Menentukan Nilai Median Data Tunggal Berbobot
Materi Statistika — Panduan Lengkap
📘 Materi
Apa Itu Median Data Tunggal Berbobot?
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang telah diurutkan. Pada data tunggal berbobot, setiap nilai data memiliki bobot (frekuensi) yang menunjukkan berapa kali nilai tersebut muncul.
Perhatikan contoh berikut:
| Nilai (xᵢ) | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bobot/Frekuensi (fᵢ) | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 |
Tabel di atas menunjukkan data tunggal berbobot. Nilai 5 muncul 2 kali, nilai 7 muncul 3 kali, dst. Total data = 2+3+4+1+2 = 12 data.
Bagaimana Cara Menentukan Median pada Data Berbobot?
Pertanyaan kunci:
- Bagaimana menentukan posisi median jika data memiliki frekuensi/bobot?
- Apa perbedaan rumus median untuk jumlah data ganjil dan genap?
- Bagaimana memanfaatkan frekuensi kumulatif untuk menemukan median?
Langkah-Langkah Menentukan Median Data Tunggal Berbobot
Langkah 1: Urutkan data dari terkecil ke terbesar (biasanya sudah terurut dalam tabel).
Langkah 2: Hitung jumlah seluruh data (n).
Langkah 3: Tentukan posisi median.
Jika n ganjil: Median terletak pada data ke-(n+1)/2
Jika n genap: Median = rata-rata data ke-n/2 dan data ke-(n/2)+1
Langkah 4: Buat kolom frekuensi kumulatif (Fk) untuk menentukan letak data ke berapa berada pada nilai berapa.
| Nilai (xᵢ) | Frekuensi (fᵢ) | Frek. Kumulatif (Fk) |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 2 |
| 7 | 3 | 5 |
| 8 | 4 | 9 |
| 10 | 1 | 10 |
| 12 | 2 | 12 |
Langkah 5: Gunakan frekuensi kumulatif untuk menemukan nilai median.
Dari contoh: n = 12 (genap). Posisi median = data ke-6 dan ke-7. Lihat Fk: data ke-6 dan ke-7 berada pada baris Fk = 9 (yakni nilai 8). Maka Median = (8+8)/2 = 8.
Rumus Ringkas:
Cari nilai xᵢ di mana frekuensi kumulatif pertama kali ≥ posisi median.
• n ganjil → cari Fk pertama ≥ (n+1)/2
• n genap → cari Fk pertama ≥ n/2 (untuk data ke-n/2) dan Fk pertama ≥ (n/2)+1 (untuk data ke-(n/2)+1)
Contoh Penerapan Singkat
Diberikan data:
| xᵢ | 3 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 3 | 2 | 2 |
| Fk | 4 | 7 | 9 | 11 |
n = 11 (ganjil). Posisi median = (11+1)/2 = data ke-6. Fk pertama ≥ 6 adalah 7 (pada xᵢ = 5). Median = 5.
Rangkuman
- Urutkan data dan hitung total frekuensi (n = Σfᵢ).
- Buat frekuensi kumulatif.
- Tentukan posisi median berdasarkan n ganjil/genap.
- Gunakan frekuensi kumulatif untuk menemukan nilai pada posisi median.
- Jika n genap dan dua posisi berada pada nilai berbeda, rata-ratakan kedua nilai tersebut.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 2 | 2 |
Pembahasan:
Fk: 3, 5, 7. n = 7 (ganjil). Posisi = (7+1)/2 = 4.
Fk pertama ≥ 4 adalah 5 (pada xᵢ = 4). Median = 4.
Soal 2: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 1 | 3 | 1 |
Fk: 1, 4, 5. n = 5 (ganjil). Posisi = 3.
Fk pertama ≥ 3 adalah 4 (pada xᵢ = 20). Median = 20.
Soal 3: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 2 | 2 | 2 |
Fk: 2, 4, 6, 8. n = 8 (genap). Posisi = data ke-4 dan ke-5.
Data ke-4 → Fk pertama ≥ 4 adalah 4 (xᵢ = 3). Data ke-5 → Fk pertama ≥ 5 adalah 6 (xᵢ = 5).
Median = (3+5)/2 = 4.
