📏 Data Ukuran (Data Kuantitatif Kontinu)
A. Pengertian Data Ukuran
Data ukuran adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Data ini bersifat kontinu, artinya nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun desimal (pecahan) dalam suatu interval tertentu.
Ciri utama data ukuran:
- Diperoleh dengan alat ukur (penggaris, timbangan, stopwatch, termometer, dll.)
- Nilainya bisa berupa desimal: 45,5 kg; 170,3 cm; 36,7 °C
- Dapat dijumlahkan, dikurangkan, dirata-ratakan
- Termasuk data kuantitatif berskala rasio atau interval
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel hasil pengukuran tinggi badan 10 siswa kelas X berikut:
| No | Nama | Tinggi Badan (cm) |
|---|---|---|
| 1 | Andi | 165,5 |
| 2 | Budi | 170,2 |
| 3 | Citra | 158,0 |
| 4 | Dewi | 162,8 |
| 5 | Eka | 175,1 |
| 6 | Fani | 160,4 |
| 7 | Gina | 168,7 |
| 8 | Hadi | 172,3 |
| 9 | Indah | 155,9 |
| 10 | Joko | 180,0 |
Amati bahwa setiap nilai tinggi badan mengandung desimal. Data ini diperoleh melalui pengukuran menggunakan alat ukur tinggi badan (stadiometer).
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa data tinggi badan bisa memiliki nilai desimal?
- Apa perbedaan data ukuran dengan data yang diperoleh dari menghitung?
- Bagaimana cara menyajikan data ukuran dalam tabel distribusi frekuensi?
- Ukuran pemusatan dan penyebaran apa saja yang bisa dihitung dari data ukuran?
B. Contoh-Contoh Data Ukuran
| No | Contoh Data Ukuran | Satuan | Alat Ukur |
|---|---|---|---|
| 1 | Tinggi badan | cm / m | Stadiometer / meteran |
| 2 | Berat badan | kg | Timbangan |
| 3 | Suhu tubuh | °C | Termometer |
| 4 | Waktu tempuh | detik / menit | Stopwatch |
| 5 | Panjang meja | cm / m | Penggaris / meteran |
| 6 | Volume air | mL / L | Gelas ukur |
| 7 | Curah hujan | mm | Pluviometer |
| 8 | Jarak tempuh | km | Odometer |
C. Penyajian Data Ukuran dalam Tabel Distribusi Frekuensi
Karena data ukuran bersifat kontinu, penyajiannya sering menggunakan tabel distribusi frekuensi berkelompok.
💡 Kegiatan: Menalar
Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi untuk data ukuran:
- Tentukan jangkauan (range): R = Data terbesar − Data terkecil
- Tentukan banyak kelas (k): k ≈ 1 + 3,322 × log(n)
di mana n = banyaknya data - Tentukan panjang kelas (p): p = R / k (bulatkan ke atas)
- Tentukan batas bawah kelas pertama (biasanya data terkecil atau sedikit di bawahnya)
- Susun interval kelas dan hitung frekuensi masing-masing
🧪 Kegiatan: Mencoba
Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tinggi badan 10 siswa di atas!
Penyelesaian:
- Data terkecil = 155,9 ; Data terbesar = 180,0
- R = 180,0 − 155,9 = 24,1
- n = 10, maka k ≈ 1 + 3,322 × log(10) = 1 + 3,322 = 4,322 ≈ 4 kelas
- p = 24,1 / 4 = 6,025 ≈ 7 (dibulatkan ke atas)
| Interval Kelas (cm) | Turus | Frekuensi |
|---|---|---|
| 155,0 – 161,9 | ||| | 3 |
| 162,0 – 168,9 | ||| | 3 |
| 169,0 – 175,9 | ||| | 3 |
| 176,0 – 182,9 | | | 1 |
| Jumlah | 10 | |
D. Ukuran Pemusatan Data Ukuran
1. Rata-rata (Mean) — x̄
2. Median (Me)
Nilai tengah setelah data diurutkan.
Jika n genap: Me = (x(n/2) + x(n/2 + 1)) / 2
3. Modus (Mo)
Nilai yang paling sering muncul. Pada data ukuran kontinu, modus sering dihitung dari tabel distribusi frekuensi:
Keterangan: Tb = tepi bawah kelas modus, p = panjang kelas, d₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
E. Ukuran Penyebaran Data Ukuran
1. Jangkauan (Range)
2. Varians (s²)
3. Simpangan Baku (s)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan kepada teman sekelasmu:
- Apa yang dimaksud data ukuran? Berikan 3 contoh dari kehidupan sehari-hari.
