Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Ingkaran Konjungsi dan Disjungsi
Logika Matematika
📘 Materi
A. Pengertian Ingkaran (Negasi)
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran berlawanan dari pernyataan aslinya.
Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran dari p ditulis ~p (dibaca: “tidak p” atau “negasi p”).
| p | ~p |
|---|---|
| B (Benar) | S (Salah) |
| S (Salah) | B (Benar) |
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan berikut:
- p: “5 adalah bilangan ganjil” (Benar)
- q: “6 adalah bilangan ganjil” (Salah)
- Konjungsi: p ∧ q → “5 adalah bilangan ganjil dan 6 adalah bilangan ganjil” (Salah)
- Disjungsi: p ∨ q → “5 adalah bilangan ganjil atau 6 adalah bilangan ganjil” (Benar)
Amati: Bagaimana jika kita mengingkari konjungsi dan disjungsi tersebut?
B. Ingkaran Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “dan” (dilambangkan ∧).
Rumus Ingkaran Konjungsi (Hukum De Morgan I)
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Ingkaran dari “p dan q” ekuivalen dengan “tidak p atau tidak q”
Penjelasan: Ingkaran konjungsi mengubah kata hubung “dan” (∧) menjadi “atau” (∨), serta masing-masing pernyataan komponen diingkari.
Tabel Kebenaran Ingkaran Konjungsi:
| p | q | p ∧ q | ~(p ∧ q) | ~p | ~q | ~p ∨ ~q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | B |
Perhatikan bahwa kolom ~(p ∧ q) dan ~p ∨ ~q selalu sama → keduanya ekuivalen (≡).
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati tabel kebenaran di atas, ajukan pertanyaan:
- Mengapa kata hubung “dan” berubah menjadi “atau” ketika diingkari?
- Apakah pola yang sama berlaku untuk disjungsi?
- Bagaimana cara menentukan ingkaran dari kalimat sehari-hari yang menggunakan “dan”?
C. Ingkaran Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau” (dilambangkan ∨).
Rumus Ingkaran Disjungsi (Hukum De Morgan II)
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Ingkaran dari “p atau q” ekuivalen dengan “tidak p dan tidak q”
Penjelasan: Ingkaran disjungsi mengubah kata hubung “atau” (∨) menjadi “dan” (∧), serta masing-masing pernyataan komponen diingkari.
Tabel Kebenaran Ingkaran Disjungsi:
| p | q | p ∨ q | ~(p ∨ q) | ~p | ~q | ~p ∧ ~q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | B | S | S |
| S | S | S | B | B | B | B |
Perhatikan bahwa kolom ~(p ∨ q) dan ~p ∧ ~q selalu sama → keduanya ekuivalen (≡).
🧠 Kegiatan: Menalar
Berdasarkan kedua hukum De Morgan, kita dapat menyimpulkan pola:
- Mengingkari konjungsi → kata hubung “dan” berubah menjadi “atau”, kedua komponen diingkari
- Mengingkari disjungsi → kata hubung “atau” berubah menjadi “dan”, kedua komponen diingkari
- Kesimpulan: Ingkaran selalu mengubah kata hubung ke lawannya dan mengingkari setiap komponen.
D. Ringkasan Rumus
| Pernyataan Majemuk | Ingkaran | Keterangan |
|---|---|---|
| p ∧ q | ~p ∨ ~q | “dan” → “atau” |
| p ∨ q | ~p ∧ ~q | “atau” → “dan” |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:
- “Jakarta adalah ibu kota Indonesia dan Bandung adalah ibu kota Jawa Barat”
→ Jawaban: “Jakarta bukan ibu kota Indonesia atau Bandung bukan ibu kota Jawa Barat” - “2 bilangan genap atau 3 bilangan genap”
→ Jawaban: “2 bukan bilangan genap dan 3 bukan bilangan genap”
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan bahasa sendiri mengapa Hukum De Morgan berlaku berdasarkan tabel kebenaran.
- Berikan masing-masing 2 contoh pernyataan konjungsi dan disjungsi dalam kehidupan sehari-hari beserta ingkarannya.
