Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Modus Tollens
Logika Matematika — Penarikan Kesimpulan
Pengertian Modus Tollens
Modus Tollens adalah salah satu aturan penarikan kesimpulan (inferensi) yang sah dalam logika matematika. Aturan ini digunakan untuk menarik kesimpulan dari suatu implikasi dan ingkaran konsekuen-nya.
Struktur Modus Tollens
Premis 1 : p → q
Premis 2 : ∼q
─────────────
Kesimpulan : ∴ ∼p
Artinya:
- Premis 1: Jika p maka q (p → q)
- Premis 2: Bukan q / q salah (∼q)
- Kesimpulan: Maka bukan p / p salah (∴ ∼p)
Secara sederhana: “Jika p menyebabkan q, dan q tidak terjadi, maka p juga tidak terjadi.”
Simbol-Simbol yang Digunakan
| Simbol | Dibaca | Arti |
|---|---|---|
| → | Implikasi | Jika … maka … |
| ∼ | Negasi | Bukan / Tidak / Ingkaran |
| ∴ | Jadi / Maka | Kesimpulan |
| p, q | Pernyataan | Variabel proposisi |
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran
Modus Tollens sah (valid) karena merupakan tautologi. Berikut pembuktiannya:
Modus Tollens dalam bentuk logika: ((p → q) ∧ ∼q) → ∼p
| p | q | p → q | ∼q | (p→q) ∧ ∼q | ∼p | ((p→q)∧∼q)→∼p |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | B |
| B | S | S | B | S | S | B |
| S | B | B | S | S | B | B |
| S | S | B | B | B | B | B |
✓ Kolom terakhir seluruhnya bernilai Benar (B), sehingga Modus Tollens adalah TAUTOLOGI dan merupakan penarikan kesimpulan yang SAH.
Langkah-Langkah Menggunakan Modus Tollens
- Identifikasi premis 1 — Cari pernyataan yang berbentuk implikasi (p → q): “Jika … maka …”
- Identifikasi premis 2 — Cari pernyataan yang merupakan ingkaran (negasi) dari konsekuen (bagian “maka”): ∼q
- Tarik kesimpulan — Kesimpulannya adalah ingkaran dari anteseden (bagian “jika”): ∼p
Ingat Kunci:
Modus Tollens = Menyangkal Konsekuen → Menyangkal Anteseden
(Konsekuen = bagian “maka”, Anteseden = bagian “jika”)
Perbedaan Modus Tollens dan Modus Ponens
| Aspek | Modus Ponens | Modus Tollens |
|---|---|---|
| Premis 1 | p → q | p → q |
| Premis 2 | p | ∼q |
| Kesimpulan | ∴ q | ∴ ∼p |
| Prinsip | Menegaskan anteseden | Menyangkal konsekuen |
Pertanyaan Kritis
Setelah mempelajari materi di atas, coba pikirkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa kita tidak boleh menyangkal anteseden untuk menyimpulkan ingkaran konsekuen?
- Apa yang terjadi jika premis 2 bukan ∼q melainkan q?
- Bagaimana cara membedakan kapan menggunakan Modus Tollens dan kapan menggunakan Modus Ponens?
- Dapatkah Modus Tollens digunakan jika premis 1 bukan implikasi melainkan biimplikasi?
Aktivitas Mencoba
Lakukan kegiatan berikut untuk memahami Modus Tollens lebih dalam:
- Buatlah 3 contoh pernyataan implikasi dari kehidupan sehari-hari.
- Untuk setiap implikasi, tuliskan ingkaran konsekuennya.
- Tarik kesimpulan menggunakan Modus Tollens.
- Verifikasi kebenaran kesimpulan dengan logika sehari-hari.
Contoh Aktivitas:
Premis 1: “Jika hujan turun, maka jalanan basah.”
Premis 2: “Jalanan tidak basah.”
Kesimpulan: “Jadi, hujan tidak turun.” ✓
Kegiatan Mengkomunikasikan
Setelah memahami Modus Tollens, komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan kepada teman sebangkumu apa itu Modus Tollens dengan kata-katamu sendiri.
- Berikan contoh penerapan Modus Tollens dalam kehidupan sehari-hari.
- Diskusikan: Mengapa Modus Tollens penting dalam berpikir logis?
- Presentasikan hasil diskusimu di depan kelas.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Premis 1: Jika Andi rajin belajar, maka Andi lulus ujian.