- Jelaskan mengapa data ukuran selalu bersifat kontinu.
- Hitunglah mean, median, dan simpangan baku dari data tinggi badan 10 siswa di atas, lalu sajikan dalam poster kecil.
📝 Contoh Soal Data Ukuran
Mudah Contoh Soal 1–5
Contoh 1
Data berat badan 5 siswa (dalam kg): 45,2 ; 50,5 ; 48,0 ; 52,3 ; 49,0. Tentukan rata-rata berat badan!
Pembahasan:
x̄ = (45,2 + 50,5 + 48,0 + 52,3 + 49,0) / 5
x̄ = 245,0 / 5 = 49,0 kg
Contoh 2
Data suhu harian (°C): 30,5 ; 31,2 ; 29,8 ; 32,0 ; 30,0. Tentukan jangkauan (range)!
Pembahasan:
R = Data terbesar − Data terkecil = 32,0 − 29,8 = 2,2 °C
Contoh 3
Data panjang daun (cm): 5,1 ; 6,3 ; 5,8 ; 7,0 ; 6,5 ; 5,4 ; 6,9. Tentukan median!
Pembahasan:
Urutkan: 5,1 ; 5,4 ; 5,8 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,9 ; 7,0
n = 7 (ganjil), Me = data ke-(7+1)/2 = data ke-4 = 6,3 cm
Contoh 4
Manakah yang termasuk data ukuran? (a) Jumlah siswa laki-laki = 20 orang (b) Tinggi gedung = 12,5 meter
Pembahasan:
(a) Data cacahan — diperoleh dari menghitung jumlah.
(b) Data ukuran — diperoleh dari mengukur tinggi gedung dengan alat ukur, bernilai desimal.
Contoh 5
Data waktu tempuh lari 100 m (detik): 12,3 ; 11,8 ; 12,5 ; 11,5 ; 12,0. Hitunglah rata-rata waktu tempuh!
Pembahasan:
x̄ = (12,3 + 11,8 + 12,5 + 11,5 + 12,0) / 5 = 60,1 / 5 = 12,02 detik
Sedang Contoh Soal 6–10
Contoh 6
Data berat buah jeruk (gram): 120,5 ; 135,0 ; 128,3 ; 140,2 ; 125,8 ; 132,7 ; 138,1 ; 130,0. Hitunglah rata-rata dan median!
Pembahasan:
x̄ = (120,5+135,0+128,3+140,2+125,8+132,7+138,1+130,0)/8 = 1050,6/8 = 131,325 gram
Urutkan: 120,5 ; 125,8 ; 128,3 ; 130,0 ; 132,7 ; 135,0 ; 138,1 ; 140,2
n=8 (genap): Me = (data ke-4 + data ke-5)/2 = (130,0+132,7)/2 = 131,35 gram
Contoh 7
Data tinggi tanaman (cm): 15,2 ; 18,5 ; 16,0 ; 17,3 ; 19,1. Hitunglah varians!
Pembahasan:
x̄ = (15,2+18,5+16,0+17,3+19,1)/5 = 86,1/5 = 17,22
Σ(xᵢ−x̄)² = (15,2−17,22)² + (18,5−17,22)² + (16,0−17,22)² + (17,3−17,22)² + (19,1−17,22)²
= (−2,02)² + (1,28)² + (−1,22)² + (0,08)² + (1,88)²
= 4,0804 + 1,6384 + 1,4884 + 0,0064 + 3,5344 = 10,748
s² = 10,748 / (5−1) = 10,748 / 4 = 2,687
Contoh 8
Dari tabel distribusi frekuensi berikut, hitunglah rata-rata berat badan:
| Berat (kg) | fᵢ |
|---|---|
| 40–44 | 3 |
| 45–49 | 7 |
| 50–54 | 10 |
| 55–59 | 5 |
Pembahasan:
Titik tengah (xᵢ): 42, 47, 52, 57
Σfᵢxᵢ = 3(42)+7(47)+10(52)+5(57) = 126+329+520+285 = 1260
Σfᵢ = 25
x̄ = 1260/25 = 50,4 kg
Contoh 9
Data volume air minum (mL) yang dikonsumsi 6 orang: 250,0 ; 300,5 ; 275,0 ; 310,2 ; 280,8 ; 295,0. Hitunglah simpangan baku!