- Presentasikan hasilnya di depan kelas.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan ingkaran dari: “4 bilangan genap dan 7 bilangan ganjil”
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “4 bilangan genap”, q: “7 bilangan ganjil”
Pernyataan: p ∧ q
Rumus: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Jawaban: “4 bukan bilangan genap atau 7 bukan bilangan ganjil”
Soal 2:
Tentukan ingkaran dari: “Kucing adalah mamalia atau ikan adalah reptil”
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “Kucing adalah mamalia”, q: “Ikan adalah reptil”
Pernyataan: p ∨ q
Rumus: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Jawaban: “Kucing bukan mamalia dan ikan bukan reptil”
Soal 3:
Tentukan ingkaran dari: “Matahari terbit dari timur dan bulan bersinar di malam hari”
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “Matahari terbit dari timur”, q: “Bulan bersinar di malam hari”
Pernyataan: p ∧ q
Rumus: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Jawaban: “Matahari tidak terbit dari timur atau bulan tidak bersinar di malam hari”
Soal 4:
Tentukan ingkaran dari: “2 + 3 = 5 atau 3 × 2 = 5″
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “2 + 3 = 5” (B), q: “3 × 2 = 5” (S)
Pernyataan: p ∨ q
Rumus: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Jawaban: “2 + 3 ≠ 5 dan 3 × 2 ≠ 5″
Soal 5:
Tentukan nilai kebenaran dari ~(p ∧ q) jika p bernilai Benar dan q bernilai Benar.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: p = B, q = B → p ∧ q = B
Langkah 2: ~(p ∧ q) = ~B = S
Jawaban: Salah (S)
Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan ingkaran dari: “x > 3 dan x < 10″
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “x > 3”, q: “x < 10”
Pernyataan: p ∧ q (artinya 3 < x < 10)
Rumus: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Jawaban: “x ≤ 3 atau x ≥ 10″
Catatan: ingkaran dari x > 3 adalah x ≤ 3, ingkaran dari x < 10 adalah x ≥ 10
Soal 2:
Tentukan ingkaran dari: “Semua siswa rajin atau semua siswa pintar”
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “Semua siswa rajin”, q: “Semua siswa pintar”
Pernyataan: p ∨ q
Rumus: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~p: “Ada siswa yang tidak rajin”, ~q: “Ada siswa yang tidak pintar”
Jawaban: “Ada siswa yang tidak rajin dan ada siswa yang tidak pintar”
Catatan: ingkaran “semua” adalah “ada yang tidak”
Soal 3:
Jika p bernilai Salah dan q bernilai Benar, tentukan nilai kebenaran ~(p ∨ q) dan buktikan ekuivalensinya dengan ~p ∧ ~q.
Lihat Pembahasan
Cara 1: p = S, q = B → p ∨ q = B → ~(p ∨ q) = S
Cara 2: ~p = B, ~q = S → ~p ∧ ~q = S
Kesimpulan: Keduanya bernilai Salah (S) → terbukti ekuivalen ✓
Soal 4:
Tentukan ingkaran dari: “Bilangan prima ganjil dan bilangan prima lebih dari 1″
Lihat Pembahasan
Diketahui: p: “Bilangan prima ganjil”, q: “Bilangan prima lebih dari 1”
Rumus: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Jawaban: “Bilangan prima tidak ganjil atau bilangan prima tidak lebih dari 1″
Catatan: Pernyataan awal p ∧ q bernilai Salah (karena 2 adalah prima genap), sehingga ingkarannya bernilai Benar.
Soal 5:
Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran p dan q agar ~(p ∧ q) bernilai Benar.
Lihat Pembahasan
Analisis: ~(p ∧ q) bernilai Benar ↔ p ∧ q bernilai Salah
p ∧ q bernilai Salah ketika minimal salah satu komponen bernilai Salah:
- p = B, q = S → ~(p ∧ q) = B ✓
- p = S, q = B → ~(p ∧ q) = B ✓
- p = S, q = S → ~(p ∧ q) = B ✓
Jawaban: Ada 3 kemungkinan: (B,S), (S,B), (S,S)
Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan ingkaran dari: ~(p ∧ q) ∨ r
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Misalkan s = ~(p ∧ q), maka pernyataan menjadi s ∨ r
Langkah 2: Ingkaran: ~(s ∨ r) ≡ ~s ∧ ~r
Langkah 3: ~s = ~(~(p ∧ q)) = p ∧ q (ingkaran ganda = pernyataan asli)
Jawaban: (p ∧ q) ∧ ~r
Soal 2:
Tentukan ingkaran dari: (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Bentuk: A ∧ B dengan A = (p ∨ q), B = (r ∨ s)
Langkah 2: ~(A ∧ B) ≡ ~A ∨ ~B
Langkah 3: ~A = ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Langkah 4: ~B = ~(r ∨ s) = ~r ∧ ~s
Jawaban: (~p ∧ ~q) ∨ (~r ∧ ~s)
Soal 3:
Buktikan bahwa ~(p ∧ (q ∨ r)) ≡ ~p ∨ (~q ∧ ~r) menggunakan tabel kebenaran (untuk p=B, q=S, r=B).