Premis 2: Andi tidak lulus ujian.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Identifikasi bentuk.
p = Andi rajin belajar; q = Andi lulus ujian
Premis 1: p → q
Premis 2: ∼q (Andi tidak lulus ujian)
Langkah 2: Gunakan Modus Tollens.
Kesimpulan: ∼p = Andi tidak rajin belajar. ✓
Contoh Soal 2
Premis 1: Jika lampu menyala, maka ada listrik.
Premis 2: Tidak ada listrik.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = lampu menyala; q = ada listrik
Premis 1: p → q
Premis 2: ∼q (tidak ada listrik)
Kesimpulan: ∼p = Lampu tidak menyala. ✓
Contoh Soal 3
Premis 1: Jika hari minggu, maka sekolah libur.
Premis 2: Sekolah tidak libur.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = hari minggu; q = sekolah libur
Premis 1: p → q; Premis 2: ∼q
Kesimpulan: ∼p = Hari ini bukan hari minggu. ✓
Contoh Soal 4
Premis 1: Jika x = 5, maka x² = 25.
Premis 2: x² ≠ 25.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = x = 5; q = x² = 25
Premis 1: p → q; Premis 2: ∼q (x² ≠ 25)
Kesimpulan: ∼p = x ≠ 5. ✓
Contoh Soal 5
Premis 1: Jika Budi sakit, maka Budi tidak masuk sekolah.
Premis 2: Budi masuk sekolah.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = Budi sakit; q = Budi tidak masuk sekolah
Premis 2: Budi masuk sekolah = ∼q (ingkaran dari “tidak masuk sekolah”)
Kesimpulan: ∼p = Budi tidak sakit. ✓
🟡 Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Premis 1: Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 2.
Premis 2: Bilangan n tidak habis dibagi 2.
Tentukan kesimpulannya dan jelaskan!
Lihat Pembahasan
p = bilangan habis dibagi 4; q = bilangan habis dibagi 2
Premis 1: p → q; Premis 2: ∼q (tidak habis dibagi 2)
Dengan Modus Tollens: ∼p
Kesimpulan: Bilangan n tidak habis dibagi 4. ✓
Penjelasan: Jika bilangan ganjil (tidak habis dibagi 2), maka sudah pasti tidak habis dibagi 4.
Contoh Soal 7
Premis 1: Jika segitiga ABC siku-siku di C, maka berlaku a² + b² = c².
Premis 2: Pada segitiga ABC, a² + b² ≠ c².
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = segitiga ABC siku-siku di C; q = a² + b² = c²
Premis 2: ∼q (a² + b² ≠ c²)
Kesimpulan: ∼p = Segitiga ABC bukan segitiga siku-siku di C. ✓
Contoh Soal 8
Premis 1: Jika f(x) kontinu di x = a, maka limit f(x) untuk x mendekati a ada.
Premis 2: Limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = f(x) kontinu di x = a; q = limit f(x) untuk x→a ada
Premis 2: ∼q
Kesimpulan: ∼p = f(x) tidak kontinu di x = a. ✓
Contoh Soal 9
Diketahui:
Premis 1: Jika semua siswa lulus, maka akan diadakan pesta kelulusan.
Premis 2: Jika diadakan pesta kelulusan, maka sekolah mengeluarkan anggaran.
Premis 3: Sekolah tidak mengeluarkan anggaran.
Tentukan kesimpulannya!
Lihat Pembahasan
p = semua siswa lulus; q = diadakan pesta kelulusan; r = sekolah mengeluarkan anggaran
Premis 1: p → q; Premis 2: q → r; Premis 3: ∼r
Langkah 1: Dari premis 2 dan premis 3, gunakan Modus Tollens:
q → r dan ∼r → ∴ ∼q (tidak diadakan pesta kelulusan)
Langkah 2: Dari premis 1 dan ∼q, gunakan Modus Tollens lagi:
p → q dan ∼q → ∴ ∼p
Kesimpulan: ∼p = Tidak semua siswa lulus (ada siswa yang tidak lulus). ✓
Contoh Soal 10
Premis 1: Jika n² genap, maka n genap.
Premis 2: n ganjil (n tidak genap).
Tentukan kesimpulannya dan buktikan dengan contoh!
