Penerapan Eksponen dalam Kehidupan Sehari-hari

Penerapan Eksponen (Bilangan Berpangkat) dalam Kehidupan Sehari-hari

Materi Matematika — Lengkap dengan Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Eksponen & Sifat-sifatnya

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan perkalian berulang berikut:

2 \times 2 \times 2 = 8 \to dapat ditulis sebagai 2 3 = 8 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \to dapat ditulis sebagai 5 4 = 625 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100.000 \to dapat ditulis sebagai 10 5 = 100.000

Dari contoh di atas, bilangan berpangkat (eksponen) merupakan cara singkat menuliskan perkalian berulang dari bilangan yang sama.

❓ Kegiatan: Menanya

Apa yang dimaksud dengan bilangan pokok (basis) dan pangkat (eksponen)?
Bagaimana sifat-sifat operasi eksponen?
Di mana saja eksponen digunakan dalam kehidupan sehari-hari?

💡 Kegiatan: Menalar

Definisi: Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka:

a n = a \times a \times a \times \dots \times a (sebanyak n faktor)

Keterangan:

a = bilangan pokok (basis)
n = pangkat (eksponen)
an = hasil perpangkatan

Sifat-sifat Eksponen:

No	Sifat	Rumus	Contoh
1	Perkalian basis sama	am × an = am+n	23 × 24 = 27 = 128
2	Pembagian basis sama	am ÷ an = am−n	56 ÷ 52 = 54 = 625
3	Pangkat dari pangkat	(am)n = am×n	(32)3 = 36 = 729
4	Pangkat nol	a0 = 1 (a ≠ 0)	70 = 1
5	Pangkat negatif	a−n = 1/an	2−3 = 1/8

✏️ Kegiatan: Mencoba

Cobalah hitung:

34 = ?
106 = ?
25 × 23 = ?
(42)3 = ?

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan temanmu: Mengapa eksponen sangat berguna? Bayangkan jika kita harus menulis 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 setiap kali. Dengan eksponen, cukup ditulis 1012. Jelaskan situasi lain di sekitarmu yang melibatkan bilangan sangat besar atau sangat kecil.

📝 Contoh Soal — Sifat Eksponen

Soal Mudah (1–10)

1. Hitunglah 25

Pembahasan: 25 = 2×2×2×2×2 = 32

2. Hitunglah 33

Pembahasan: 33 = 3×3×3 = 27

3. Hitunglah 104

Pembahasan: 104 = 10.000

4. Sederhanakan 42 × 43

Pembahasan: 42+3 = 45 = 1.024

5. Sederhanakan 57 ÷ 54

Pembahasan: 57−4 = 53 = 125

6. Hitunglah 60

Pembahasan: Setiap bilangan (≠0) berpangkat 0 = 1. Jadi 60 = 1

7. Hitunglah 2−2

Pembahasan: 2−2 = 1/22 = 1/4 = 0,25

8. Sederhanakan (23)2

Pembahasan: (23)2 = 23×2 = 26 = 64

9. Hitunglah 72

Pembahasan: 72 = 7×7 = 49

10. Sederhanakan 34 × 30

Pembahasan: 34 × 1 = 34 = 81

Soal Sedang (11–15)

11. Sederhanakan (24 × 2−1) ÷ 22

Pembahasan: 24+(−1) ÷ 22 = 23 ÷ 22 = 21 = 2

12. Jika 2x = 64, tentukan x

Pembahasan: 64 = 26, maka x = 6

13. Sederhanakan (32)4 ÷ 35

Pembahasan: 38 ÷ 35 = 33 = 27

14. Hitunglah 5−3 × 55

Pembahasan: 5−3+5 = 52 = 25

15. Sederhanakan (103)2 × 10−4

Pembahasan: 106 × 10−4 = 102 = 100

Soal Sulit (16–20)

16. Sederhanakan: (23 × 42) ÷ 82

Pembahasan: Ubah ke basis 2: 42 = (22)2 = 24, 82 = (23)2 = 26. Maka: 23 × 24 ÷ 26 = 27−6 = 21 = 2

17. Jika 9x = 27, tentukan x

Pembahasan: 9 = 32, 27 = 33. Maka (32)x = 33 → 32x = 33 → 2x = 3 → x = 3/2 = 1,5

18. Sederhanakan: (272 × 3−3) ÷ 92

Pembahasan: 27 = 33 → 272 = 36. 9 = 32 → 92 = 34. Maka: 36 × 3−3 ÷ 34 = 36−3−4 = 3−1 = 1/3

19. Buktikan bahwa 4n + 4n + 4n + 4n = 4n+1

Pembahasan: 4n + 4n + 4n + 4n = 4 × 4n = 41 × 4n = 4n+1 (terbukti)

20. Jika 2a = 5, tentukan nilai 4a + 2−a

Pembahasan: 4a = (22)a = 22a = (2a)2 = 52 = 25. 2−a = 1/2a = 1/5. Jadi 25 + 1/5 = 25,2

🏋️ Latihan Soal — Sifat Eksponen

Mudah

1. Hitunglah 43

2. Hitunglah 54

3. Sederhanakan 63 × 62

4. Sederhanakan 85 ÷ 83

5. Hitunglah 90

6. Hitunglah 103

7. Sederhanakan (52)3

8. Hitunglah 3−1

9. Sederhanakan 74 × 7−2

10. Hitunglah 112

Sedang

11. Sederhanakan (3−2 × 35) ÷ 32

12. Jika 5x = 125, tentukan x

13. Sederhanakan (43)2 ÷ 44

14. Hitunglah 2−4 × 27

15. Jika 3x = 81, berapakah 3x+1?

Sulit

16. Sederhanakan (162 × 2−3) ÷ 43

17. Jika 8x = 32, tentukan x

18. Buktikan 3n + 3n + 3n = 3n+1

19. Jika 3a = 7, tentukan 9a − 3−a

20. Sederhanakan (1252 × 5−4) ÷ 252

2. Penerapan Eksponen: Pertumbuhan Penduduk

🔍 Kegiatan: Mengamati

Populasi suatu kota tumbuh 5% per tahun. Jika saat ini berjumlah 100.000 jiwa, setelah beberapa tahun populasinya menjadi:

Tahun ke-	Perhitungan	Populasi
0	100.000	100.000
1	100.000 × 1,05	105.000
2	100.000 × (1,05)2	110.250
3	100.000 × (1,05)3	115.763
n	100.000 × (1,05)n	—

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana rumus umum pertumbuhan eksponensial?
Mengapa menggunakan pangkat, bukan penjumlahan berulang?

