,06)t = 2
t = log(2) ÷ log(1,06)
t = 0,3010 ÷ 0,0253
t ≈ 11,9 tahun (sekitar 12 tahun)
Contoh 13:
Tabungan Rp15.000.000 menjadi Rp21.000.000 dalam 4 tahun. Berapa suku bunga per tahun?
Lihat Pembahasan
21.000.000 = 15.000.000 · (1 + r)4
(1 + r)4 = 1,4
1 + r = 1,41/4 = 1,40,25 ≈ 1,0878
r ≈ 0,0878 = 8,78% per tahun
Contoh 14:
Rp10.000.000 ditabung dengan bunga 10% per tahun dibungakan per semester. Berapa lama agar menjadi Rp20.000.000?
Lihat Pembahasan
20.000.000 = 10.000.000 · (1 + 0,1/2)2t
2 = (1,05)2t
2t · log(1,05) = log(2)
2t = 0,3010 ÷ 0,02119 = 14,21
t ≈ 7,1 tahun
Contoh 15:
Seorang investor menanamkan Rp100.000.000 dengan bunga 12% per tahun dibungakan bulanan. Berapa nilai investasinya setelah 5 tahun? Bandingkan jika bunga dibungakan tahunan!
Lihat Pembahasan
Bulanan: A = 100.000.000 · (1 + 0,12/12)60
= 100.000.000 · (1,01)60 = 100.000.000 · 1,8167
= Rp181.670.000
Tahunan: A = 100.000.000 · (1,12)5
= 100.000.000 · 1,7623 = Rp176.230.000
Selisih = Rp5.440.000 (bulanan lebih menguntungkan)
Latihan Soal – Bunga Majemuk
MUDAH
- Tabungan Rp4.000.000, bunga 5% per tahun. Berapa setelah 3 tahun?
- Modal Rp7.500.000, bunga 8% per tahun. Berapa setelah 2 tahun?
- Rp1.500.000 ditabung, bunga 6% per tahun. Berapa bunga setelah 1 tahun?
- Investasi Rp12.000.000, bunga 4% per tahun, selama 2 tahun. Berapa hasilnya?
- Pinjaman Rp3.000.000 dengan bunga 10% per tahun. Berapa yang harus dikembalikan setelah 2 tahun?
SEDANG
- Rp8.000.000, bunga 12% per tahun dibungakan triwulan. Berapa setelah 3 tahun?
- Rp15.000.000, bunga 9% per tahun dibungakan bulanan. Berapa setelah 2 tahun?
- Berapa bunga yang diperoleh dari Rp25.000.000 dengan bunga 7% per tahun selama 6 tahun?
- Bank X: bunga 11% tahunan. Bank Y: bunga 10,5% dibungakan semester. Mana lebih untung untuk 4 tahun?
- Tabungan Rp5.000.000 dengan bunga 8% dibungakan bulanan. Berapa setelah 18 bulan?
SULIT
- Berapa modal yang harus ditabung agar menjadi Rp100.000.000 setelah 15 tahun dengan bunga 7% per tahun?
- Berapa lama Rp20.000.000 menjadi Rp60.000.000 dengan bunga 9% per tahun?
- Tabungan dari Rp8.000.000 menjadi Rp12.500.000 dalam 5 tahun. Berapa suku bunganya?
- Rp50.000.000, bunga 10% dibungakan semester. Berapa lama agar menjadi Rp80.000.000?
- Bandingkan hasil akhir Rp30.000.000: (a) bunga 8% tahunan selama 10 tahun, (b) bunga 7,5% bulanan selama 10 tahun.
Materi 3: Peluruhan dan Penyusutan (Depresiasi)
A. Konsep Dasar
Peluruhan eksponensial terjadi ketika suatu nilai berkurang dengan persentase tetap setiap periode. Contohnya: penyusutan harga kendaraan, peluruhan radioaktif, dan berkurangnya obat dalam tubuh.
N(t) = N0 · (1 − r)t
Keterangan:
• N(t) = nilai setelah waktu t
• N0 = nilai awal
• r = laju peluruhan/penyusutan (desimal)
• t = waktu
B. Waktu Paruh (Half-Life)
Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan agar suatu zat berkurang menjadi setengahnya.
