Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Kaidah Silogisme
Logika Matematika
📘 Materi: Kaidah Silogisme
Perhatikan pernyataan berikut:
Premis 1: Jika hari hujan, maka jalanan basah.
Premis 2: Jika jalanan basah, maka kendaraan melaju pelan.
Kesimpulan: Jika hari hujan, maka kendaraan melaju pelan.
Penarikan kesimpulan di atas menggunakan Kaidah Silogisme (Silogisme Hipotetis). Kaidah ini menghubungkan dua implikasi yang memiliki “rantai” penghubung.
- Apa syarat agar kaidah silogisme dapat diterapkan?
- Bagaimana bentuk simbolis kaidah silogisme?
- Kapan kaidah silogisme menghasilkan kesimpulan yang sah (valid)?
Definisi
Kaidah Silogisme adalah aturan penarikan kesimpulan dari dua premis yang berbentuk implikasi, di mana konsekuen (bagian “maka”) dari premis pertama sama dengan anteseden (bagian “jika”) dari premis kedua.
Bentuk Simbolis
| p → q | (Premis 1) |
| q → r | (Premis 2) |
| ∴ p → r | (Kesimpulan) |
Secara tautologi, kaidah silogisme dinyatakan sebagai:
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Tabel Kebenaran Pembuktian
| p | q | r | p→q | q→r | (p→q)∧(q→r) | p→r | Tautologi? |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B | B | B→B = B ✓ |
| B | B | S | B | S | S | S | S→S = B ✓ |
| B | S | B | S | B | S | B | S→B = B ✓ |
| B | S | S | S | B | S | S | S→S = B ✓ |
| S | B | B | B | B | B | B | B→B = B ✓ |
| S | B | S | B | S | S | B | S→B = B ✓ |
| S | S | B | B | B | B | B | B→B = B ✓ |
| S | S | S | B | B | B | B | B→B = B ✓ |
Keterangan: B = Benar, S = Salah. Kolom terakhir selalu bernilai Benar → Tautologi terbukti.
Syarat Penerapan
- Kedua premis harus berbentuk implikasi (→).
- Konsekuen premis 1 harus identik dengan anteseden premis 2.
- Kesimpulan berupa implikasi dari anteseden premis 1 ke konsekuen premis 2.
Silogisme Berantai (Lebih dari 2 Premis)
Kaidah silogisme dapat diperluas untuk lebih dari dua premis:
| p → q |
| q → r |
| r → s |
| ∴ p → s |
Cobalah identifikasi premis dan kesimpulan berikut menggunakan kaidah silogisme:
Premis 1: Jika Ani rajin belajar, maka Ani lulus ujian.
Premis 2: Jika Ani lulus ujian, maka Ani diterima di universitas.
Langkah:
- Misalkan: p = “Ani rajin belajar”, q = “Ani lulus ujian”, r = “Ani diterima di universitas”
- Premis 1: p → q
- Premis 2: q → r
- Konsekuen premis 1 (q) = Anteseden premis 2 (q) ✓
- Kesimpulan: p → r → “Jika Ani rajin belajar, maka Ani diterima di universitas.”
Kaidah Silogisme dapat dirangkum sebagai berikut:
Ringkasan Kaidah Silogisme
- ✅ Menggabungkan dua implikasi menjadi satu implikasi baru
- ✅ Syarat: konsekuen premis 1 = anteseden premis 2
- ✅ Bentuk: (p→q) ∧ (q→r) ⊨ p→r
- ✅ Merupakan tautologi (selalu bernilai benar)
- ✅ Dapat diperluas untuk rantai implikasi lebih dari dua
📝 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Premis 1: Jika x > 5, maka x > 3.
Premis 2: Jika x > 3, maka x > 0.
Tentukan kesimpulan yang sah!
Pembahasan
Misalkan: p: x > 5, q: x > 3, r: x > 0
Premis 1: p → q
Premis 2: q → r
Dengan kaidah silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika x > 5, maka x > 0.
Contoh 2
Premis 1: Jika hari Senin, maka ada upacara.
Premis 2: Jika ada upacara, maka siswa datang lebih awal.
Tentukan kesimpulan yang sah!
Pembahasan
p: hari Senin, q: ada upacara, r: siswa datang lebih awal
Premis 1: p → q, Premis 2: q → r
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika hari Senin, maka siswa datang lebih awal.
Contoh 3
Premis 1: Jika Budi sakit, maka Budi tidak masuk sekolah.
Premis 2: Jika Budi tidak masuk sekolah, maka Budi ketinggalan pelajaran.
Tentukan kesimpulan yang sah!
Pembahasan
p: Budi sakit, q: Budi tidak masuk sekolah, r: Budi ketinggalan pelajaran
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika Budi sakit, maka Budi ketinggalan pelajaran.
Contoh 4
Premis 1: Jika lampu merah menyala, maka kendaraan berhenti.