💡 Kegiatan: Menalar

Rumus Pertumbuhan Eksponensial:

P(t) = P 0 \times (1 + r) t

Keterangan:

P(t) = populasi setelah t periode
P₀ = populasi awal
r = laju pertumbuhan (dalam desimal)
t = jumlah periode (tahun, bulan, dll)

Rumus ini menggunakan eksponen karena pertumbuhan bersifat berlipat ganda — setiap periode, yang bertambah bukan angka tetap, melainkan persentase dari jumlah saat itu.

✏️ Kegiatan: Mencoba

Sebuah kota berpenduduk 200.000 jiwa dengan pertumbuhan 3% per tahun. Hitunglah populasi setelah 5 tahun.

P(5) = 200.000 \times (1,03) 5 = 200.000 \times 1,1593 \approx 231.855 jiwa

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada temanmu mengapa pertumbuhan 3% per tahun selama 10 tahun TIDAK sama dengan pertumbuhan 30%. Gunakan perhitungan eksponen untuk membuktikannya.

📝 Contoh Soal — Pertumbuhan Penduduk

Soal Mudah (1–10)

1. Populasi awal 50.000, pertumbuhan 2%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: P = 50.000 × (1,02)1 = 50.000 × 1,02 = 51.000

2. Populasi awal 80.000, pertumbuhan 5%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

Pembahasan: P = 80.000 × (1,05)2 = 80.000 × 1,1025 = 88.200

3. Populasi awal 10.000, pertumbuhan 10%/tahun. Berapa setelah 3 tahun?

Pembahasan: P = 10.000 × (1,1)3 = 10.000 × 1,331 = 13.310

4. Populasi awal 1.000.000, pertumbuhan 1%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: P = 1.000.000 × 1,01 = 1.010.000

5. Bakteri awal 500, berlipat ganda tiap jam. Berapa setelah 4 jam?

Pembahasan: P = 500 × 24 = 500 × 16 = 8.000

6. Populasi awal 200.000, pertumbuhan 4%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: P = 200.000 × 1,04 = 208.000

7. Bakteri awal 100, berlipat 3 tiap jam. Berapa setelah 3 jam?

Pembahasan: P = 100 × 33 = 100 × 27 = 2.700

8. Populasi 40.000, pertumbuhan 6%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

Pembahasan: P = 40.000 × (1,06)2 = 40.000 × 1,1236 = 44.944

9. Populasi awal 500.000, pertumbuhan 2%/tahun. Berapa setelah 3 tahun?

Pembahasan: P = 500.000 × (1,02)3 = 500.000 × 1,0612 = 530.604

10. Amuba awal 1, membelah jadi 2 tiap 30 menit. Berapa setelah 5 jam (10 kali belah)?

Pembahasan: P = 1 × 210 = 1.024

Soal Sedang (11–15)

11. Kota A berpenduduk 300.000, tumbuh 3%/tahun. Kota B berpenduduk 250.000, tumbuh 5%/tahun. Setelah 4 tahun, mana lebih banyak?

Pembahasan: Kota A: 300.000 × (1,03)4 = 300.000 × 1,1255 = 337.650. Kota B: 250.000 × (1,05)4 = 250.000 × 1,2155 = 303.876. Kota A lebih banyak.

12. Populasi awal 100.000 bertumbuh 4%/tahun. Berapa tahun sampai melebihi 150.000?

Pembahasan: 100.000 × (1,04)t > 150.000 → (1,04)t > 1,5. Coba: (1,04)10 ≈ 1,48, (1,04)11 ≈ 1,539. Jawab: 11 tahun.

13. Virus menyebar 200% per hari (berlipat 3). Dari 10 kasus awal, berapa setelah 5 hari?

Pembahasan: P = 10 × 35 = 10 × 243 = 2.430 kasus

14. Populasi 60.000 tumbuh 2,5%/tahun. Hitunglah populasi setelah 6 tahun.

Pembahasan: P = 60.000 × (1,025)6 = 60.000 × 1,1597 ≈ 69.581

15. Suatu koloni bakteri berjumlah 2.000 dan bertambah 50% tiap jam. Berapa setelah 4 jam?

Pembahasan: P = 2.000 × (1,5)4 = 2.000 × 5,0625 = 10.125

Soal Sulit (16–20)

16. Penduduk Indonesia 270 juta (2020), pertumbuhan 1,1%/tahun. Estimasi penduduk tahun 2035.

Pembahasan: t = 15. P = 270.000.000 × (1,011)15 = 270.000.000 × 1,1779 ≈ 318.041.000 jiwa

17. Populasi hewan tumbuh 8%/tahun dari 5.000. Tentukan berapa tahun hingga menjadi dua kali lipat.

Pembahasan: 5.000 × (1,08)t = 10.000 → (1,08)t = 2. Coba: (1,08)9 ≈ 2,00. Jawab: sekitar 9 tahun.

18. Dua bakteri: A mulai 100, berlipat 2/jam. B mulai 500, berlipat 1,5/jam. Kapan A menyalip B?

Pembahasan: 100 × 2t > 500 × (1,5)t → (2/1,5)t > 5 → (4/3)t > 5. Coba: (4/3)5 ≈ 4,21, (4/3)6 ≈ 5,61. Jawab: setelah 6 jam.