N(t) = N0 · (½)t/T
Dimana T = waktu paruh
Grafik Peluruhan Eksponensial (Waktu Paruh)
Contoh Soal – Peluruhan/Penyusutan
MUDAH
Contoh 1:
Harga sebuah motor Rp20.000.000 dan menyusut 10% per tahun. Berapa harganya setelah 2 tahun?
Lihat Pembahasan
N(2) = 20.000.000 · (1 − 0,1)2
= 20.000.000 · (0,9)2 = 20.000.000 · 0,81
= Rp16.200.000
Contoh 2:
Zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 tahun. Jika massa awal 100 gram, berapa yang tersisa setelah 10 tahun?
Lihat Pembahasan
N(10) = 100 · (½)10/5 = 100 · (½)2
= 100 · 0,25
= 25 gram
Contoh 3:
Laptop seharga Rp12.000.000 menyusut 20% per tahun. Berapa nilainya setelah 1 tahun?
Lihat Pembahasan
N(1) = 12.000.000 · (0,8)1
= Rp9.600.000
Contoh 4:
Obat dalam tubuh berkurang 25% setiap jam. Jika dosis awal 400 mg, berapa yang tersisa setelah 3 jam?
Lihat Pembahasan
N(3) = 400 · (0,75)3 = 400 · 0,4219
≈ 168,75 mg
Contoh 5:
Suhu kopi berkurang 15% dari selisih suhu setiap 5 menit. Awalnya selisih suhu dengan ruangan 60°C. Berapa selisihnya setelah 5 menit?
Lihat Pembahasan
Selisih(1 periode) = 60 · (0,85)1
= 51°C
SEDANG
Contoh 6:
Mobil seharga Rp250.000.000 menyusut 15% per tahun. Berapa nilainya setelah 5 tahun?
Lihat Pembahasan
N(5) = 250.000.000 · (0,85)5
(0,85)5 = 0,4437
N(5) ≈ Rp110.925.000
Contoh 7:
Zat radioaktif Karbon-14 memiliki waktu paruh 5.730 tahun. Jika sampel awal 80 gram, berapa yang tersisa setelah 17.190 tahun?
Lihat Pembahasan
N = 80 · (½)17.190/5.730 = 80 · (½)3
= 80 · 1/8
= 10 gram
Contoh 8:
Harga mesin Rp80.000.000 menyusut 12% per tahun. Kapan nilainya menjadi di bawah Rp40.000.000?
Lihat Pembahasan
40.000.000 = 80.000.000 · (0,88)t
(0,88)t = 0,5
t = log(0,5) ÷ log(0,88)
t = (−0,3010) ÷ (−0,0555) ≈ 5,42
Setelah sekitar 5,5 tahun (pada tahun ke-6)
Contoh 9:
Kafein dalam tubuh berkurang dengan waktu paruh 5 jam. Jika seseorang minum kopi mengandung 200 mg kafein, berapa yang tersisa setelah 15 jam?
Lihat Pembahasan
N = 200 · (½)15/5 = 200 · (½)3
= 200 · 1/8
= 25 mg
Contoh 10:
Peralatan kantor seharga Rp45.000.000 menyusut 18% per tahun. Berapa total penyusutan selama 4 tahun?
Lihat Pembahasan
N(4) = 45.000.000 · (0,82)4 = 45.000.000 · 0,4521
N(4) = Rp20.344.500
Penyusutan = 45.000.000 − 20.344.500
= Rp24.655.500
SULIT
Contoh 11:
Harga mobil turun dari Rp300.000.000 menjadi Rp150.000.000 dalam 4 tahun. Berapa laju penyusutan per tahun?
Lihat Pembahasan
150.000.000 = 300.000.000 · (1 − r)4
(1 − r)4 = 0,5
1 − r = 0,50,25 = 0,8409
r = 1 − 0,8409
r ≈ 0,159 = 15,9% per tahun
Contoh 12:
Suatu isotop radioaktif memiliki massa 64 gram. Setelah 24 jam tersisa 4 gram. Tentukan waktu paruhnya!