Pembahasan:
x̄ = (250,0+300,5+275,0+310,2+280,8+295,0)/6 = 1711,5/6 = 285,25
Σ(xᵢ−x̄)² = (−35,25)²+(15,25)²+(−10,25)²+(24,95)²+(−4,45)²+(9,75)²
= 1242,5625+232,5625+105,0625+622,5025+19,8025+95,0625 = 2317,555
s² = 2317,555/5 = 463,511
s = √463,511 ≈ 21,53 mL
Contoh 10
Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data curah hujan (mm) berikut: 5,2 ; 8,1 ; 12,5 ; 6,0 ; 15,3 ; 9,8 ; 7,4 ; 11,0 ; 14,2 ; 10,5 ; 13,7 ; 6,8. Gunakan 4 kelas!
Pembahasan:
R = 15,3 − 5,2 = 10,1 ; k = 4 ; p = 10,1/4 = 2,525 ≈ 3
| Interval (mm) | fᵢ |
|---|---|
| 5,0 – 7,9 | 4 (5,2 ; 6,0 ; 7,4 ; 6,8) |
| 8,0 – 10,9 | 3 (8,1 ; 9,8 ; 10,5) |
| 11,0 – 13,9 | 3 (12,5 ; 11,0 ; 13,7) |
| 14,0 – 16,9 | 2 (15,3 ; 14,2) |
| Jumlah | 12 |
Sulit Contoh Soal 11–15
Contoh 11
Dari tabel distribusi frekuensi berikut, tentukan median!
| Tinggi (cm) | fᵢ |
|---|---|
| 150–154 | 4 |
| 155–159 | 8 |
| 160–164 | 12 |
| 165–169 | 10 |
| 170–174 | 6 |
Pembahasan:
n = 40, n/2 = 20
Frekuensi kumulatif: 4, 12, 24, 34, 40
Kelas median: 160–164 (fk sebelumnya = 12, frekuensi kelas = 12)
Tepi bawah Tb = 159,5 ; p = 5
Contoh 12
Dari tabel pada Contoh 11, tentukan modus!
Pembahasan:
Kelas modus: 160–164 (frekuensi terbesar = 12)
Tb = 159,5 ; p = 5 ; d₁ = 12−8 = 4 ; d₂ = 12−10 = 2
Contoh 13
Dari tabel pada Contoh 11, hitunglah simpangan baku!
Pembahasan:
Titik tengah: 152, 157, 162, 167, 172
x̄ = (4×152+8×157+12×162+10×167+6×172)/40 = (608+1256+1944+1670+1032)/40 = 6510/40 = 162,75
Σfᵢ(xᵢ−x̄)² = 4(−10,75)²+8(−5,75)²+12(−0,75)²+10(4,25)²+6(9,25)²
= 4(115,5625)+8(33,0625)+12(0,5625)+10(18,0625)+6(85,5625)
= 462,25+264,5+6,75+180,625+513,375 = 1427,5
s² = 1427,5/(40−1) = 1427,5/39 = 36,603
s = √36,603 ≈ 6,05 cm
Contoh 14
Dari tabel pada Contoh 11, tentukan kuartil bawah (Q₁)!
Pembahasan:
Letak Q₁ = data ke-n/4 = data ke-10
Fk: 4, 12 → Q₁ di kelas 155–159
Tb = 154,5 ; p = 5 ; F = 4 ; f = 8
Contoh 15
Dari tabel pada Contoh 11, tentukan kuartil atas (Q₃) dan jangkauan interkuartil (IQR)!
