Bentuk Akar
Matematika Kelas X
1. Pengertian Bentuk Akar
Perhatikan bilangan-bilangan berikut:
= 1,4142…
= 1,7320…
= 2,2360…
= 1,2599…
Bilangan-bilangan di atas menghasilkan bilangan desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang (bilangan irasional). Bilangan-bilangan inilah yang disebut bentuk akar.
- Apa yang dimaksud dengan bentuk akar?
- Mengapa √4 = 2 bukan bentuk akar, tetapi √2 adalah bentuk akar?
- Bilangan apa saja yang termasuk bentuk akar?
Definisi Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar bilangan yang hasilnya merupakan bilangan irasional (tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ab dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0).
Notasi Bentuk Akar
| Notasi | Dibaca | Keterangan |
|---|---|---|
| √a | Akar kuadrat dari a | Indeks = 2 (biasa tidak ditulis) |
| 3√a | Akar pangkat tiga dari a | Indeks = 3 |
| n√a | Akar pangkat n dari a | Indeks = n |
Yang Termasuk dan Bukan Bentuk Akar
✓ Bentuk Akar:
- √2, √3, √5, √7
- 3√2, 3√5
- 3√2, 2√5
✗ Bukan Bentuk Akar:
- √4 = 2 (bilangan rasional)
- √9 = 3 (bilangan rasional)
- √25 = 5 (bilangan rasional)
Tentukan mana yang termasuk bentuk akar dan bukan:
Kesimpulan: Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya berupa bilangan irasional. Bentuk akar ditulis dengan notasi n√a, di mana n adalah indeks akar dan a adalah bilangan di bawah tanda akar (radikan). Jika hasil akar merupakan bilangan bulat atau rasional, maka itu bukan bentuk akar.
Contoh Soal: Pengertian Bentuk Akar
Soal Mudah (10 Soal)
1. Tentukan apakah √36 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√36 = 6. Karena hasilnya bilangan bulat (rasional), maka √36 bukan bentuk akar.
2. Tentukan apakah √7 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√7 = 2,6457… Hasilnya desimal tak berakhir dan tak berulang (irasional). Maka √7 termasuk bentuk akar.
3. Tentukan apakah √100 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√100 = 10. Hasilnya bilangan bulat, maka bukan bentuk akar.
4. Tentukan apakah √11 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
11 bukan kuadrat sempurna. √11 = 3,3166… (irasional). Maka termasuk bentuk akar.
5. Tentukan apakah √81 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√81 = 9. Bilangan bulat → bukan bentuk akar.
6. Tentukan apakah 3√8 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
3√8 = 2 (karena 2³ = 8). Hasilnya bilangan bulat → bukan bentuk akar.
7. Tentukan apakah 3√5 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
3√5 = 1,7099… (irasional) → termasuk bentuk akar.
8. Tentukan apakah √144 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√144 = 12. Bilangan bulat → bukan bentuk akar.
9. Tentukan apakah √13 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
13 bukan kuadrat sempurna → √13 irasional → termasuk bentuk akar.
10. Tentukan apakah √50 termasuk bentuk akar atau bukan!
Pembahasan:
√50 = 7,0710… (irasional) → termasuk bentuk akar.
Soal Sedang (5 Soal)
1. Dari bilangan berikut, tentukan mana yang merupakan bentuk akar: √18, √64, √20, 3√27
Pembahasan:
• √18 = 4,2426… (irasional) → bentuk akar ✓
• √64 = 8 (rasional) → bukan bentuk akar ✗
• √20 = 4,4721… (irasional) → bentuk akar ✓
• 3√27 = 3 (rasional) → bukan bentuk akar ✗
2. Jelaskan mengapa √0,25 bukan bentuk akar!
Pembahasan:
√0,25 = 0,5 = 12. Hasilnya bilangan rasional (dapat dinyatakan sebagai pecahan), sehingga bukan bentuk akar.