19. Sebuah kota 400.000 jiwa tumbuh 2%/tahun selama 5 tahun pertama, kemudian 3%/tahun selama 5 tahun berikutnya. Berapa total setelah 10 tahun?

Pembahasan: Setelah 5 tahun: 400.000 × (1,02)5 = 400.000 × 1,1041 = 441.632. Setelah 10 tahun: 441.632 × (1,03)5 = 441.632 × 1,1593 ≈ 511.897 jiwa

20. Populasi awal P₀ tumbuh r%/tahun. Tunjukkan bahwa waktu untuk berlipat ganda tidak bergantung pada P₀.

Pembahasan: P₀ × (1+r)t = 2P₀ → (1+r)t = 2. P₀ tereliminasi, sehingga t hanya bergantung pada r. Terbukti.

🏋️ Latihan Soal — Pertumbuhan Penduduk

Mudah

1. Populasi 25.000, tumbuh 3%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

2. Bakteri 200, berlipat 2 tiap jam. Berapa setelah 6 jam?

3. Populasi 1.000.000, tumbuh 1,5%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

4. Populasi 70.000, tumbuh 4%/tahun. Berapa setelah 3 tahun?

5. Bakteri 50, berlipat 4 tiap jam. Berapa setelah 3 jam?

6. Populasi 150.000, tumbuh 2%/tahun. Berapa setelah 4 tahun?

7. Populasi 500, berlipat 2 tiap hari. Berapa setelah 8 hari?

8. Populasi 90.000, tumbuh 5%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

9. Bakteri 1.000, tumbuh 100% tiap jam. Berapa setelah 5 jam?

10. Populasi 400.000, tumbuh 1%/tahun. Berapa setelah 10 tahun?

Sedang

11. Populasi 120.000 tumbuh 3,5%/tahun. Berapa tahun hingga > 150.000?

12. Dua kota: A=100.000 (tumbuh 6%), B=120.000 (tumbuh 3%). Kapan A menyalip?

13. Populasi ikan 800, bertambah 25%/bulan. Berapa setelah 6 bulan?

14. Bakteri 300, berlipat 2 tiap 2 jam. Berapa setelah 10 jam?

15. Populasi 50.000 tumbuh 2%/tahun. Berapa tahun hingga >60.000?

Sulit

16. Kota tumbuh 4%/tahun selama 5 tahun, lalu 2%/tahun selama 5 tahun. Populasi awal 200.000. Berapa setelah 10 tahun?

17. Populasi tumbuh 6%/tahun. Berapa tahun hingga 3 kali lipat?

18. Bakteri A: 50 berlipat 3/jam. Bakteri B: 1000 berlipat 1,2/jam. Kapan A > B?

19. Buktikan: jika pertumbuhan r%/tahun, maka waktu dua kali lipat ≈ 72/r tahun (Aturan 72)

20. Populasi dunia 8 miliar (2023), tumbuh 0,9%/tahun. Estimasi tahun berapa mencapai 10 miliar.

3. Penerapan Eksponen: Peluruhan & Penyusutan

🔍 Kegiatan: Mengamati

Sebuah mobil seharga Rp200.000.000 mengalami penyusutan nilai 15% per tahun:

Tahun	Perhitungan	Nilai
0	200.000.000	Rp200.000.000
1	200 jt × 0,85	Rp170.000.000
2	200 jt × (0,85)2	Rp144.500.000
3	200 jt × (0,85)3	Rp122.825.000

❓ Kegiatan: Menanya

Apa bedanya pertumbuhan dan peluruhan eksponensial?
Di mana lagi kita jumpai peluruhan eksponensial?

💡 Kegiatan: Menalar

Rumus Peluruhan/Penyusutan Eksponensial:

N(t) = N 0 \times (1 - r) t

N(t) = nilai/jumlah setelah t periode
N₀ = nilai awal
r = laju penyusutan (desimal)
t = periode waktu

Contoh penerapan: penyusutan harga kendaraan, peluruhan radioaktif, penurunan suhu benda, berkurangnya obat dalam darah.

✏️ Kegiatan: Mencoba

Zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 tahun. Jika awalnya 800 gram, berapa sisa setelah 20 tahun?

Jumlah peluruhan = 20/5 = 4 kali paruh N = 800 \times (1/2) 4 = 800 \times 1/16 = 50 gram

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Presentasikan kepada kelompokmu: Mengapa mobil bekas lebih murah? Gunakan konsep penyusutan eksponensial untuk menjelaskannya dengan grafik sederhana.

📝 Contoh Soal — Peluruhan & Penyusutan

Soal Mudah (1–10)

1. Mobil Rp100 juta, susut 10%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: 100 jt × 0,9 = Rp90.000.000

2. Laptop Rp15 juta, susut 20%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

Pembahasan: 15 jt × (0,8)2 = 15 jt × 0,64 = Rp9.600.000

3. Zat radioaktif 400 g, waktu paruh 1 tahun. Berapa setelah 3 tahun?

Pembahasan: 400 × (0,5)3 = 400 × 0,125 = 50 gram

4. HP Rp8 juta, susut 25%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: 8 jt × 0,75 = Rp6.000.000

5. Suhu kopi 80°C turun 10% setiap 5 menit. Berapa setelah 10 menit?

Pembahasan: 80 × (0,9)2 = 80 × 0,81 = 64,8°C

6. Motor Rp20 juta, susut 15%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

Pembahasan: 20 jt × (0,85)2 = 20 jt × 0,7225 = Rp14.450.000

7. Zat 1000 g, berkurang setengah tiap 2 jam. Berapa setelah 6 jam?

Pembahasan: 6/2 = 3 kali paruh. 1000 × (0,5)3 = 125 gram

8. Harga tanah Rp500 juta, naik 8%/tahun. (Ini pertumbuhan!) Berapa setelah 2 tahun?

Pembahasan: 500 jt × (1,08)2 = 500 jt × 1,1664 = Rp583.200.000 (Catatan: ini bukan peluruhan, ini pertumbuhan sebagai perbandingan)

9. Obat 500 mg dalam darah berkurang 30%/jam. Berapa setelah 2 jam?

Pembahasan: 500 × (0,7)2 = 500 × 0,49 = 245 mg

10. Mesin Rp50 juta, susut 12%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

Pembahasan: 50 jt × 0,88 = Rp44.000.000

Soal Sedang (11–15)

11. Mobil Rp300 juta susut 18%/tahun. Berapa tahun hingga nilainya < Rp150 juta?

Pembahasan: 300 jt × (0,82)t < 150 jt → (0,82)t < 0,5. Coba: (0,82)3=0,551, (0,82)4=0,452. Jawab: 4 tahun.