Lihat Pembahasan
4 = 64 · (½)24/T
(½)24/T = 4/64 = 1/16 = (½)4
24/T = 4
T = 6 jam
Contoh 13:
Obat dalam darah berkurang 30% per jam. Dosis minimum efektif adalah 50 mg. Jika dosis awal 500 mg, berapa lama obat masih efektif?
Lihat Pembahasan
50 = 500 · (0,7)t
(0,7)t = 0,1
t = log(0,1) ÷ log(0,7)
t = (−1) ÷ (−0,1549) ≈ 6,46
Obat efektif selama sekitar 6,5 jam
Contoh 14:
Dua mesin: Mesin A seharga Rp100 juta menyusut 10%/tahun, Mesin B seharga Rp80 juta menyusut 8%/tahun. Kapan nilai keduanya sama?
Lihat Pembahasan
100 · (0,9)t = 80 · (0,92)t
(0,9/0,92)t = 80/100 = 0,8
(0,9783)t = 0,8
t = log(0,8) ÷ log(0,9783)
t = (−0,0969) ÷ (−0,00952) ≈ 10,18
Setelah sekitar 10,2 tahun
Contoh 15:
Populasi radioaktif awalnya 1.000 atom. Waktu paruhnya 8 hari. Berapa atom yang meluruh setelah 24 hari? Dan berapa laju peluruhan per hari?
Lihat Pembahasan
Sisa: N = 1.000 · (½)24/8 = 1.000 · (½)3 = 125 atom
Yang meluruh = 1.000 − 125 = 875 atom
Laju per hari: (½)1/8 = 0,9170
Laju peluruhan = 1 − 0,9170 = 8,3% per hari
Latihan Soal – Peluruhan/Penyusutan
MUDAH
- Harga HP Rp8.000.000 menyusut 15% per tahun. Berapa setelah 2 tahun?
- Zat radioaktif 200 gram, waktu paruh 4 jam. Berapa sisanya setelah 12 jam?
- Sepeda motor Rp18.000.000 menyusut 12% per tahun. Berapa setelah 1 tahun?
- Obat 300 mg berkurang 20% per jam. Berapa setelah 2 jam?
- Suhu air panas berkurang 10% dari selisih suhu setiap menit. Selisih awal 80°C. Berapa setelah 3 menit?
SEDANG
- Mesin Rp120.000.000 menyusut 14% per tahun. Berapa setelah 6 tahun?
- Isotop 500 gram, waktu paruh 3 tahun. Berapa setelah 9 tahun?
- Kapan harga gedung Rp500.000.000 (penyusutan 8%/tahun) menjadi di bawah Rp250.000.000?
- Kafein 300 mg, waktu paruh 6 jam. Berapa setelah 18 jam?
- Berapa total penyusutan mobil Rp350.000.000 (penyusutan 13%/tahun) selama 5 tahun?
SULIT
- Harga alat turun dari Rp60.000.000 menjadi Rp25.000.000 dalam 5 tahun. Tentukan laju penyusutannya!
- Isotop: massa awal 256 gram, setelah 20 jam tersisa 16 gram. Tentukan waktu paruhnya!
- Obat berkurang 35%/jam. Dosis awal 800 mg, dosis minimum 30 mg. Berapa lama obat masih efektif?
- Mesin P: Rp200 juta menyusut 11%/tahun. Mesin Q: Rp160 juta menyusut 7%/tahun. Kapan nilainya sama?
- Zat radioaktif memiliki waktu paruh 10 hari. Berapa persen yang tersisa setelah 25 hari?
Materi 4: Penyebaran Penyakit (Model Eksponensial Sederhana)
A. Konsep Dasar
Pada tahap awal penyebaran penyakit menular, jumlah orang yang terinfeksi dapat dimodelkan secara eksponensial:
I(t) = I0 · Rt
Keterangan:
• I(t) = jumlah orang terinfeksi pada waktu t
• I0 = jumlah terinfeksi awal
• R = angka reproduksi (berapa orang yang ditulari 1 orang sakit per periode)
• t = jumlah periode penularan
Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Buatlah presentasi singkat (bisa lisan atau tertulis) yang menjelaskan:
- Mengapa social distancing efektif menurunkan penyebaran penyakit? (Hint: menurunkan nilai R)
- Jika R = 2, setiap 1 orang menulari 2 orang. Dalam 10 periode, berapa orang baru yang terinfeksi?