Premis 2: Jika kendaraan berhenti, maka pejalan kaki menyeberang.
Tentukan kesimpulan yang sah!
Pembahasan
p: lampu merah menyala, q: kendaraan berhenti, r: pejalan kaki menyeberang
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika lampu merah menyala, maka pejalan kaki menyeberang.
Contoh 5
Premis 1: Jika n bilangan genap, maka n habis dibagi 2.
Premis 2: Jika n habis dibagi 2, maka n bukan bilangan ganjil.
Tentukan kesimpulan yang sah!
Pembahasan
p: n bilangan genap, q: n habis dibagi 2, r: n bukan bilangan ganjil
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika n bilangan genap, maka n bukan bilangan ganjil.
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Premis 1: Jika x² = 9, maka x = 3 atau x = −3.
Premis 2: Jika x = 3 atau x = −3, maka |x| = 3.
Tentukan kesimpulan dan tuliskan dalam bentuk simbolis!
Pembahasan
p: x² = 9, q: x = 3 atau x = −3, r: |x| = 3
Premis 1: p → q, Premis 2: q → r
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika x² = 9, maka |x| = 3.
Simbolis: [(p→q) ∧ (q→r)] → (p→r) ✓
Contoh 7
Diketahui tiga premis:
Premis 1: Jika cuaca panas, maka es mencair.
Premis 2: Jika es mencair, maka volume air bertambah.
Premis 3: Jika volume air bertambah, maka terjadi banjir.
Tentukan kesimpulan akhir!
Pembahasan
p: cuaca panas, q: es mencair, r: volume air bertambah, s: terjadi banjir
Premis 1: p→q, Premis 2: q→r, Premis 3: r→s
Silogisme berantai: p→q, q→r ⊨ p→r, kemudian p→r, r→s ⊨ p→s
Kesimpulan: Jika cuaca panas, maka terjadi banjir.
Contoh 8
Premis 1: ~p → q
Premis 2: q → r
Premis 3: r → s
Tentukan kesimpulan dalam bentuk simbolis!
Pembahasan
Dari ~p→q dan q→r, silogisme menghasilkan: ~p→r
Dari ~p→r dan r→s, silogisme menghasilkan: ~p→s
Kesimpulan: ~p → s
Contoh 9
Premis 1: Jika segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang.
Premis 2: Jika ketiga sisinya sama panjang, maka ketiga sudutnya sama besar (60°).
Tentukan kesimpulan dan verifikasi dengan contoh!
Pembahasan
p: segitiga sama sisi, q: ketiga sisi sama panjang, r: ketiga sudut = 60°
Silogisme: p → r
Kesimpulan: Jika segitiga sama sisi, maka ketiga sudutnya sama besar (60°).
Verifikasi: Segitiga dengan sisi 5 cm, 5 cm, 5 cm → sudut-sudutnya 60°, 60°, 60° ✓
Contoh 10
Tentukan apakah penarikan kesimpulan berikut sah:
Premis 1: Jika a habis dibagi 4, maka a habis dibagi 2.
Premis 2: Jika a habis dibagi 6, maka a habis dibagi 3.
Kesimpulan: Jika a habis dibagi 4, maka a habis dibagi 3.
Pembahasan
Premis 1: p → q (p: habis dibagi 4, q: habis dibagi 2)
Premis 2: r → s (r: habis dibagi 6, s: habis dibagi 3)
Konsekuen premis 1 (q) ≠ Anteseden premis 2 (r)
Kesimpulan TIDAK SAH. Kaidah silogisme tidak dapat diterapkan karena tidak ada rantai penghubung antara kedua premis.
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Premis 1: p → (q ∧ r)
Premis 2: (q ∧ r) → ~s
Premis 3: ~s → t
Tentukan kesimpulan dan nyatakan dalam kalimat jika: p = “hujan deras”, q = “jalan licin”, r = “banjir”, s = “lalu lintas lancar”, t = “macet”.
Pembahasan
Silogisme bertahap:
• p → (q∧r) dan (q∧r) → ~s ⊨ p → ~s
• p → ~s dan ~s → t ⊨ p → t
Kesimpulan simbolis: p → t
Kesimpulan kalimat: “Jika hujan deras, maka macet.”
Contoh 12
Diketahui:
Premis 1: (p ∨ q) → r
Premis 2: r → (s ∧ t)
Premis 3: (s ∧ t) → ~u
Jika p benar, tentukan nilai kebenaran u!
Pembahasan
Silogisme berantai: (p∨q) → r → (s∧t) → ~u
Jadi: (p∨q) → ~u
Jika p benar, maka (p∨q) benar (disjungsi dengan salah satu benar → benar)
Karena (p∨q) benar dan (p∨q)→~u, maka ~u benar (modus ponens)
Jadi u bernilai SALAH.