12. Zat radioaktif waktu paruh 10 tahun. Dari 640 g, berapa yang tersisa setelah 30 tahun?

Pembahasan: 30/10 = 3 paruh. 640 × (0,5)3 = 640 × 0,125 = 80 gram

13. Komputer Rp12 juta susut 30%/tahun. Kapan nilainya < Rp3 juta?

Pembahasan: 12 × (0,7)t < 3 → (0,7)t < 0,25. (0,7)3=0,343, (0,7)4=0,240. Jawab: 4 tahun.

14. Obat 200 mg berkurang 40%/jam. Berapa sisa setelah 3 jam?

Pembahasan: 200 × (0,6)3 = 200 × 0,216 = 43,2 mg

15. Populasi hewan berkurang 5%/tahun dari 10.000. Berapa setelah 8 tahun?

Pembahasan: 10.000 × (0,95)8 = 10.000 × 0,6634 ≈ 6.634 ekor

Soal Sulit (16–20)

16. Suatu zat radioaktif memiliki waktu paruh 8 tahun. Berapa persen yang tersisa setelah 24 tahun?

Pembahasan: 24/8 = 3 paruh. Sisa = (0,5)3 = 0,125 = 12,5%

17. Mobil A: Rp250 jt susut 20%/tahun. Mobil B: Rp180 jt susut 10%/tahun. Kapan nilainya sama?

Pembahasan: 250(0,8)t = 180(0,9)t → (0,8/0,9)t = 180/250 = 0,72 → (8/9)t = 0,72. Coba: (8/9)3 ≈ 0,702, (8/9)2 ≈ 0,79. Mendekati t ≈ 3 tahun.

18. Kafein 300 mg waktu paruh 5 jam. Berapa sisa setelah 12 jam?

Pembahasan: N = 300 × (0,5)12/5 = 300 × (0,5)2,4 = 300 × 0,189 ≈ 56,8 mg

19. Harga barang turun 8%/tahun. Berapa tahun sampai nilainya tinggal 1/3 dari semula?

Pembahasan: (0,92)t = 1/3 ≈ 0,333. Coba: (0,92)13 ≈ 0,339, (0,92)14 ≈ 0,312. Jawab: sekitar 13 tahun.

20. Sebuah danau memiliki 5000 ikan. Karena pencemaran, populasi turun 7%/tahun. Dengan rumus peluruhan, tentukan kapan populasi < 2000 dan gambarkan tren grafiknya secara konsep.

Pembahasan: 5000 × (0,93)t < 2000 → (0,93)t < 0,4. Coba: (0,93)12≈0,418, (0,93)13≈0,389. Jawab: setelah 13 tahun. Grafiknya turun melengkung (eksponensial), makin lama penurunan makin lambat.

🏋️ Latihan Soal — Peluruhan & Penyusutan

Mudah

1. Sepeda motor Rp25 juta, susut 10%/tahun. Berapa setelah 3 tahun?

2. Zat 500 g, waktu paruh 4 jam. Berapa setelah 12 jam?

3. TV Rp10 juta, susut 20%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

4. Obat 100 mg berkurang 50%/jam. Berapa setelah 3 jam?

5. Harga barang Rp5 juta, susut 5%/tahun. Berapa setelah 1 tahun?

6. Suhu 100°C turun 20% tiap menit. Berapa setelah 3 menit?

7. Populasi 8000, berkurang 10%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

8. Zat 2000 g, paruh 1 jam. Berapa setelah 5 jam?

9. AC Rp7 juta, susut 15%/tahun. Berapa setelah 2 tahun?

10. Bakteri 10.000, berkurang 25%/jam karena antibiotik. Berapa setelah 2 jam?

Sedang

11. Mobil Rp200 juta susut 22%/tahun. Kapan < Rp50 juta?

12. Zat radioaktif paruh 6 tahun. Berapa persen tersisa setelah 18 tahun?

13. Laptop Rp18 juta susut 25%/tahun. Kapan < Rp5 juta?

14. Populasi 12.000 turun 4%/tahun. Berapa setelah 10 tahun?

15. Obat 400 mg berkurang 35%/jam. Kapan < 50 mg?

Sulit

16. Dua zat: A (1000 g, paruh 3 jam), B (500 g, paruh 6 jam). Kapan sama banyak?

17. Harga turun 6%/tahun. Kapan tinggal 25% dari semula?

18. Polutan 2000 ppm berkurang 12%/hari. Aman jika < 200 ppm. Berapa hari?

19. Mesin A (Rp100 jt, susut 15%) vs Mesin B (Rp80 jt, susut 10%). Kapan nilainya sama?

20. Zat memiliki paruh 2 jam. Jika tersisa 25 g, berapa jumlah awal jika sudah 8 jam berlalu?

4. Penerapan Eksponen: Bunga Majemuk & Keuangan

🔍 Kegiatan: Mengamati

Andi menabung Rp1.000.000 dengan bunga majemuk 6% per tahun:

Tahun	Saldo
0	Rp1.000.000
1	Rp1.060.000
2	Rp1.123.600
5	Rp1.338.226
10	Rp1.790.848

Perhatikan: bunga dihitung dari saldo terakhir (bukan modal awal), sehingga hasilnya lebih besar dari bunga tunggal.