Soal 4: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 4 | 2 |
Fk: 5, 9, 11. n = 11 (ganjil). Posisi = 6.
Fk pertama ≥ 6 adalah 9 (pada xᵢ = 8). Median = 8.
Soal 5: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 4 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 1 | 5 | 1 |
Fk: 1, 6, 7. n = 7 (ganjil). Posisi = 4.
Fk pertama ≥ 4 adalah 6 (pada xᵢ = 7). Median = 7.
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 5 | 7 | 4 | 1 |
Fk: 3, 8, 15, 19, 20. n = 20 (genap). Posisi = data ke-10 dan ke-11.
Data ke-10 → Fk pertama ≥ 10 adalah 15 (xᵢ = 25). Data ke-11 → Fk pertama ≥ 11 adalah 15 (xᵢ = 25).
Median = (25+25)/2 = 25.
Soal 7: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 |
Fk: 2, 6, 12, 17, 20. n = 20 (genap). Posisi = data ke-10 dan ke-11.
Fk pertama ≥ 10 adalah 12 (xᵢ = 60). Fk pertama ≥ 11 adalah 12 (xᵢ = 60).
Median = (60+60)/2 = 60.
Soal 8: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 6 | 3 | 5 | 3 |
Fk: 4, 10, 13, 18, 21. n = 21 (ganjil). Posisi = 11.
Fk pertama ≥ 11 adalah 13 (xᵢ = 9). Median = 9.
Soal 9: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 40 | 45 | 50 | 55 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 5 | 5 | 3 |
Fk: 3, 8, 13, 16. n = 16 (genap). Posisi = data ke-8 dan ke-9.
Data ke-8 → Fk pertama ≥ 8 adalah 8 (xᵢ = 45). Data ke-9 → Fk pertama ≥ 9 adalah 13 (xᵢ = 50).
Median = (45+50)/2 = 47,5.
Soal 10: Tentukan median dari data berikut.
| xᵢ | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 1 | 4 | 6 | 4 | 2 |
Fk: 1, 5, 11, 15, 17. n = 17 (ganjil). Posisi = 9.
Fk pertama ≥ 9 adalah 11 (xᵢ = 26). Median = 26.
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11: Diketahui data berbobot berikut. Jika median = 30, tentukan nilai a.
| xᵢ | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | a | 5 | 4 | 2 |
n = 3 + a + 5 + 4 + 2 = 14 + a.
Agar median = 30, posisi median harus jatuh pada xᵢ = 30 (Fk pada baris ke-3).
Fk baris ke-2 = 3 + a. Fk baris ke-3 = 3 + a + 5 = 8 + a.
Kasus n ganjil: Posisi = (15+a)/2. Syarat: 3+a < (15+a)/2 ≤ 8+a.
Dari 3+a < (15+a)/2 → 6+2a < 15+a → a < 9.
Kasus n genap: Kedua posisi median harus di baris ke-3. Syarat: 3+a < (14+a)/2 ≤ 8+a.
3+a < (14+a)/2 → 6+2a < 14+a → a < 8. Dan (14+a)/2 + 1 ≤ 8+a → 16+a ≤ 16+2a → a ≥ 0.
Jadi untuk n genap: 0 ≤ a < 8, sehingga a bisa bernilai 0,2,4,6 (genap agar n genap).
Untuk n ganjil: 14+a ganjil → a ganjil, dan a < 9 → a = 1,3,5,7.
Nilai a yang memenuhi: a ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}.
Soal 12: Data berbobot memiliki median 15. Tentukan nilai p + q.
| xᵢ | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | p | 3 | 6 | 4 | q |
Diketahui total data n = 21.
p + 3 + 6 + 4 + q = 21 → p + q = 8.
n = 21 (ganjil). Posisi median = 11. Median = 15 berarti data ke-11 ada di baris xᵢ = 15.
Fk baris ke-2 = p + 3. Syarat: p + 3 < 11 → p < 8. Dan Fk baris ke-3 = p + 9 ≥ 11 → p ≥ 2.
Jadi 2 ≤ p ≤ 7, dan q = 8 − p. p + q = 8.
Soal 13: Dua kelompok data berbobot digabungkan. Tentukan median gabungan.