Lihat Pembahasan
p = n² genap; q = n genap
Premis 2: ∼q (n tidak genap, yaitu n ganjil)
Dengan Modus Tollens: ∼p
Kesimpulan: ∼p = n² tidak genap (n² ganjil). ✓
Verifikasi: Jika n = 3 (ganjil), maka n² = 9 (ganjil). Benar! ✓
🔴 Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Diketahui:
Premis 1: Jika cuaca cerah dan angin tenang, maka pesawat bisa terbang.
Premis 2: Pesawat tidak bisa terbang.
Tentukan kesimpulannya! Apakah kita bisa menyimpulkan cuaca tidak cerah?
Lihat Pembahasan
p = cuaca cerah ∧ angin tenang (konjungsi); q = pesawat bisa terbang
Premis 1: (p₁ ∧ p₂) → q; Premis 2: ∼q
Modus Tollens: ∼(p₁ ∧ p₂)
Menurut Hukum De Morgan: ∼(p₁ ∧ p₂) ≡ ∼p₁ ∨ ∼p₂
Kesimpulan: Cuaca tidak cerah ATAU angin tidak tenang (atau keduanya). ✓
Kita TIDAK bisa menyimpulkan pasti “cuaca tidak cerah” saja. Yang pasti adalah salah satu (atau kedua) syarat tidak terpenuhi.
Contoh Soal 12
Diketahui:
Premis 1: Jika p → q bernilai benar dan q → r bernilai benar, maka p → r bernilai benar. (Silogisme)
Premis 2: p → r bernilai salah.
Tentukan kesimpulannya menggunakan Modus Tollens!
Lihat Pembahasan
Misalkan: A = (p→q bernilai benar) ∧ (q→r bernilai benar); B = p→r bernilai benar
Premis 1: A → B; Premis 2: ∼B (p→r bernilai salah)
Modus Tollens: ∼A
∼A = ∼((p→q benar) ∧ (q→r benar))
De Morgan: (p→q salah) ∨ (q→r salah)
Kesimpulan: p → q bernilai salah ATAU q → r bernilai salah (setidaknya satu implikasi tidak berlaku). ✓
Contoh Soal 13
Diketahui:
Premis 1: Jika √2 rasional, maka √2 = a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0, FPB(a,b) = 1.
Premis 2: Jika √2 = a/b, maka 2b² = a² (sehingga a genap).
Premis 3: Jika a genap, maka a = 2k, sehingga 2b² = 4k², artinya b² = 2k² (b genap).
Premis 4: Jika a dan b keduanya genap, maka FPB(a,b) ≠ 1.
Fakta: Kita telah menetapkan FPB(a,b) = 1 (kontradiksi dengan premis 4).
Gunakan Modus Tollens untuk menunjukkan √2 irasional!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari premis 4: Jika a dan b genap → FPB(a,b) ≠ 1.
Tapi kita asumsikan FPB(a,b) = 1, artinya ∼(FPB ≠ 1) = FPB = 1.
Ini bukan langsung ∼q untuk premis 4. Kita perlu melihat ini sebagai kontradiksi.
Langkah 2: Dari rantai premis 1-4, kita dapat:
“Jika √2 rasional → … → FPB(a,b) ≠ 1”
Bentuknya: p → ∼s (dengan s = FPB(a,b) = 1)
Langkah 3: Kita tahu s benar (FPB(a,b) = 1 adalah syarat awal), sehingga ∼(∼s) = s.
Modus Tollens pada keseluruhan: p → ∼s dan s (yaitu ∼(∼s)), maka ∼p.
Kesimpulan: ∼p = √2 BUKAN bilangan rasional, yaitu √2 irasional. ✓
Ini adalah bukti klasik irasionalitas √2 yang menggunakan prinsip Modus Tollens!
Contoh Soal 14
Tentukan apakah argumen berikut sah, dan jika ya, sebutkan aturan inferensi yang digunakan:
Premis 1: (p ∨ q) → (r ∧ s)
Premis 2: ∼r
Kesimpulan: ∼p
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari ∼r, kita tahu ∼(r ∧ s) karena jika r salah, maka r ∧ s pasti salah.
Alasan: ∼r → ∼(r ∧ s) [jika salah satu konjungsi salah, keseluruhan salah]
Langkah 2: Dari premis 1 dan ∼(r ∧ s), gunakan Modus Tollens:
(p ∨ q) → (r ∧ s) dan ∼(r ∧ s) → ∼(p ∨ q)
Langkah 3: ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q (De Morgan)
Dari ∼p ∧ ∼q, kita dapat ∼p (simplifikasi).