Pembahasan:
Letak Q₃ = data ke-3n/4 = data ke-30
Fk: 4, 12, 24, 34 → Q₃ di kelas 165–169
Tb = 164,5 ; p = 5 ; F = 24 ; f = 10
IQR = Q₃ − Q₁ = 167,5 − 158,25 = 9,25 cm
✏️ Latihan Soal Data Ukuran
Mudah
1. Data berat apel (gram): 150,2 ; 145,8 ; 160,0 ; 155,3 ; 148,7. Hitunglah rata-rata!
2. Data suhu ruangan (°C): 25,0 ; 26,5 ; 24,8 ; 27,2 ; 25,5. Tentukan jangkauan!
3. Data panjang ikan (cm): 12,5 ; 14,0 ; 13,2 ; 15,1 ; 11,8 ; 13,7 ; 14,5. Tentukan median!
4. Sebutkan 3 contoh data ukuran dalam kehidupan sehari-hari beserta alat ukurnya!
5. Data waktu reaksi (detik): 0,45 ; 0,52 ; 0,38 ; 0,61 ; 0,50. Hitunglah rata-rata!
Sedang
6. Data kadar gula darah (mg/dL): 95,0 ; 102,3 ; 88,5 ; 110,7 ; 97,2 ; 105,0 ; 91,8 ; 100,5. Hitunglah rata-rata, median, dan jangkauan!
7. Data diameter bola (cm): 6,2 ; 6,5 ; 6,0 ; 6,8 ; 6,3 ; 6,1 ; 6,7. Hitunglah varians dan simpangan baku!
8. Hitunglah rata-rata dari tabel distribusi frekuensi berikut:
| Nilai | fᵢ |
|---|---|
| 60–64 | 5 |
| 65–69 | 8 |
| 70–74 | 12 |
| 75–79 | 10 |
| 80–84 | 5 |
9. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data kecepatan angin (km/jam): 10,5 ; 15,2 ; 12,8 ; 18,0 ; 22,3 ; 14,1 ; 20,5 ; 11,7 ; 16,9 ; 19,4 ; 13,5 ; 21,0. Gunakan 4 kelas!
10. Jelaskan perbedaan antara data ukuran dan data cacahan beserta masing-masing 2 contoh!
Sulit
11. Dari tabel distribusi frekuensi berikut, tentukan median dan modus!
| Berat (kg) | fᵢ |
|---|---|
| 50–54 | 3 |
| 55–59 | 7 |
| 60–64 | 15 |
| 65–69 | 10 |
| 70–74 | 5 |
12. Dari tabel pada soal 11, hitunglah simpangan baku!
13. Dari tabel pada soal 11, tentukan Q₁, Q₃, dan IQR!
14. Diketahui rata-rata berat badan 20 siswa adalah 55,5 kg. Jika seorang siswa dengan berat 60,0 kg keluar dan diganti siswa baru dengan berat 50,0 kg, tentukan rata-rata yang baru!
15. Data tinggi badan 5 orang memiliki rata-rata 165,0 cm dan simpangan baku 4,0 cm. Jika setiap data ditambah 5 cm, tentukan rata-rata dan simpangan baku yang baru!
🔢 Data Cacahan (Data Kuantitatif Diskret)
A. Pengertian Data Cacahan
Data cacahan adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung (membilang). Data ini bersifat diskret, artinya nilainya berupa bilangan bulat (0, 1, 2, 3, …) dan tidak mungkin berupa desimal.
Ciri utama data cacahan:
- Diperoleh dengan cara menghitung/membilang, bukan mengukur
- Nilainya selalu bilangan bulat: 0, 1, 2, 3, …
- Tidak memerlukan alat ukur khusus
- Termasuk data kuantitatif diskret
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan data jumlah buku yang dibaca siswa kelas X dalam satu bulan:
| No | Nama | Jumlah Buku |
|---|---|---|
| 1 | Andi | 3 |
| 2 | Budi | 5 |
| 3 | Citra | 2 |
| 4 | Dewi | 4 |
| 5 | Eka | 3 |
| 6 | Fani | 1 |
| 7 | Gina | 5 |
| 8 | Hadi | 2 |
| 9 | Indah | 4 |
| 10 | Joko | 3 |
Amati bahwa setiap nilai berupa bilangan bulat. Tidak mungkin seseorang membaca 2,5 buku. Data ini diperoleh dengan menghitung.
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa data cacahan selalu berupa bilangan bulat?
- Apa perbedaan mendasar antara “menghitung” dan “mengukur”?
- Bagaimana cara menyajikan data cacahan?
- Apakah semua ukuran pemusatan dan penyebaran bisa dihitung dari data cacahan?