❓ Kegiatan: Menanya

Apa bedanya bunga tunggal dan bunga majemuk?
Mengapa bunga majemuk menggunakan eksponen?

💡 Kegiatan: Menalar

Rumus Bunga Majemuk:

A = P \times (1 + i) n

A = jumlah akhir (modal + bunga)
P = modal awal (pokok)
i = suku bunga per periode (desimal)
n = jumlah periode

Perbandingan:

Jenis	Rumus	Modal Rp1 jt, 10%/tahun, 3 tahun
Bunga Tunggal	A = P(1 + n×i)	1 jt × (1 + 0,3) = Rp1.300.000
Bunga Majemuk	A = P(1+i)n	1 jt × (1,1)3 = Rp1.331.000

✏️ Kegiatan: Mencoba

Hitunglah: Modal Rp5.000.000, bunga 8%/tahun, selama 4 tahun.

A = 5.000.000 \times (1,08) 4 = 5.000.000 \times 1,3605 = Rp6.802.442

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan: Mengapa Albert Einstein menyebut bunga majemuk sebagai “keajaiban dunia kedelapan”? Berikan contoh tabungan jangka panjang yang menunjukkan kekuatan bunga majemuk.

📝 Contoh Soal — Bunga Majemuk

Soal Mudah (1–10)

1. Modal Rp2 juta, bunga 5%/tahun, 2 tahun.

Pembahasan: A = 2 jt × (1,05)2 = 2 jt × 1,1025 = Rp2.205.000

2. Modal Rp10 juta, bunga 3%/tahun, 1 tahun.

Pembahasan: A = 10 jt × 1,03 = Rp10.300.000

3. Modal Rp500.000, bunga 10%/tahun, 3 tahun.

Pembahasan: A = 500.000 × (1,1)3 = 500.000 × 1,331 = Rp665.500

4. Modal Rp1 juta, bunga 4%/tahun, 5 tahun.

Pembahasan: A = 1 jt × (1,04)5 = 1 jt × 1,2167 = Rp1.216.653

5. Modal Rp3 juta, bunga 6%/tahun, 2 tahun.

Pembahasan: A = 3 jt × (1,06)2 = 3 jt × 1,1236 = Rp3.370.800

6. Modal Rp800.000, bunga 12%/tahun, 1 tahun.

Pembahasan: A = 800.000 × 1,12 = Rp896.000

7. Modal Rp4 juta, bunga 7%/tahun, 3 tahun.

Pembahasan: A = 4 jt × (1,07)3 = 4 jt × 1,2250 = Rp4.900.073

8. Modal Rp1,5 juta, bunga 2%/tahun, 4 tahun.

Pembahasan: A = 1,5 jt × (1,02)4 = 1,5 jt × 1,0824 = Rp1.623.645

9. Berapa bunga yang diperoleh dari soal no.1?

Pembahasan: Bunga = A − P = 2.205.000 − 2.000.000 = Rp205.000

10. Modal Rp6 juta, bunga 5%/tahun, 2 tahun.

Pembahasan: A = 6 jt × (1,05)2 = 6 jt × 1,1025 = Rp6.615.000

Soal Sedang (11–15)

11. Modal Rp5 juta dengan bunga 6%/tahun. Berapa tahun agar saldo > Rp7 juta?

Pembahasan: 5 jt × (1,06)t > 7 jt → (1,06)t > 1,4. Coba: (1,06)5=1,338, (1,06)6=1,419. Jawab: 6 tahun.

12. Bank A: bunga 5%/tahun. Bank B: bunga 4,5%/tahun. Modal Rp10 juta. Selisih setelah 5 tahun?

Pembahasan: A: 10 jt×(1,05)5 = 12.762.816. B: 10 jt×(1,045)5 = 12.461.819. Selisih ≈ Rp300.997

13. Pinjaman Rp20 juta dengan bunga 1%/bulan selama 12 bulan. Berapa total yang harus dibayar?

Pembahasan: A = 20 jt × (1,01)12 = 20 jt × 1,1268 = Rp22.536.502

14. Berapa modal awal agar setelah 3 tahun (bunga 8%/tahun) menjadi Rp10 juta?

Pembahasan: P = 10 jt ÷ (1,08)3 = 10 jt ÷ 1,2597 = Rp7.938.322

15. Modal Rp2 juta, bunga 9%/tahun. Berapa tahun agar dua kali lipat?

Pembahasan: (1,09)t = 2. Coba: (1,09)8=1,993 ≈ 2. Jawab: sekitar 8 tahun.

Soal Sulit (16–20)

16. Modal Rp50 juta, bunga 0,5%/bulan (majemuk bulanan). Berapa setelah 3 tahun?

Pembahasan: n = 36 bulan. A = 50 jt × (1,005)36 = 50 jt × 1,1967 = Rp59.834.033

17. Investasi tumbuh dari Rp8 juta menjadi Rp12 juta dalam 5 tahun. Berapa bunga per tahun?

Pembahasan: (1+i)5 = 12/8 = 1,5. 1+i = 1,51/5 = 1,50,2 ≈ 1,0845. i ≈ 8,45%/tahun.

18. Bandingkan: (a) Rp10 jt, 12%/tahun selama 10 tahun vs (b) Rp10 jt, 1%/bulan selama 10 tahun (120 bulan).

Pembahasan: (a) 10 jt × (1,12)10 = 10 jt × 3,1058 = 31.058.482. (b) 10 jt × (1,01)120 = 10 jt × 3,3004 = 33.003.869. Opsi (b) lebih besar karena bunga dihitung lebih sering.