- Apa yang terjadi jika R < 1? Jelaskan artinya dan berikan contoh nyata.
Tips: Gunakan tabel atau grafik untuk memperjelas penjelasanmu. Bandingkan skenario R = 3 vs R = 1,5 vs R = 0,8.
Contoh Soal – Penyebaran Penyakit
MUDAH
Contoh 1:
5 orang terinfeksi flu. Setiap hari masing-masing menulari 2 orang baru. Berapa total terinfeksi setelah 3 hari?
Lihat Pembahasan
I(3) = 5 · 23 = 5 · 8 = 40 orang
Contoh 2:
1 orang terinfeksi virus. R = 3 per hari. Berapa terinfeksi setelah 4 hari?
Lihat Pembahasan
I(4) = 1 · 34 = 81 orang
Contoh 3:
10 orang sakit, masing-masing menulari 1,5 orang per minggu. Berapa setelah 2 minggu?
Lihat Pembahasan
I(2) = 10 · (1,5)2 = 10 · 2,25 = 22,5 ≈ 23 orang
Contoh 4:
Penyakit dengan R = 2. Dari 3 orang awal, berapa setelah 5 periode?
Lihat Pembahasan
I(5) = 3 · 25 = 3 · 32 = 96 orang
Contoh 5:
Virus menyebar dengan R = 4 per minggu. Awalnya 2 orang. Berapa setelah 3 minggu?
Lihat Pembahasan
I(3) = 2 · 43 = 2 · 64 = 128 orang
SEDANG
Contoh 6:
Wabah dimulai dari 20 orang. R = 1,8 per hari. Berapa terinfeksi setelah 1 minggu (7 hari)?
Lihat Pembahasan
I(7) = 20 · (1,8)7
(1,8)7 = 61,2 (pembulatan)
I(7) ≈ 1.224 orang
Contoh 7:
Setelah vaksinasi, R turun dari 3 menjadi 0,7. Dari 1.000 orang terinfeksi, berapa yang tersisa setelah 5 periode?
Lihat Pembahasan
I(5) = 1.000 · (0,7)5 = 1.000 · 0,16807
I(5) ≈ 168 orang (penyakit mereda karena R < 1)
Contoh 8:
Tanpa karantina: R = 2,5. Dengan karantina: R = 1,2. Dari 10 kasus awal, bandingkan hasilnya setelah 6 hari!
Lihat Pembahasan
Tanpa karantina: I = 10 · (2,5)6 = 10 · 244,14 ≈ 2.441 orang
Dengan karantina: I = 10 · (1,2)6 = 10 · 2,986 ≈ 30 orang
Karantina mengurangi penyebaran secara drastis!
Contoh 9:
Penyakit menyebar dari 50 orang dengan R = 1,4 per hari. Kapan jumlah terinfeksi mencapai 500?
Lihat Pembahasan
500 = 50 · (1,4)t
(1,4)t = 10
t = log(10) ÷ log(1,4) = 1 ÷ 0,1461 ≈ 6,8 hari
Contoh 10:
Virus A: R = 2, mulai dari 5 orang. Virus B: R = 1,5, mulai dari 100 orang. Kapan jumlah terinfeksi virus A menyalip virus B?
Lihat Pembahasan
5 · 2t = 100 · (1,5)t
(2/1,5)t = 20
(4/3)t = 20
t = log(20) ÷ log(4/3) = 1,3010 ÷ 0,1249 ≈ 10,4 hari
SULIT
Contoh 11:
Dari 8 kasus awal, setelah 4 hari menjadi 648 kasus. Tentukan nilai R!
Lihat Pembahasan
648 = 8 · R4
R4 = 81
R = 811/4 = (34)1/4 = 3
Contoh 12:
Pemerintah ingin agar R turun dari 2,5 menjadi cukup rendah sehingga 1.000 kasus tidak menjadi lebih dari 2.000 dalam 7 hari. Berapa R maksimum yang diperbolehkan?
Lihat Pembahasan
2.000 = 1.000 · R7
R7 = 2
R = 21/7 ≈ 1,104
R harus di bawah 1,104 agar target tercapai.