B. Contoh-Contoh Data Cacahan
| No | Contoh Data Cacahan | Cara Memperoleh |
|---|---|---|
| 1 | Jumlah siswa dalam kelas | Menghitung kepala siswa |
| 2 | Jumlah gol dalam pertandingan | Menghitung gol yang tercipta |
| 3 | Jumlah buku di perpustakaan | Menghitung buku satu per satu |
| 4 | Jumlah kendaraan yang lewat | Menghitung kendaraan |
| 5 | Banyak anak dalam keluarga | Menghitung anggota keluarga |
| 6 | Jumlah cacat produksi per hari | Menghitung produk cacat |
| 7 | Frekuensi gempa per bulan | Menghitung kejadian gempa |
| 8 | Jumlah kata dalam kalimat | Menghitung kata |
C. Penyajian Data Cacahan
💡 Kegiatan: Menalar
Data cacahan dapat disajikan dengan beberapa cara:
1. Tabel Frekuensi Tunggal
Karena data cacahan bernilai bulat, sering disajikan dalam tabel frekuensi tunggal (tanpa kelas interval).
Dari data jumlah buku yang dibaca:
| Jumlah Buku (x) | Turus | Frekuensi (f) |
|---|---|---|
| 1 | | | 1 |
| 2 | || | 2 |
| 3 | ||| | 3 |
| 4 | || | 2 |
| 5 | || | 2 |
| Jumlah | 10 | |
2. Diagram Batang
Diagram batang sangat cocok untuk data cacahan karena data bersifat diskret (ada jarak antar batang).
Diagram Batang: Jumlah Buku Dibaca
🧪 Kegiatan: Mencoba
Data jumlah anak dalam 15 keluarga: 2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3
Buatlah tabel frekuensi tunggal dan tentukan modus dari data tersebut!
Penyelesaian:
| Jumlah Anak (x) | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 5 |
| 4 | 2 |
| Jumlah | 15 |
Modus = 2 dan 3 (keduanya memiliki frekuensi terbesar yaitu 5) → bimodal
D. Ukuran Pemusatan Data Cacahan
1. Rata-rata (Mean)
Contoh dari data jumlah buku:
x̄ = (1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×2 + 5×2) / 10 = (1+4+9+8+10)/10 = 32/10 = 3,2 buku
Catatan: Meskipun hasilnya 3,2, data asli tetap bilangan bulat. Rata-rata boleh bernilai desimal.
2. Median
Urutkan data: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5
n=10 (genap): Me = (data ke-5 + data ke-6)/2 = (3+3)/2 = 3
3. Modus
Nilai dengan frekuensi tertinggi = 3 (muncul 3 kali)
E. Perbedaan Data Ukuran dan Data Cacahan
| Aspek | Data Ukuran | Data Cacahan |
|---|---|---|
| Cara memperoleh | Mengukur | Menghitung |
| Sifat | Kontinu | Diskret |
| Nilai | Bisa desimal | Selalu bilangan bulat |
| Alat | Alat ukur | Tidak perlu alat ukur |
| Penyajian umum | Tabel frekuensi berkelompok | Tabel frekuensi tunggal |
| Diagram | Histogram (batang rapat) | Diagram batang (ada celah) |
| Contoh | Tinggi 165,5 cm | Jumlah siswa = 30 |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan kelompokmu:
- Buatlah masing-masing 5 contoh data ukuran dan data cacahan dari lingkungan sekolah.
- Jelaskan mengapa histogram cocok untuk data ukuran, sementara diagram batang cocok untuk data cacahan.
- Presentasikan hasilnya di depan kelas!
📝 Contoh Soal Data Cacahan
Mudah Contoh Soal 1–5
Contoh 1
Data jumlah gol dalam 5 pertandingan: 2, 1, 3, 0, 2. Hitunglah rata-rata!
Pembahasan:
x̄ = (2+1+3+0+2)/5 = 8/5 = 1,6 gol
Contoh 2
Data banyak saudara dari 7 siswa: 1, 2, 0, 3, 2, 1, 2. Tentukan modus!
Pembahasan:
Frekuensi: 0→1, 1→2, 2→3, 3→1. Nilai yang paling sering muncul = 2 (frekuensi 3)
Contoh 3
Data jumlah pesan masuk per hari selama 5 hari: 8, 12, 5, 10, 15. Tentukan jangkauan!
Pembahasan:
R = 15 − 5 = 10 pesan
Contoh 4
Manakah yang termasuk data cacahan? (a) Suhu air = 85,5 °C (b) Jumlah kursi = 40 buah
Pembahasan:
(a) Data ukuran — diperoleh dari mengukur.