19. Andi menabung Rp1 juta/tahun selama 5 tahun, bunga 6%/tahun. Berapa total di akhir tahun ke-5? (Anuitas)

Pembahasan: Tahun 1: 1 jt×(1,06)4=1.262.477. Tahun 2: 1 jt×(1,06)3=1.191.016. Tahun 3: 1 jt×(1,06)2=1.123.600. Tahun 4: 1 jt×1,06=1.060.000. Tahun 5: 1 jt. Total = Rp5.637.093

20. Inflasi 4%/tahun. Barang sekarang Rp100.000. Berapa harganya 20 tahun lagi? Dan berapa daya beli Rp1 juta 20 tahun lagi (dalam rupiah hari ini)?

Pembahasan: Harga: 100.000 × (1,04)20 = 100.000 × 2,191 = Rp219.112. Daya beli Rp1 jt = 1.000.000 ÷ 2,191 ≈ Rp456.387 (dalam nilai hari ini).

🏋️ Latihan Soal — Bunga Majemuk

Mudah

1. Modal Rp3 juta, bunga 4%/tahun, 3 tahun. Berapa saldo akhir?

2. Modal Rp7 juta, bunga 6%/tahun, 2 tahun.

3. Modal Rp1 juta, bunga 10%/tahun, 4 tahun.

4. Modal Rp500.000, bunga 8%/tahun, 3 tahun.

5. Modal Rp2,5 juta, bunga 3%/tahun, 5 tahun.

6. Berapa bunga yang diperoleh dari soal no. 3?

7. Modal Rp12 juta, bunga 5%/tahun, 1 tahun.

8. Modal Rp900.000, bunga 7%/tahun, 2 tahun.

9. Modal Rp4 juta, bunga 2%/tahun, 6 tahun.

10. Modal Rp15 juta, bunga 4%/tahun, 3 tahun.

Sedang

11. Modal Rp8 juta, bunga 7%/tahun. Kapan > Rp12 juta?

12. Berapa modal awal agar setelah 5 tahun (bunga 6%) menjadi Rp20 juta?

13. Pinjaman Rp30 juta, bunga 1,5%/bulan, 6 bulan. Berapa total bayar?

14. Selisih bunga tunggal vs majemuk: modal Rp5 juta, 8%/tahun, 4 tahun.

15. Kapan Rp3 juta (bunga 10%/tahun) berlipat tiga?

Sulit

16. Tumbuh dari Rp6 jt jadi Rp10 jt dalam 4 tahun. Berapa bunga/tahun?

17. Rp20 jt, bunga 0,8%/bulan. Berapa setelah 2 tahun?

18. Inflasi 5%/tahun. Berapa tahun hingga harga jadi dua kali lipat?

19. Menabung Rp2 jt/tahun selama 4 tahun, bunga 5%. Berapa total akhir?

20. Bandingkan: (a) 10%/tahun selama 5 tahun vs (b) 5%/semester selama 5 tahun (10 semester). Mana lebih besar?

5. Penerapan Eksponen: Satuan & Notasi Ilmiah

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan angka-angka berikut:

Jarak Bumi ke Matahari = 150.000.000.000 m = 1,5 \times 10 11 m Ukuran virus = 0,0000001 m = 1 \times 10 -7 m Massa Bumi = 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,972 \times 10 24 kg

Notasi ilmiah memudahkan penulisan bilangan sangat besar atau sangat kecil.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menulis notasi ilmiah?
Apa hubungan pangkat 10 dengan banyaknya angka nol?

💡 Kegiatan: Menalar

Notasi Ilmiah:

a \times 10 n di mana 1 \leq a < 10

Aturan:

Bilangan besar → pangkat positif (geser koma ke kiri)
Bilangan kecil (< 1) → pangkat negatif (geser koma ke kanan)
Banyaknya pergeseran = nilai pangkat

Awalan SI yang menggunakan eksponen:

Awalan	Simbol	Nilai
Kilo	k	103
Mega	M	106
Giga	G	109
Tera	T	1012
Mili	m	10−3
Mikro	μ	10−6
Nano	n	10−9

✏️ Kegiatan: Mencoba

Ubahlah ke notasi ilmiah:

45.000.000 = 4,5 × 107
0,00032 = 3,2 × 10−4
7.200.000.000 = 7,2 × 109

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Carilah 3 contoh bilangan sangat besar atau sangat kecil di sekitarmu (misalnya kapasitas memori, jarak antar planet, ukuran sel) dan tuliskan dalam notasi ilmiah. Presentasikan hasilnya.

📝 Contoh Soal — Notasi Ilmiah

Soal Mudah (1–10)

1. Ubah 3.000 ke notasi ilmiah

Pembahasan: 3.000 = 3 × 103

2. Ubah 0,005 ke notasi ilmiah

Pembahasan: 0,005 = 5 × 10−3

3. Ubah 7.500.000 ke notasi ilmiah

Pembahasan: 7,5 × 106

4. Ubah 2,4 × 105 ke bentuk biasa

Pembahasan: 240.000

5. Ubah 6 × 10−4 ke bentuk biasa

Pembahasan: 0,0006

6. Ubah 93.000.000 ke notasi ilmiah

Pembahasan: 9,3 × 107

7. Ubah 0,00071 ke notasi ilmiah

Pembahasan: 7,1 × 10−4

8. 5 km = … m (dalam notasi ilmiah)

Pembahasan: 5 km = 5.000 m = 5 × 103 m

9. 3 GB = … byte (dalam notasi ilmiah)

Pembahasan: 3 GB = 3 × 109 byte

10. Ubah 1,2 × 108 ke bentuk biasa

Pembahasan: 120.000.000

Soal Sedang (11–15)

11. Hitung (3 × 104) × (2 × 105)

Pembahasan: (3×2) × 104+5 = 6 × 109

12. Hitung (8 × 107) ÷ (4 × 103)

Pembahasan: (8÷4) × 107−3 = 2 × 104

13. Jarak Bumi–Bulan = 3,84 × 108 m. Cahaya bergerak 3 × 108 m/s. Berapa detik cahaya dari Bumi ke Bulan?

Pembahasan: t = 3,84×108 ÷ 3×108 = 1,28 detik

14. Sel darah merah berdiameter 7 × 10−6 m. Berapa sel yang berjajar sepanjang 1 mm?

Pembahasan: 1 mm = 10−3 m. Jumlah = 10−3 ÷ 7×10−6 = (1/7)×103 ≈ 143 sel

15. Hitung (5 × 103)2

Pembahasan: 52 × (103)2 = 25 × 106 = 2,5 × 107

Soal Sulit (16–20)