Kelompok A:
| xᵢ | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 4 | 2 |
Kelompok B:
| xᵢ | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 3 | 1 |
Gabungkan dan urutkan: xᵢ = 5, 8, 10, 12, 15 dengan fᵢ = 3, 2, 7, 1, 2 (nilai 10 digabung: 4+3=7).
Fk: 3, 5, 12, 13, 15. n = 15 (ganjil). Posisi = 8.
Fk pertama ≥ 8 adalah 12 (xᵢ = 10). Median = 10.
Soal 14: Jika satu data bernilai 25 dengan frekuensi 3 ditambahkan ke data berikut, bagaimana perubahan mediannya?
| xᵢ | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 6 | 5 | 3 |
Sebelum: Fk: 4, 10, 15, 18. n=18 (genap). Posisi = 9 dan 10. Fk pertama ≥ 9 dan ≥ 10 = 10 (xᵢ=20). Median = 20.
Sesudah (tambah 25 f=3): Data terurut: 10,20,25,30,40. fᵢ: 4,6,3,5,3. Fk: 4,10,13,18,21. n=21 (ganjil). Posisi=11.
Fk pertama ≥ 11 adalah 13 (xᵢ=25). Median berubah dari 20 menjadi 25.
Soal 15: Data berikut memiliki median 50. Tentukan kemungkinan nilai m (bilangan bulat positif).
| xᵢ | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | m | 4 | 8 | 3 | 2 |
n = m + 4 + 8 + 3 + 2 = m + 17. Fk: m, m+4, m+12, m+15, m+17.
Agar median = 50, posisi median harus jatuh di baris xᵢ = 50 (Fk = m+12).
n ganjil (m+17 ganjil → m genap): Posisi = (m+18)/2. Syarat: m+4 < (m+18)/2 ≤ m+12.
m+4 < (m+18)/2 → 2m+8 < m+18 → m < 10. Dan (m+18)/2 ≤ m+12 → m+18 ≤ 2m+24 → m ≥ −6 (selalu benar).
n genap (m ganjil): Posisi data ke-(m+17)/2 dan ke-(m+19)/2. Keduanya harus ≤ m+12 dan > m+4.
(m+19)/2 ≤ m+12 → m ≥ −5 (benar). (m+17)/2 > m+4 → m < 9.
Jawaban: m ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (untuk m genap: 2,4,6,8; m ganjil: 1,3,5,7).
🏋️ Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan median.
| xᵢ | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 3 | 2 |
2. Tentukan median.
| xᵢ | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 1 | 3 | 3 | 1 |
3. Tentukan median.
| xᵢ | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 5 | 4 |
4. Tentukan median.
| xᵢ | 7 | 9 | 11 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 6 | 3 | 6 |
5. Tentukan median.
| xᵢ | 100 | 200 | 300 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 1 | 2 |
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan median.
| xᵢ | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 5 | 8 | 3 | 2 |
7. Tentukan median.
| xᵢ | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | 7 | 6 | 7 | 3 |
8. Tentukan median.
| xᵢ | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 1 | 3 | 5 | 5 | 3 | 1 |
9. Tentukan median.
| xᵢ | 4 | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 5 | 3 | 3 |
10. Tentukan median.
| xᵢ | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 4 | 4 | 4 | 2 |
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11. Jika median data berikut adalah 25, tentukan nilai k (bilangan bulat positif).
| xᵢ | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | k | 3 | 7 | 4 | 2 |
12. Data A dan B digabungkan. Tentukan median gabungan.
Data A:
| xᵢ | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 3 | 2 |
Data B:
| xᵢ | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 4 | 3 |
13. Setelah ditambahkan data bernilai 50 dengan frekuensi 4, median berubah dari 40 menjadi 45. Tentukan kemungkinan data awal yang konsisten.
| xᵢ | 30 | 40 | 45 | 55 |
|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 3 | a | 5 | 2 |
14. Tentukan median dan jelaskan apakah median berubah jika frekuensi nilai terbesar ditambah 10.
| xᵢ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 8 | 7 | 5 | 3 | 2 |
15. Data berikut memiliki n = 25 dan median = 70. Tentukan nilai p dan q jika p + q = 7 dan p > q.
| xᵢ | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | p | 5 | 8 | q | 2 |