Aplikasi Turunan: Persamaan Garis Singgung Kurva
Matematika
Materi: Persamaan Garis Singgung Kurva
A. Pengertian Garis Singgung Kurva
Garis singgung kurva adalah garis lurus yang menyinggung suatu kurva di satu titik tertentu. Garis ini memiliki gradien (kemiringan) yang sama dengan gradien kurva di titik singgung tersebut.
Hubungan antara turunan dan garis singgung kurva:
Gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik x = a adalah:
m = f'(a)
Artinya, turunan pertama dari fungsi f(x) yang dihitung pada titik x = a memberikan nilai gradien garis singgung di titik tersebut.
Kegiatan: Mengamati
Amati grafik berikut. Perhatikan kurva y = x2 dan garis singgungnya di titik (1, 1).
Dari grafik di atas, garis singgung kurva y = x2 di titik (1, 1) memiliki gradien m = f'(1) = 2(1) = 2.
B. Rumus Persamaan Garis Singgung Kurva
Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik (x₁, y₁) dinyatakan dengan:
y − y₁ = m(x − x₁)
dengan m = f'(x₁)
Terdapat tiga kasus dalam menentukan persamaan garis singgung kurva:
Kasus 1: Garis Singgung di Titik pada Kurva
Jika diketahui titik singgung (x₁, y₁) terletak pada kurva, maka:
1. Hitung f'(x)
2. Hitung gradien: m = f'(x₁)
3. Substitusi ke rumus: y − y₁ = m(x − x₁)
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan untuk dipikirkan:
- Bagaimana jika titik singgung tidak diketahui secara langsung, melainkan hanya diberikan absis x₁?
- Bagaimana cara menentukan garis singgung jika yang diketahui adalah gradiennya?
- Bagaimana jika garis singgung ditarik dari titik di luar kurva?
Kasus 2: Garis Singgung yang Sejajar/Tegak Lurus Garis Tertentu
Jika garis singgung sejajar garis y = mx + c, maka gradien garis singgung sama dengan m.
Jika garis singgung tegak lurus garis bergradien m₁, maka gradien garis singgung:
m = −1m₁
Langkah penyelesaian:
1. Tentukan gradien m dari syarat sejajar/tegak lurus
2. Selesaikan f'(x) = m untuk mendapatkan x₁
3. Hitung y₁ = f(x₁)
4. Substitusi ke rumus garis singgung
Kasus 3: Garis Singgung dari Titik di Luar Kurva
Jika garis singgung ditarik dari titik (a, b) yang tidak terletak pada kurva:
1. Misalkan titik singgung adalah (x₁, f(x₁))
2. Gradien garis singgung: m = f'(x₁)
3. Gradien garis melalui dua titik: m = f(x₁) − bx₁ − a
4. Samakan kedua gradien dan selesaikan untuk x₁
5. Substitusi ke rumus garis singgung
Kegiatan: Menalar
Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan hubungan antara kurva, titik singgung, dan persamaan garis singgung:
| Kurva f(x) | Titik Singgung | f'(x) | Gradien m | Persamaan Garis Singgung |
|---|---|---|---|---|
| x2 | (1, 1) | 2x | 2 | y = 2x − 1 |
| x2 | (−2, 4) | 2x | −4 | y = −4x − 4 |
| x3 | (1, 1) | 3x2 | 3 | y = 3x − 2 |
| 2x2 + 1 | (2, 9) | 4x | 8 | y = 8x − 7 |
Dari tabel di atas, dapatkah kamu melihat pola hubungan antara turunan dan gradien garis singgung?
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan persamaan garis singgung kurva berikut:
- Kurva y = x2 + 3x di titik dengan absis x = 2
- Kurva y = x3 − x di titik (1, 0)
- Kurva y = 4x2 yang sejajar dengan garis y = 8x + 1
Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari di atas. Periksa jawabanmu dengan contoh soal di bawah.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa turunan pertama memberikan gradien garis singgung.
- Buatlah ringkasan langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung untuk ketiga kasus di atas.