Contoh 13
Buktikan bahwa argumen berikut valid menggunakan kaidah silogisme dan kaidah lain:
Premis 1: p → q
Premis 2: q → r
Premis 3: p
Kesimpulan: r
Pembahasan
Langkah 1: Dari premis 1 dan 2, gunakan silogisme:
p→q dan q→r ⊨ p→r
Langkah 2: Dari hasil langkah 1 (p→r) dan premis 3 (p), gunakan Modus Ponens:
p→r dan p ⊨ r
Kesimpulan r terbukti valid. ✓
Contoh 14
Premis 1: ~p → q
Premis 2: q → (r ∨ s)
Premis 3: (r ∨ s) → t
Premis 4: ~t
Tentukan nilai kebenaran p!
Pembahasan
Langkah 1: Silogisme berantai premis 1, 2, 3:
~p → q → (r∨s) → t, jadi ~p → t
Langkah 2: Kontraposisi dari ~p → t adalah ~t → ~~p, yaitu ~t → p
Langkah 3: Dari ~t → p dan premis 4 (~t benar), Modus Ponens:
~t → p dan ~t ⊨ p
Jadi p bernilai BENAR.
Contoh 15
Tentukan apakah argumen berikut valid:
Premis 1: Jika f(x) kontinu di [a,b], maka f(x) terintegralkan di [a,b].
Premis 2: Jika f(x) terintegralkan di [a,b], maka ∫ₐᵇ f(x)dx ada.
Premis 3: f(x) = x² kontinu di [0,1].
Kesimpulan: ∫₀¹ x² dx ada.
Pembahasan
p: f(x) kontinu di [a,b], q: f(x) terintegralkan di [a,b], r: ∫ₐᵇ f(x)dx ada
Langkah 1 (Silogisme): p→q dan q→r ⊨ p→r
“Jika f(x) kontinu di [a,b], maka ∫ₐᵇ f(x)dx ada.”
Langkah 2 (Modus Ponens): p→r dan p (f(x)=x² kontinu di [0,1]) ⊨ r
Kesimpulan valid: ∫₀¹ x² dx ada. ✓
(Verifikasi: ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 ✓)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Premis 1: Jika hari panas, maka Dina membawa payung. Premis 2: Jika Dina membawa payung, maka Dina tidak kehujanan. Tentukan kesimpulannya!
2. Premis 1: Jika m > 10, maka m > 7. Premis 2: Jika m > 7, maka m > 0. Tentukan kesimpulannya!
3. Premis 1: Jika listrik padam, maka lampu mati. Premis 2: Jika lampu mati, maka ruangan gelap. Tentukan kesimpulannya!
4. Premis 1: p → q. Premis 2: q → r. Nyatakan kesimpulannya dalam bentuk simbolis!
5. Premis 1: Jika ABCD persegi, maka ABCD persegi panjang. Premis 2: Jika ABCD persegi panjang, maka ABCD jajar genjang. Tentukan kesimpulannya!
🟡 Tingkat Sedang
6. Premis 1: p → q. Premis 2: q → r. Premis 3: r → s. Tentukan kesimpulan akhir dan tuliskan bentuk tautologinya!
7. Premis 1: Jika sin x = 0, maka x = nπ. Premis 2: Jika x = nπ, maka cos x = ±1. Tentukan kesimpulannya!
8. Tentukan apakah penarikan kesimpulan berikut sah: Premis 1: Jika a > b, maka a − b > 0. Premis 2: Jika c > d, maka c − d > 0. Kesimpulan: Jika a > b, maka c > d.
9. Premis 1: ~p → q. Premis 2: q → ~r. Tentukan kesimpulan dan kontraposisinya!
10. Premis 1: Jika f'(x) > 0, maka f(x) naik. Premis 2: Jika f(x) naik, maka f(a) < f(b) untuk a < b. Premis 3: f'(x) = 2x > 0 untuk x > 0. Tentukan kesimpulan untuk f(x) = x² pada interval (0, ∞)!
🔴 Tingkat Sulit
11. Premis 1: (p ∧ q) → r. Premis 2: r → (s ∨ t). Premis 3: (s ∨ t) → ~u. Jika p dan q keduanya benar, tentukan nilai kebenaran u!
12. Premis 1: p → q. Premis 2: q → r. Premis 3: ~r. Dengan menggabungkan silogisme dan modus tollens, tentukan nilai kebenaran p!
13. Premis 1: ~p → (q ∧ r). Premis 2: (q ∧ r) → s. Premis 3: s → t. Premis 4: ~t. Buktikan bahwa p bernilai benar!
14. Diketahui: Premis 1: (p ∨ q) → r. Premis 2: r → ~s. Premis 3: s. Dengan menggunakan silogisme, modus tollens, dan hukum De Morgan, tentukan hubungan antara p dan q!
15. Buktikan validitas argumen berikut menggunakan kaidah silogisme dan kaidah penarikan kesimpulan lainnya: Premis 1: p → (q → r). Premis 2: (q → r) → (s → t). Premis 3: p. Premis 4: s. Kesimpulan: t.