(b) Data cacahan — diperoleh dari menghitung jumlah kursi, bernilai bilangan bulat.
Contoh 5
Data banyak hewan peliharaan dari 6 keluarga: 1, 0, 2, 1, 3, 1. Tentukan median!
Pembahasan:
Urutkan: 0, 1, 1, 1, 2, 3
n=6 (genap): Me = (data ke-3 + data ke-4)/2 = (1+1)/2 = 1
Sedang Contoh Soal 6–10
Contoh 6
Data jumlah pelanggan toko per hari selama 10 hari: 25, 30, 18, 35, 22, 28, 40, 15, 32, 27. Hitunglah rata-rata dan median!
Pembahasan:
x̄ = (25+30+18+35+22+28+40+15+32+27)/10 = 272/10 = 27,2 pelanggan
Urutkan: 15, 18, 22, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 40
Me = (27+28)/2 = 27,5 pelanggan
Contoh 7
Dari tabel frekuensi berikut, hitunglah rata-rata!
| Jumlah Anak (x) | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
Pembahasan:
Σ(xᵢ×fᵢ) = 0(2)+1(5)+2(8)+3(4)+4(1) = 0+5+16+12+4 = 37
Σfᵢ = 20
x̄ = 37/20 = 1,85 anak
Contoh 8
Data jumlah kesalahan ketik per halaman: 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 0. Buatlah tabel frekuensi dan tentukan modus!
Pembahasan:
| x | f |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
| Σ | 15 |
Modus = 1 (frekuensi tertinggi = 6)
Contoh 9
Data jumlah absensi siswa per bulan: 0, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 4. Hitunglah varians!
Pembahasan:
x̄ = (0+1+2+0+3+1+0+2+1+4)/10 = 14/10 = 1,4
Σ(xᵢ−x̄)² = (−1,4)²+(−0,4)²+(0,6)²+(−1,4)²+(1,6)²+(−0,4)²+(−1,4)²+(0,6)²+(−0,4)²+(2,6)²
= 1,96+0,16+0,36+1,96+2,56+0,16+1,96+0,36+0,16+6,76 = 16,4
s² = 16,4/9 ≈ 1,822
Contoh 10
Dari tabel pada Contoh 7, hitunglah simpangan baku!
Pembahasan:
x̄ = 1,85 (dari Contoh 7)
Σfᵢ(xᵢ−x̄)² = 2(−1,85)²+5(−0,85)²+8(0,15)²+4(1,15)²+1(2,15)²
= 2(3,4225)+5(0,7225)+8(0,0225)+4(1,3225)+1(4,6225)
= 6,845+3,6125+0,18+5,29+4,6225 = 20,55
s² = 20,55/(20−1) = 20,55/19 = 1,0816
s = √1,0816 ≈ 1,04
Sulit Contoh Soal 11–15
Contoh 11
Data jumlah cacat produksi per hari selama 30 hari disajikan dalam tabel berikut. Tentukan Q₁ dan Q₃!
| Jumlah Cacat (x) | f |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 8 |
| 2 | 10 |
| 3 | 5 |
| 4 | 2 |
Pembahasan:
n = 30. Frekuensi kumulatif: 5, 13, 23, 28, 30
Letak Q₁ = data ke-(30+1)/4 = data ke-7,75 → data ke-8 berada pada x=1 (fk=13)
Q₁ = 1
Letak Q₃ = data ke-3(30+1)/4 = data ke-23,25 → data ke-24 berada pada x=3 (fk=28)
Q₃ = 3
IQR = 3 − 1 = 2
Contoh 12
Rata-rata jumlah gol per pertandingan dari 8 pertandingan adalah 2,5. Jika ditambah data pertandingan ke-9, rata-rata menjadi 2,67. Berapa gol di pertandingan ke-9?
Pembahasan:
Total gol 8 pertandingan = 8 × 2,5 = 20
Total gol 9 pertandingan = 9 × 2,67 = 24,03 ≈ 24
Gol pertandingan ke-9 = 24 − 20 = 4 gol
Contoh 13
Dari tabel pada Contoh 11, jika setiap data ditambah 2, tentukan rata-rata, varians, dan simpangan baku yang baru!