- Presentasikan hasil diskusi kelompokmu di depan kelas.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (2, 4).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan turunan
f(x) = x2
f'(x) = 2x
Langkah 2: Hitung gradien di x = 2
m = f'(2) = 2(2) = 4
Langkah 3: Substitusi ke rumus
y − 4 = 4(x − 2)
y − 4 = 4x − 8
y = 4x − 4
Jawaban: y = 4x − 4
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 3x2 di titik (1, 3).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: f'(x) = 6x
Langkah 2: m = f'(1) = 6
Langkah 3: y − 3 = 6(x − 1)
y = 6x − 3
Jawaban: y = 6x − 3
Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2x di titik dengan absis x = 1.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung y₁ = f(1) = 1 + 2 = 3, jadi titik singgung (1, 3)
Langkah 2: f'(x) = 2x + 2
Langkah 3: m = f'(1) = 2 + 2 = 4
Langkah 4: y − 3 = 4(x − 1)
y = 4x − 1
Jawaban: y = 4x − 1
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 − 4x + 5 di titik dengan absis x = 3.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: y₁ = 9 − 12 + 5 = 2, titik singgung (3, 2)
Langkah 2: f'(x) = 2x − 4
Langkah 3: m = f'(3) = 6 − 4 = 2
Langkah 4: y − 2 = 2(x − 3)
y = 2x − 4
Jawaban: y = 2x − 4
Contoh 5
Tentukan gradien garis singgung kurva y = 2x2 + x di titik dengan absis x = −1.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: f'(x) = 4x + 1
Langkah 2: m = f'(−1) = 4(−1) + 1 = −3
Jawaban: Gradien garis singgung = −3
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 − 3x + 2 di titik (1, 0).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Verifikasi titik pada kurva: f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 ✓
Langkah 2: f'(x) = 3x2 − 3
Langkah 3: m = f'(1) = 3 − 3 = 0
Langkah 4: y − 0 = 0(x − 1)
y = 0
Jawaban: y = 0 (garis singgung horizontal/sumbu x)
Contoh 7
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 − 2x + 3 yang sejajar dengan garis y = 4x + 1.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Gradien garis y = 4x + 1 adalah m = 4
Langkah 2: f'(x) = 2x − 2
Langkah 3: Syarat sejajar: f'(x) = 4
2x − 2 = 4
x = 3
Langkah 4: y₁ = 9 − 6 + 3 = 6, titik singgung (3, 6)
Langkah 5: y − 6 = 4(x − 3)
y = 4x − 6
Jawaban: y = 4x − 6
Contoh 8
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 1 yang tegak lurus terhadap garis y = −12x + 3.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Gradien garis: m₁ = −½
Syarat tegak lurus: m = −1/m₁ = −1/(−½) = 2
Langkah 2: f'(x) = 2x
Langkah 3: 2x = 2 → x = 1
Langkah 4: y₁ = 1 + 1 = 2, titik (1, 2)
Langkah 5: y − 2 = 2(x − 1)
y = 2x
Jawaban: y = 2x
Contoh 9
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 di titik dengan absis x = −1.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: y₁ = (−1)3 = −1, titik (−1, −1)
Langkah 2: f'(x) = 3x2
Langkah 3: m = f'(−1) = 3(1) = 3
Langkah 4: y − (−1) = 3(x − (−1))
y + 1 = 3(x + 1)
y = 3x + 2
Jawaban: y = 3x + 2
Contoh 10
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 − 3x + 1 yang sejajar dengan garis y = 5x − 2.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: m = 5 (dari garis yang sejajar)
Langkah 2: f'(x) = 4x − 3
Langkah 3: 4x − 3 = 5 → x = 2
Langkah 4: y₁ = 2(4) − 6 + 1 = 3, titik (2, 3)
Langkah 5: y − 3 = 5(x − 2)
y = 5x − 7
Jawaban: y = 5x − 7
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 yang ditarik dari titik (0, −4).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cek apakah (0, −4) pada kurva: f(0) = 0 ≠ −4. Titik di luar kurva.
Langkah 2: Misalkan titik singgung (a, a2)
Langkah 3: Gradien dari turunan: m = f'(a) = 2a
Langkah 4: Gradien dari dua titik:
m = a2 − (−4)a − 0 = a2 + 4a
Langkah 5: Samakan:
2a = a2 + 4a
2a2 = a2 + 4
a2 = 4
a = 2 atau a = −2
Langkah 6:
Untuk a = 2: m = 4, titik (2, 4)
y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4
Untuk a = −2: m = −4, titik (−2, 4)
y − 4 = −4(x + 2) → y = −4x − 4
Jawaban: y = 4x − 4 dan y = −4x − 4
Contoh 12
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 − 3x2 + 2 di titik-titik yang bergradien 0.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: f'(x) = 3x2 − 6x
Langkah 2: Syarat m = 0:
3x2 − 6x = 0
3x(x − 2) = 0
x = 0 atau x = 2
Langkah 3:
Untuk x = 0: y = 0 − 0 + 2 = 2 → titik (0, 2)
Untuk x = 2: y = 8 − 12 + 2 = −2 → titik (2, −2)
Langkah 4: Persamaan garis singgung (gradien = 0 berarti garis horizontal):
y = 2 dan y = −2
Jawaban: y = 2 dan y = −2
Contoh 13
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 − 4x yang ditarik dari titik (4, −8).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cek: f(4) = 16 − 16 = 0 ≠ −8. Titik di luar kurva.
