Akar Pangkat Bilangan
Materi, contoh soal, dan latihan disusun runtut agar mudah dipahami di HP maupun PC.
Fokus materi
Akar pangkat bilangan
Contoh soal
15 soal + pembahasan
Latihan
15 soal tanpa pembahasan
A. Materi Akar Pangkat Bilangan
Akar pangkat bilangan adalah kebalikan dari bilangan berpangkat. Jika suatu bilangan dipangkatkan menghasilkan bilangan tertentu, maka akar pangkat digunakan untuk mencari bilangan asalnya.
Hubungan dasar:
Jika an = b, maka n√b = a
Keterangan:
- a adalah hasil akar.
- n adalah pangkat akar atau indeks akar.
- b adalah bilangan yang dicari akarnya.
1. Akar Pangkat Dua
Akar pangkat dua disebut juga akar kuadrat. Akar kuadrat dari suatu bilangan adalah bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan tersebut.
√25 = 5, karena 5 × 5 = 25
2. Akar Pangkat Tiga
Akar pangkat tiga adalah bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak tiga kali menghasilkan bilangan tertentu.
3√27 = 3, karena 3 × 3 × 3 = 27
3. Akar Pangkat n
Secara umum, akar pangkat n dari bilangan b adalah bilangan a yang jika dipangkatkan n menghasilkan b.
n√b = a ⇔ an = b
4. Hubungan Akar dengan Eksponen
Bentuk akar dapat ditulis dalam bentuk pangkat pecahan. Hubungan ini penting agar siswa memahami bahwa akar dan eksponen saling berkaitan.
√a = a1/2
3√a = a1/3
n√a = a1/n
n√am = am/n
5. Hubungan Singkat dengan Logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Pada materi akar pangkat bilangan, logaritma tidak dibahas mendalam, tetapi hubungan notasinya dapat membantu memahami bentuk pangkat dan akar.
Jika an = b, maka logab = n
Contoh: 23 = 8, maka log28 = 3. Sementara itu, 3√8 = 2.
Tabel Akar Pangkat yang Sering Digunakan
| Bilangan | Akar Kuadrat | Akar Pangkat Tiga |
|---|---|---|
| 1 | √1 = 1 | 3√1 = 1 |
| 8 | Tidak bulat | 3√8 = 2 |
| 9 | √9 = 3 | Tidak bulat |
| 16 | √16 = 4 | Tidak bulat |
| 27 | Tidak bulat | 3√27 = 3 |
| 64 | √64 = 8 | 3√64 = 4 |
Gambar Konsep Sederhana
Eksponen
42 = 16
Empat dikali empat menghasilkan enam belas.
Bentuk Akar
√16 = 4
Akar mencari bilangan asal sebelum dipangkatkan.
Logaritma
log416 = 2
Logaritma mencari pangkatnya.
B. Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Amati pasangan bilangan berikut: 32 = 9, 52 = 25, dan 23 = 8. Dari sini terlihat bahwa akar digunakan untuk mencari bilangan awal.
2. Menanya
Ajukan pertanyaan: “Jika 62 = 36, berapakah √36?” Kemudian tanyakan juga: “Jika 43 = 64, berapakah 3√64?”
3. Menalar
Gunakan hubungan kebalikan: an = b berarti n√b = a. Jadi, untuk mencari akar, pikirkan bilangan apa yang jika dipangkatkan menghasilkan bilangan di dalam akar.
4. Mencoba
Cobalah menghitung: √49, √81, 3√125, dan 3√216. Cocokkan jawaban dengan bentuk pangkatnya.
5. Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kalimat sendiri mengapa √100 = 10 dan 3√343 = 7. Sertakan alasan menggunakan perkalian berulang.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah
1. Hitunglah √36!
Pembahasan: Cari bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan 36. Karena 6 × 6 = 36, maka √36 = 6.
2. Hitunglah √64!
Pembahasan: Karena 8 × 8 = 64, maka akar kuadrat dari 64 adalah 8. Jadi, √64 = 8.
3. Hitunglah 3√8!
Pembahasan: Akar pangkat tiga mencari bilangan yang dikalikan tiga kali menghasilkan 8. Karena 2 × 2 × 2 = 8, maka 3√8 = 2.
4. Hitunglah √100!
Pembahasan: Karena 10 × 10 = 100, maka √100 = 10.
5. Hitunglah 3√27!
Pembahasan: Karena 3 × 3 × 3 = 27, maka 3√27 = 3.
Contoh Soal Sedang
1. Hitunglah √144 + √81!
Pembahasan: √144 = 12 karena 12 × 12 = 144. Lalu √81 = 9. Jadi √144 + √81 = 12 + 9 = 21.
2. Hitunglah 3√125 − √49!
Pembahasan: 3√125 = 5 karena 5 × 5 × 5 = 125. Kemudian √49 = 7. Jadi hasilnya 5 − 7 = −2.
3. Sederhanakan √(25 × 16)!
Pembahasan: Hitung bagian dalam akar terlebih dahulu: 25 × 16 = 400. Maka √400 = 20. Jadi hasilnya 20.
4. Hitunglah 3√216!
Pembahasan: Cari bilangan yang jika dikalikan tiga kali menghasilkan 216. Karena 6 × 6 × 6 = 216, maka 3√216 = 6.
5. Ubah √x ke bentuk pangkat pecahan!
Pembahasan: Akar kuadrat sama dengan pangkat 12. Jadi √x = x1/2.
Contoh Soal Sulit
1. Sederhanakan √72!
Pembahasan: Pecah 72 menjadi perkalian yang memuat kuadrat sempurna. 72 = 36 × 2. Maka √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. Jadi bentuk sederhana adalah 6√2.
2. Sederhanakan √200!
Pembahasan: 200 = 100 × 2. Karena √100 = 10, maka √200 = √(100 × 2) = 10√2.
3. Hitunglah √(32 × 42)!
Pembahasan: Gunakan sifat akar dan pangkat. 32 = 9 dan 42 = 16, sehingga 9 × 16 = 144. Maka √144 = 12. Dapat juga langsung: √(32 × 42) = 3 × 4 = 12.
4. Sederhanakan 3√432!
Pembahasan: Pecah 432 menjadi faktor kubik sempurna. 432 = 216 × 2. Karena 3√216 = 6, maka 3√432 = 3√(216 × 2) = 63√2.
5. Ubah 5√a3 ke bentuk pangkat pecahan!
Pembahasan: Gunakan aturan n√am = am/n. Di sini m = 3 dan n = 5. Jadi 5√a3 = a3/5.
D. Latihan Soal Tanpa Pembahasan
Latihan Mudah
- Hitunglah √121!
- Hitunglah √169!
- Hitunglah 3√64!
- Hitunglah 3√1000!
- Hitunglah √225!
Latihan Sedang
- Hitunglah √196 + √144!
- Hitunglah 3√343 − √81!
- Sederhanakan √(49 × 25)!
- Ubah 4√x ke bentuk pangkat pecahan!
- Hitunglah √400 − 3√27!
Latihan Sulit
- Sederhanakan √128!
- Sederhanakan √300!
- Sederhanakan 3√625!
- Ubah 7√a4 ke bentuk pangkat pecahan!
- Hitunglah √(52 × 122)!
Ringkasan Penting
- Akar pangkat adalah kebalikan dari perpangkatan.
- √a = a1/2.
- n√a = a1/n.
- Untuk menyederhanakan akar, cari faktor yang merupakan kuadrat sempurna atau kubik sempurna.
- Akar, eksponen, dan logaritma saling berhubungan sebagai bentuk kebalikan dari perpangkatan.