3. Tentukan apakah √49 termasuk bentuk akar!
Pembahasan:
√49 = √4√9 = 23. Hasilnya rasional → bukan bentuk akar.
4. Sebutkan 5 bilangan yang merupakan bentuk akar dengan indeks 2!
Pembahasan:
Bilangan yang bukan kuadrat sempurna akan menghasilkan bentuk akar. Contoh: √2, √3, √5, √6, √7
5. Tentukan apakah 4√16 termasuk bentuk akar!
Pembahasan:
4√16 = 4√24 = 2. Hasilnya bilangan bulat → bukan bentuk akar.
Soal Sulit (5 Soal)
1. Buktikan bahwa √2 adalah bilangan irasional!
Pembahasan:
Pembuktian dengan kontradiksi:
Andaikan √2 rasional, maka √2 = pq dengan p, q bulat, q ≠ 0, dan FPB(p,q) = 1.
Kuadratkan: 2 = p²q² → p² = 2q² → p² genap → p genap → p = 2k.
Substitusi: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k² → q genap.
Kontradiksi: p dan q keduanya genap, padahal FPB(p,q) = 1.
Jadi √2 irasional (terbukti).
2. Tentukan apakah √3 + √12 termasuk bentuk akar. Jelaskan!
Pembahasan:
√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√3.
Karena √3 irasional, maka 3√3 juga irasional → termasuk bentuk akar.
3. Tentukan apakah (√5 − √3)(√5 + √3) termasuk bentuk akar!
Pembahasan:
Gunakan rumus (a−b)(a+b) = a²−b²:
(√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.
Hasilnya bilangan bulat → bukan bentuk akar.
4. Tentukan nilai n agar n√64 bukan merupakan bentuk akar!
Pembahasan:
64 = 26.
• n = 2: √64 = 8 → bukan bentuk akar ✓
• n = 3: 3√64 = 4 → bukan bentuk akar ✓
• n = 6: 6√64 = 2 → bukan bentuk akar ✓
Jadi n = 1, 2, 3, atau 6 (faktor dari 6).
5. Tunjukkan bahwa √2 + √8 + √18 dapat disederhanakan. Apakah hasilnya bentuk akar?
Pembahasan:
√2 + √8 + √18
= √2 + 2√2 + 3√2
= 6√2
Karena √2 irasional, maka 6√2 juga irasional → termasuk bentuk akar.
Latihan Soal: Pengertian Bentuk Akar
Mudah (10 Soal)
1. Tentukan apakah √15 termasuk bentuk akar!
2. Tentukan apakah √49 termasuk bentuk akar!
3. Tentukan apakah √21 termasuk bentuk akar!
4. Tentukan apakah 3√64 termasuk bentuk akar!
5. Tentukan apakah √10 termasuk bentuk akar!
6. Tentukan apakah √121 termasuk bentuk akar!
7. Tentukan apakah 3√10 termasuk bentuk akar!
8. Tentukan apakah √169 termasuk bentuk akar!
9. Tentukan apakah √23 termasuk bentuk akar!
10. Tentukan apakah √200 termasuk bentuk akar!
Sedang (5 Soal)
1. Dari bilangan √45, √225, 3√125, √32, tentukan yang termasuk bentuk akar!
2. Tentukan apakah √0,09 termasuk bentuk akar!
3. Tentukan apakah √13 termasuk bentuk akar!
4. Sebutkan 5 bilangan yang merupakan bentuk akar dengan indeks 3!
5. Tentukan apakah 5√32 termasuk bentuk akar!
Sulit (5 Soal)
1. Buktikan bahwa √3 adalah bilangan irasional!
2. Tentukan apakah (√7 − 2)(√7 + 2) termasuk bentuk akar!
3. Tentukan semua nilai n bilangan asli agar n√256 bukan bentuk akar!
4. Sederhanakan √5 + √20 + √45 dan tentukan apakah hasilnya bentuk akar!
5. Tentukan apakah √2 × √8 termasuk bentuk akar!