Langkah 2: Misalkan titik singgung (a, a2 − 4a)
Langkah 3: f'(a) = 2a − 4
Langkah 4: Gradien dua titik:
2a − 4 = (a2 − 4a) − (−8)a − 4
(2a − 4)(a − 4) = a2 − 4a + 8
2a2 − 12a + 16 = a2 − 4a + 8
a2 − 8a + 8 = 0
a = 8 ± √(64 − 32)2 = 8 ± 4√22 = 4 ± 2√2
Langkah 5:
Untuk a = 4 + 2√2: m = 2(4+2√2) − 4 = 4 + 4√2
Untuk a = 4 − 2√2: m = 2(4−2√2) − 4 = 4 − 4√2
Persamaan:
y + 8 = (4+4√2)(x − 4) → y = (4+4√2)x − 24 − 16√2
y + 8 = (4−4√2)(x − 4) → y = (4−4√2)x − 24 + 16√2
Contoh 14
Kurva y = x3 − 6x2 + 9x + 2. Tentukan titik-titik pada kurva dimana garis singgungnya sejajar dengan garis y = 9x, dan tentukan persamaan garis singgung tersebut.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: m = 9
Langkah 2: f'(x) = 3x2 − 12x + 9
Langkah 3: 3x2 − 12x + 9 = 9
3x2 − 12x = 0
3x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Langkah 4:
x = 0: y = 2 → titik (0, 2)
x = 4: y = 64 − 96 + 36 + 2 = 6 → titik (4, 6)
Langkah 5:
Di (0, 2): y − 2 = 9(x − 0) → y = 9x + 2
Di (4, 6): y − 6 = 9(x − 4) → y = 9x − 30
Jawaban: y = 9x + 2 dan y = 9x − 30
Contoh 15
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2x − 3 yang ditarik dari titik (1, −4).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cek: f(1) = 1 + 2 − 3 = 0 ≠ −4. Titik di luar kurva.
Langkah 2: Misalkan titik singgung (a, a2 + 2a − 3)
Langkah 3: f'(a) = 2a + 2
Langkah 4: Samakan gradien:
2a + 2 = (a2 + 2a − 3) − (−4)a − 1
(2a + 2)(a − 1) = a2 + 2a + 1
2a2 − 2 = a2 + 2a + 1
a2 − 2a − 3 = 0
(a − 3)(a + 1) = 0
a = 3 atau a = −1
Langkah 5:
a = 3: m = 8, titik (3, 12)
y + 4 = 8(x − 1) → y = 8x − 12
a = −1: m = 0, titik (−1, −4)
y + 4 = 0(x − 1) → y = −4
Jawaban: y = 8x − 12 dan y = −4
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
Mudah Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (3, 9).
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 4x2 di titik (1, 4).
- Tentukan gradien garis singgung kurva y = x2 − 5x di titik dengan absis x = 4.
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + x − 2 di titik dengan absis x = 0.
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 − x di titik (−1, 3).
Sedang Latihan Tingkat Sedang
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 + 2x di titik (1, 3).
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 − 6x + 8 yang sejajar dengan garis y = 2x + 5.
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 4 yang tegak lurus terhadap garis y = −16x + 1.
- Tentukan titik-titik pada kurva y = x3 − 3x dimana garis singgungnya horizontal (bergradien 0).
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x − 1 yang sejajar dengan garis 3x − y + 7 = 0.
Sulit Latihan Tingkat Sulit
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 − 2x yang ditarik dari titik (2, −5).
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 yang ditarik dari titik (0, −2).
- Kurva y = x3 − 3x2 + 4. Tentukan semua titik dimana garis singgungnya sejajar dengan garis y = 9x − 1, dan tentukan persamaan garis singgungnya.
- Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 3 yang ditarik dari titik (0, 1).
- Dua kurva y = x2 dan y = −x2 + 4x berpotongan di titik (0, 0) dan (2, 4). Tentukan sudut antara kedua garis singgung di titik (2, 4).