16. Massa proton = 1,67 × 10−27 kg. Massa Matahari = 2 × 1030 kg. Berapa proton dalam Matahari?

Pembahasan: 2×1030 ÷ 1,67×10−27 = (2/1,67) × 1030+27 ≈ 1,2 × 1057 proton

17. Data internet global per hari = 2,5 × 1018 byte. Berapa TB per hari?

Pembahasan: 1 TB = 1012 byte. Jadi 2,5×1018 ÷ 1012 = 2,5 × 106 = 2.500.000 TB/hari

18. Hitung: (4,2 × 105) × (3 × 10−8) ÷ (6 × 10−2)

Pembahasan: Pembilang: 12,6 × 10−3 = 1,26 × 10−2. Dibagi 6×10−2 = (1,26/6) × 10−2−(−2) = 0,21 × 100 = 0,21 = 2,1 × 10−1

19. Kecepatan cahaya 3 × 108 m/s. Berapa km yang ditempuh dalam 1 tahun (1 tahun cahaya)? (1 tahun ≈ 3,15 × 107 detik)

Pembahasan: Jarak = 3×108 × 3,15×107 = 9,45 × 1015 m = 9,45 × 1012 km

20. Atom hidrogen berdiameter 1,2 × 10−10 m. Berapa atom berjajar sepanjang 1 cm?

Pembahasan: 1 cm = 10−2 m. Jumlah = 10−2 ÷ 1,2×10−10 = (1/1,2) × 108 ≈ 8,33 × 107 atom

🏋️ Latihan Soal — Notasi Ilmiah

Mudah

1. Ubah 6.000.000 ke notasi ilmiah

2. Ubah 0,0042 ke notasi ilmiah

3. Ubah 8,1 × 104 ke bentuk biasa

4. Ubah 320.000.000 ke notasi ilmiah

5. Ubah 5 × 10−5 ke bentuk biasa

6. 2 MHz = … Hz (notasi ilmiah)

7. Ubah 0,000009 ke notasi ilmiah

8. Ubah 4,7 × 103 ke bentuk biasa

9. 500 nm = … m (notasi ilmiah)

10. Ubah 12.500 ke notasi ilmiah

Sedang

11. Hitung (6 × 103) × (7 × 104)

12. Hitung (9 × 108) ÷ (3 × 105)

13. Hitung (2 × 104)3

14. Jumlah penduduk Bumi 8 × 109. Luas daratan 1,5 × 108 km². Berapa orang/km²?

15. Hitung (4,5 × 106) + (3 × 105) dalam notasi ilmiah

Sulit

16. Hitung (2,4 × 10−3) × (5 × 107) ÷ (3 × 102)

17. Massa elektron 9,1 × 10−31 kg. Massa proton 1,67 × 10−27 kg. Berapa kali proton lebih berat?

18. Galaksi Andromeda berjarak 2,5 × 106 tahun cahaya. Jika 1 tahun cahaya = 9,46 × 1012 km, berapa km jaraknya?

19. Volume bumi = 1,08 × 1012 km³. Volume bulan = 2,2 × 1010 km³. Berapa kali bumi lebih besar?

20. Energi ledakan bom atom = 8,4 × 1013 Joule. Energi petir = 5 × 109 Joule. Berapa petir setara 1 bom atom?

6. Penerapan Eksponen: Biologi (Pembelahan Sel)

🔍 Kegiatan: Mengamati

Bakteri E. coli membelah diri setiap 20 menit. Mulai dari 1 bakteri:

Waktu (menit)	Jumlah Pembelahan	Jumlah Bakteri	Bentuk Eksponen
0	0	1	20
20	1	2	21
40	2	4	22
60	3	8	23
120	6	64	26
240	12	4.096	212

❓ Kegiatan: Menanya

Mengapa pembelahan sel menghasilkan pertumbuhan eksponensial?
Bagaimana rumusnya jika sel membelah menjadi lebih dari 2?

💡 Kegiatan: Menalar

Rumus Pembelahan Sel:

N = N 0 \times k n

N = jumlah sel akhir
N₀ = jumlah sel awal
k = jumlah hasil pembelahan per siklus (biasanya 2 untuk pembelahan biner)
n = jumlah siklus pembelahan = waktu total ÷ waktu per siklus

Hubungan dengan waktu:

n = t \div d (d = waktu per siklus pembelahan)

✏️ Kegiatan: Mencoba

Dari 100 bakteri, membelah diri tiap 30 menit. Berapa setelah 5 jam?

n = 300 menit \div 30 menit = 10 siklus N = 100 \times 2 10 = 100 \times 1.024 = 102.400 bakteri

🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah poster sederhana yang menjelaskan mengapa kita harus menjaga kebersihan makanan. Gunakan konsep pertumbuhan eksponensial bakteri untuk mendukung argumenmu.

📝 Contoh Soal — Pembelahan Sel

Soal Mudah (1–10)

1. 1 bakteri membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 5 jam?

Pembahasan: N = 1 × 25 = 32

2. 10 bakteri membelah tiap 20 menit. Berapa setelah 1 jam?

Pembahasan: n = 60/20 = 3. N = 10 × 23 = 80

3. 50 sel membelah tiap 2 jam. Berapa setelah 6 jam?

Pembahasan: n = 6/2 = 3. N = 50 × 23 = 400

4. 1 amuba membelah tiap 30 menit. Berapa setelah 3 jam?

Pembahasan: n = 180/30 = 6. N = 1 × 26 = 64

5. 200 bakteri membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 4 jam?