Argumen SAH. ✓
Aturan yang digunakan: Modus Tollens + Hukum De Morgan + Simplifikasi.
Bonus: Kita bahkan bisa menyimpulkan ∼p ∧ ∼q (lebih kuat dari sekadar ∼p).
Contoh Soal 15
Diketahui sistem argumen:
Premis 1: p → (q → r)
Premis 2: ∼r
Premis 3: p
Tentukan kesimpulan yang sah!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari premis 1 dan premis 3, gunakan Modus Ponens:
p → (q → r) dan p → ∴ q → r
Langkah 2: Kita sekarang punya q → r dan ∼r (premis 2).
Gunakan Modus Tollens: q → r dan ∼r → ∴ ∼q
Kesimpulan: ∼q. ✓
Soal ini menggabungkan Modus Ponens (langkah 1) dan Modus Tollens (langkah 2).
✍️ Latihan Soal
(Kerjakan tanpa melihat pembahasan untuk mengukur pemahamanmu!)
🟢 Tingkat Mudah
Latihan 1
Premis 1: Jika Siti membawa payung, maka Siti tidak kehujanan.
Premis 2: Siti kehujanan.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 2
Premis 1: Jika hewan itu kucing, maka hewan itu berkaki empat.
Premis 2: Hewan itu tidak berkaki empat.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 3
Premis 1: Jika bilangan n habis dibagi 10, maka n habis dibagi 5.
Premis 2: n tidak habis dibagi 5.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 4
Premis 1: Jika Rudi makan terlalu banyak, maka Rudi sakit perut.
Premis 2: Rudi tidak sakit perut.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 5
Premis 1: Jika suhu di bawah 0°C, maka air membeku.
Premis 2: Air tidak membeku.
Tentukan kesimpulannya!
🟡 Tingkat Sedang
Latihan 6
Premis 1: Jika suatu fungsi f diferensiabel di x = a, maka f kontinu di x = a.
Premis 2: f tidak kontinu di x = a.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 7
Premis 1: Jika Tim A menang, maka Tim A lolos ke final.
Premis 2: Jika Tim A lolos ke final, maka pelatih mendapat bonus.
Premis 3: Pelatih tidak mendapat bonus.
Tentukan kesimpulan yang sah menggunakan Modus Tollens bertahap!
Latihan 8
Premis 1: Jika ABCD adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang.
Premis 2: Tidak semua sisi ABCD sama panjang.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 9
Premis 1: Jika n bilangan prima dan n > 2, maka n ganjil.
Premis 2: n genap (tidak ganjil) dan n > 2.
Tentukan kesimpulannya!
Latihan 10
Premis 1: Jika seseorang berusia di atas 17 tahun dan memiliki KTP, maka ia boleh memilih dalam pemilu.
Premis 2: Ani tidak boleh memilih dalam pemilu.
Tentukan kesimpulannya!
🔴 Tingkat Sulit
Latihan 11
Premis 1: (p ∧ q) → r
Premis 2: ∼r
Tentukan kesimpulannya dan sederhanakan menggunakan Hukum De Morgan!
Latihan 12
Premis 1: p → (q ∨ r)
Premis 2: ∼q ∧ ∼r
Tentukan kesimpulannya! (Petunjuk: Gunakan De Morgan pada premis 2)
Latihan 13
Diketahui argumen:
Premis 1: p → q
Premis 2: q → (r ∧ s)
Premis 3: ∼s
Tunjukkan bahwa kesimpulan ∼p sah, dan sebutkan setiap aturan inferensi yang digunakan pada tiap langkah!
Latihan 14
Premis 1: (p → q) → (r → s)
Premis 2: r ∧ ∼s
Tentukan kesimpulannya! (Petunjuk: Dari premis 2, apa yang bisa disimpulkan tentang r → s?)
Latihan 15
Buktikan bahwa argumen berikut sah menggunakan aturan-aturan inferensi (termasuk Modus Tollens):
Premis 1: p → (q → r)
Premis 2: s → q
Premis 3: ∼r
Premis 4: p
Kesimpulan: ∼s
Tuliskan setiap langkah beserta aturan inferensi yang digunakan!