Lihat Pembahasan
Langkah 1 (Ruas kiri):
q ∨ r = S ∨ B = B
p ∧ (q ∨ r) = B ∧ B = B
~(p ∧ (q ∨ r)) = ~B = S
Langkah 2 (Ruas kanan):
~p = S, ~q = B, ~r = S
~q ∧ ~r = B ∧ S = S
~p ∨ (~q ∧ ~r) = S ∨ S = S
Kesimpulan: Ruas kiri = S, Ruas kanan = S → terbukti ekuivalen untuk nilai ini ✓
Catatan: Ini menggunakan hukum De Morgan bertingkat. Pertama ingkari konjungsi luar, lalu ingkari disjungsi dalam.
Soal 4:
Tentukan ingkaran dari: “Jika x bilangan bulat positif, maka x > 0 dan x ≠ 0″. Nyatakan ingkarannya dalam bentuk logika dan kalimat.
Lihat Pembahasan
Identifikasi: Pernyataan ini berbentuk implikasi: p → (q ∧ r)
p: “x bilangan bulat positif”, q: “x > 0”, r: “x ≠ 0”
Ingkaran implikasi: ~(p → s) ≡ p ∧ ~s, dengan s = q ∧ r
Langkah: ~(q ∧ r) = ~q ∨ ~r (De Morgan)
Sehingga: p ∧ (~q ∨ ~r)
Jawaban logika: p ∧ (~q ∨ ~r)
Jawaban kalimat: “x bilangan bulat positif dan (x ≤ 0 atau x = 0)”
Soal 5:
Diketahui pernyataan: ~((p ∧ q) ∨ (r ∧ s)). Sederhanakan menggunakan Hukum De Morgan berulang.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Bentuk luar adalah disjungsi: A ∨ B, dengan A = p ∧ q, B = r ∧ s
~(A ∨ B) ≡ ~A ∧ ~B (De Morgan II)
Langkah 2: ~A = ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q (De Morgan I)
Langkah 3: ~B = ~(r ∧ s) = ~r ∨ ~s (De Morgan I)
Jawaban: (~p ∨ ~q) ∧ (~r ∨ ~s)
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
Tingkat Mudah
1. Tentukan ingkaran dari: “8 bilangan genap dan 9 bilangan ganjil”
2. Tentukan ingkaran dari: “Bumi bulat atau bumi datar”
3. Tentukan nilai kebenaran ~(p ∨ q) jika p = Benar dan q = Salah.
4. Tentukan ingkaran dari: “Air mendidih pada 100°C dan es mencair pada 0°C”
5. Tentukan ingkaran dari: “π bilangan rasional atau √2 bilangan rasional”
Tingkat Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “x ≥ 5 dan x ≤ 12″ lalu nyatakan dalam notasi pertidaksamaan.
2. Jika p = Salah dan q = Salah, tentukan nilai kebenaran ~(p ∧ q) dan ~p ∨ ~q. Apakah keduanya sama?
3. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan prima ganjil atau semua bilangan prima lebih dari 2″
4. Tentukan semua kemungkinan nilai p dan q agar ~(p ∨ q) bernilai Benar.
5. Tentukan ingkaran dari: “Fungsi f(x) kontinu dan f(x) terdiferensialkan”
Tingkat Sulit
1. Sederhanakan ~((p ∨ q) ∧ r) menggunakan Hukum De Morgan.
2. Tentukan ingkaran dari ~(~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)
3. Buktikan ~((p ∧ q) ∧ (p ∨ r)) ≡ (~p ∨ ~q) ∨ (~p ∧ ~r) untuk p=B, q=B, r=S.
4. Tentukan ingkaran dari: (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
5. Diketahui ~((p ∨ q) ∧ (r ∨ s) ∧ (t ∨ u)). Sederhanakan sepenuhnya menggunakan Hukum De Morgan.