Pembahasan: N = 200 × 24 = 200 × 16 = 3.200

6. 5 sel membelah tiap 40 menit. Berapa setelah 2 jam?

Pembahasan: n = 120/40 = 3. N = 5 × 23 = 40

7. 1 bakteri, setelah 8 kali membelah menjadi berapa?

Pembahasan: N = 28 = 256

8. 20 bakteri membelah tiap 15 menit. Berapa setelah 1 jam?

Pembahasan: n = 60/15 = 4. N = 20 × 24 = 320

9. 1.000 bakteri membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 3 jam?

Pembahasan: N = 1.000 × 23 = 8.000

10. 4 sel membelah jadi 3 (bukan 2) tiap siklus. Berapa setelah 4 siklus?

Pembahasan: N = 4 × 34 = 4 × 81 = 324

Soal Sedang (11–15)

11. Bakteri awal 50, membelah tiap 20 menit. Berapa jam agar jumlahnya > 50.000?

Pembahasan: 50 × 2n > 50.000 → 2n > 1.000. 210=1.024 > 1.000. n=10, waktu = 10×20 = 200 menit ≈ 3 jam 20 menit.

12. Dua bakteri: A (100 bakteri, membelah/30 menit), B (500 bakteri, membelah/60 menit). Kapan A > B?

Pembahasan: Setelah t jam: A = 100×22t, B = 500×2t. 100×4t > 500×2t → 100×22t > 500×2t → 2t > 5. 23=8>5. Jawab: setelah 3 jam.

13. Sel kanker membelah tiap 24 jam dari 1 sel. Berapa setelah 2 minggu?

Pembahasan: n = 14. N = 214 = 16.384 sel

14. Ragi membelah tiap 90 menit dari 1.000 sel. Berapa setelah 6 jam?

Pembahasan: n = 360/90 = 4. N = 1.000 × 24 = 16.000

15. Setelah 12 jam bakteri berjumlah 4.096 dari awal 1. Berapa lama waktu per pembelahan?

Pembahasan: 2n = 4.096 = 212, jadi n=12. Waktu = 12 jam ÷ 12 = 1 jam per siklus.

Soal Sulit (16–20)

16. E. coli membelah tiap 20 menit. Dari 1 bakteri, berapa setelah 24 jam? Nyatakan dalam notasi ilmiah.

Pembahasan: n = 1440/20 = 72. N = 272 ≈ 4,72 × 1021 bakteri

17. Dalam tubuh ada 37,2 × 1012 sel. Jika semua sel membelah sekali, berapa total sel baru? Nyatakan dalam notasi ilmiah.

Pembahasan: Total = 37,2 × 1012 × 2 = 7,44 × 1013 sel

18. Bakteri A: 10 sel, membelah tiap 15 menit. Bakteri B: 10.000 sel, membelah tiap 60 menit. Kapan A > B?

Pembahasan: Setelah t jam: A = 10 × 24t, B = 10.000 × 2t. 10×24t > 10.000×2t → 23t > 1.000. 210=1.024>1.000. 3t≈10, t≈3,33 jam ≈ 3 jam 20 menit.

19. Sel darah putih membelah tiap 12 jam. Dari 1.000 sel, berapa hari sampai >1.000.000?

Pembahasan: 1.000 × 2n > 1.000.000 → 2n > 1.000. 210=1.024. n=10, waktu = 10×12 jam = 120 jam = 5 hari.

20. Populasi bakteri berkurang menjadi setengah tiap 3 jam karena antibiotik, namun bakteri juga membelah tiap 1 jam. Dari 1.000, berapa setelah 6 jam? (Hitung efek bersih per 3 jam)

Pembahasan: Per 3 jam: membelah 3 kali → ×23=8, lalu berkurang setengah → ×0,5. Efek bersih per 3 jam = 8 × 0,5 = 4. Setelah 6 jam (2 periode): N = 1.000 × 42 = 16.000.

🏋️ Latihan Soal — Pembelahan Sel

Mudah

1. 1 bakteri membelah tiap 45 menit. Berapa setelah 3 jam?

2. 25 sel membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 5 jam?

3. 1 amuba membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 10 jam?

4. 500 bakteri membelah tiap 30 menit. Berapa setelah 2 jam?

5. 8 sel membelah tiap 2 jam. Berapa setelah 8 jam?

6. 1 sel membelah jadi 4 tiap siklus. Berapa setelah 3 siklus?

7. 100 bakteri membelah tiap 20 menit. Berapa setelah 1 jam?

8. 1 bakteri, setelah 6 pembelahan menjadi berapa?

9. 300 bakteri membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 4 jam?

10. 2 sel membelah tiap 10 menit. Berapa setelah 1 jam?

Sedang

11. Bakteri dari 20, membelah/30 menit. Kapan > 10.000?

12. Sel kanker dari 1, membelah/18 jam. Berapa setelah 1 minggu?

13. Setelah 8 jam ada 25.600 dari awal 100. Berapa waktu per pembelahan?

14. Bakteri A (200, belah/20 menit) vs B (5000, belah/1 jam). Kapan A > B?

15. Ragi dari 500, membelah tiap 2 jam. Berapa setelah 12 jam?

Sulit

16. E. coli (belah/20 menit) dari 1 sel. Berapa setelah 12 jam? (Notasi ilmiah)

17. Bakteri membelah tiap 25 menit tapi 10% mati tiap siklus. Dari 1000, berapa setelah 5 siklus?

18. Dua strain: A (1 sel, belah/15 menit), B (1.000.000 sel, tidak membelah, mati 50%/jam). Kapan A > B?

19. Bakteri dari 1, belah tiap 20 menit. Kapan mencapai jumlah penduduk Indonesia (270 juta)?

20. Antibiotik membunuh 75% bakteri tiap jam, tapi bakteri membelah tiap 30 menit. Dari 10.000, apakah bakteri akan habis atau bertambah? Hitung setelah 3 jam.