Pembahasan:
x̄ lama = (0×5+1×8+2×10+3×5+4×2)/30 = (0+8+20+15+8)/30 = 51/30 = 1,7
Jika setiap data + 2: x̄ baru = 1,7 + 2 = 3,7
Varians dan simpangan baku tidak berubah (penambahan konstanta tidak memengaruhi penyebaran).
s² = [5(−1,7)²+8(−0,7)²+10(0,3)²+5(1,3)²+2(2,3)²]/29
= [14,45+3,92+0,9+8,45+10,58]/29 = 38,3/29 ≈ 1,321
s ≈ 1,149
Contoh 14
Data jumlah pengunjung per jam disajikan berikut. Tentukan rata-rata dan simpangan baku!
| Pengunjung (x) | f |
|---|---|
| 10 | 3 |
| 15 | 7 |
| 20 | 12 |
| 25 | 6 |
| 30 | 2 |
Pembahasan:
Σfᵢxᵢ = 30+105+240+150+60 = 585 ; n=30
x̄ = 585/30 = 19,5
Σfᵢ(xᵢ−x̄)² = 3(−9,5)²+7(−4,5)²+12(0,5)²+6(5,5)²+2(10,5)²
= 270,75+141,75+3+181,5+220,5 = 817,5
s² = 817,5/29 = 28,19
s = √28,19 ≈ 5,31 pengunjung
Contoh 15
Data jumlah panggilan telepon per jam memiliki rata-rata 5 dan simpangan baku 2. Jika setiap data dikalikan 3 kemudian ditambah 1, tentukan rata-rata dan simpangan baku yang baru!
Pembahasan:
Transformasi: y = 3x + 1
Rata-rata baru: ȳ = 3(5) + 1 = 16
Simpangan baku baru: sy = |3| × 2 = 6
(Penambahan konstanta tidak memengaruhi simpangan baku; perkalian konstanta dikalikan langsung.)
✏️ Latihan Soal Data Cacahan
Mudah
1. Data jumlah buku yang dipinjam 6 siswa: 3, 5, 2, 4, 3, 1. Hitunglah rata-rata!
2. Data banyak saudara dari 8 anak: 0, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2. Tentukan modus!
3. Data jumlah kendaraan yang lewat per menit: 5, 8, 3, 10, 7, 6, 9. Tentukan median!
4. Sebutkan 3 contoh data cacahan dalam kehidupan sehari-hari!
5. Data jumlah skor siswa dalam kuis: 7, 8, 9, 8, 10, 7, 8. Tentukan jangkauan!
Sedang
6. Data jumlah pengunjung perpustakaan per hari: 12, 18, 15, 20, 10, 22, 14, 16, 19, 13. Hitunglah rata-rata, median, dan jangkauan!
7. Dari tabel berikut, hitunglah rata-rata!
| Jumlah Absensi (x) | f |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 1 | 8 |
| 2 | 5 |
| 3 | 2 |
8. Data jumlah hujan per bulan (hari): 5, 8, 12, 7, 10, 6, 9, 11, 4, 8. Hitunglah varians dan simpangan baku!
9. Buatlah tabel frekuensi tunggal dari data jumlah gol: 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 1. Tentukan mean dan modus!
10. Data jumlah produk cacat per hari: 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 0. Hitunglah rata-rata dan simpangan baku!
Sulit
11. Dari tabel distribusi frekuensi berikut, tentukan Q₁, Q₃, dan IQR!
| Jumlah Panggilan (x) | f |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 6 |
| 2 | 10 |
| 3 | 8 |
| 4 | 2 |
12. Rata-rata jumlah pengunjung per hari dari 10 hari adalah 25. Jika hari ke-11 mendapat 36 pengunjung, berapa rata-rata yang baru?
13. Dari tabel pada soal 11, jika setiap data dikalikan 2 lalu dikurangi 1, tentukan rata-rata, varians, dan simpangan baku yang baru!
14. Data jumlah keluhan pelanggan per hari memiliki rata-rata 4 dan varians 3. Jika selama 5 hari berturut-turut keluhan yang diterima adalah 3, 6, 2, 5, 4, apakah data tersebut konsisten dengan rata-rata dan varians yang diberikan? Buktikan!
15. Dua kelompok data digabungkan. Kelompok A: n=15, x̄=3, s²=2. Kelompok B: n=10, x̄=5, s²=3. Hitunglah rata-rata gabungan dan varians gabungan!