Contoh 13:
Dua kota: Kota A memiliki 50 kasus dengan R = 2,2. Kota B memiliki 200 kasus dengan R = 1,3. Kapan jumlah kasus di A melebihi B?
Lihat Pembahasan
50 · (2,2)t = 200 · (1,3)t
(2,2/1,3)t = 4
(1,692)t = 4
t = log(4) ÷ log(1,692) = 0,6021 ÷ 0,2284 ≈ 2,64 hari
Contoh 14:
Sebuah penyakit memiliki R = 2,8. Vaksin menurunkan R sebesar 60%. Dari 100 kasus, bandingkan total terinfeksi setelah 10 hari tanpa dan dengan vaksin!
Lihat Pembahasan
R tanpa vaksin = 2,8; R dengan vaksin = 2,8 × 0,4 = 1,12
Tanpa: I = 100 · (2,8)10 = 100 · 296.196 ≈ 29.619.600
Dengan: I = 100 · (1,12)10 = 100 · 3,1058 ≈ 311 orang
Vaksin mengurangi penyebaran lebih dari 95.000 kali lipat!
Contoh 15:
Model penyebaran: I(t) = 15 · e0,3t (model kontinu, e ≈ 2,718). Berapa orang terinfeksi setelah 10 hari? Kapan mencapai 10.000?
Lihat Pembahasan
I(10) = 15 · e3 = 15 · 20,086 ≈ 301 orang
Untuk I = 10.000:
10.000 = 15 · e0,3t
e0,3t = 666,67
0,3t = ln(666,67) = 6,502
t ≈ 21,7 hari
Latihan Soal – Penyebaran Penyakit
MUDAH
- 3 orang terinfeksi, R = 2 per hari. Berapa setelah 4 hari?
- 1 orang sakit, menulari 5 orang per minggu. Berapa setelah 3 minggu?
- 15 kasus awal, R = 1,5. Berapa setelah 4 periode?
- R = 3, awalnya 4 orang. Berapa setelah 3 hari?
- 6 orang terinfeksi, R = 2. Berapa setelah 6 periode?
SEDANG
- 30 kasus, R = 1,6. Berapa setelah 8 hari?
- Tanpa masker R = 2,4; dengan masker R = 1,1. Dari 20 kasus, bandingkan setelah 5 hari!
- Kapan 25 kasus menjadi 1.000 jika R = 1,8 per hari?
- Penyakit dengan R = 0,6 (setelah vaksinasi). Dari 500 kasus, berapa setelah 7 periode?
- Virus X: 10 kasus, R = 2,5. Virus Y: 80 kasus, R = 1,4. Kapan X menyalip Y?
SULIT
- Dari 12 kasus menjadi 972 dalam 3 hari. Tentukan R!
- Target: 500 kasus tidak boleh lebih dari 1.500 dalam 10 hari. Berapa R maksimum?
- Kota P: 30 kasus, R = 2,8. Kota Q: 500 kasus, R = 1,1. Kapan P menyalip Q?
- R = 3,2. Lockdown menurunkan R sebesar 70%. Dari 200 kasus, bandingkan setelah 8 hari!
- I(t) = 20 · e0,25t. Berapa setelah 12 hari? Kapan mencapai 50.000?
Rangkuman
| Penerapan | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| Pertumbuhan | P(t) = P0 · (1+r)t | b > 1, grafik naik |
| Bunga Majemuk | A = P · (1+r/n)nt | n = frekuensi pembungaan |
| Peluruhan/Penyusutan | N(t) = N0 · (1−r)t | 0 < b < 1, grafik turun |
| Waktu Paruh | N(t) = N0 · (½)t/T | T = waktu paruh |
| Penyebaran Penyakit | I(t) = I0 · Rt | R = angka reproduksi |
Poin Penting:
- Jika basis b > 1 → pertumbuhan (grafik naik tajam)
- Jika basis 0 < b < 1 → peluruhan (grafik turun)
- Logaritma digunakan untuk mencari waktu (t) atau laju (r)
- Semakin sering bunga dibungakan, semakin besar hasilnya
- Menurunkan nilai R (angka reproduksi) sangat efektif mengendalikan wabah