Limit Fungsi yang Mengarah pada Konsep Turunan
Materi Matematika
1. Pendahuluan: Limit dan Laju Perubahan
👁️ Kegiatan Mengamati
Perhatikan sebuah mobil yang bergerak. Speedometer menunjukkan kecepatan sesaat. Bagaimana kita menghitung kecepatan di satu titik waktu tertentu padahal kecepatan memerlukan selisih jarak dan selisih waktu?
Bayangkan fungsi posisi sebuah benda terhadap waktu: s = f(t).
Kecepatan rata-rata dari waktu t sampai t + h adalah:
Jika selang waktu h diperkecil terus mendekati nol, kita mendapatkan kecepatan sesaat:
Inilah ide dasar bagaimana limit fungsi mengarah pada konsep turunan. Limit dari laju perubahan rata-rata ketika interval mendekati nol menghasilkan laju perubahan sesaat, yang disebut turunan.
❓ Kegiatan Menanya
Pertanyaan penting:
- Mengapa kita perlu limit, bukan langsung mensubstitusi h = 0?
- Apa yang terjadi jika kita substitusi h = 0 langsung ke rumus di atas?
Jawaban: Substitusi langsung h = 0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Oleh karena itu, kita perlu teknik limit untuk menyelesaikannya — biasanya dengan memfaktorkan atau menyederhanakan terlebih dahulu, baru kemudian mengevaluasi limitnya.
📊 Ilustrasi Numerik
Misalkan f(x) = x² dan kita ingin mencari laju perubahan di x = 2.
| h | f(2+h) | f(2+h)−f(2) | f(2+h)−f(2)h |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 5 | 5 |
| 0.5 | 6.25 | 2.25 | 4.5 |
| 0.1 | 4.41 | 0.41 | 4.1 |
| 0.01 | 4.0401 | 0.0401 | 4.01 |
| 0.001 | 4.004001 | 0.004001 | 4.001 |
Terlihat bahwa semakin kecil h, nilainya semakin mendekati 4. Jadi, laju perubahan sesaat f(x) = x² di x = 2 adalah 4.
📈 Grafik: Dari Garis Sekan ke Garis Singgung
Saat titik kedua mendekati titik pertama, garis sekan berubah menjadi garis singgung.
2. Limit Bentuk [f(x+h) − f(x)] / h
🧠 Kegiatan Menalar
Kita telah melihat secara numerik bahwa limit tersebut menuju nilai tertentu. Sekarang, mari kita buktikan secara aljabar.
Untuk f(x) = x², hitung:
Langkah 1: Hitung f(x + h)
f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h²
Langkah 2: Hitung selisih f(x + h) − f(x)
= x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h²
Langkah 3: Bagi dengan h
f(x+h) − f(x)h = 2xh + h²h = 2x + h
Langkah 4: Ambil limit h → 0
limh → 0 (2x + h) = 2x
Jadi, turunan dari f(x) = x² adalah f ′(x) = 2x. Pada x = 2, nilainya adalah f ′(2) = 4, sesuai dengan tabel numerik kita!
Bentuk Umum Limit Turunan
Ada dua bentuk limit yang menghasilkan turunan:
Bentuk 1 (menggunakan h):
f ′(x) = limh → 0 f(x + h) − f(x)hBentuk 2 (menggunakan variabel a):
f ′(a) = limx → a f(x) − f(a)x − aKedua bentuk ini ekuivalen. Bentuk 1 melihat perubahan dari titik x sejauh h. Bentuk 2 melihat perubahan dari titik a ke titik x yang mendekati a.
3. Definisi Turunan sebagai Limit
🔬 Kegiatan Mencoba
Coba hitung sendiri turunan dari fungsi-fungsi berikut menggunakan definisi limit!
Definisi Formal
Definisi: Turunan fungsi f di titik x, dinotasikan f ′(x), didefinisikan sebagai:
f ′(x) = limh → 0 f(x + h) − f(x)h
asalkan limit tersebut ada (bernilai hingga).
Notasi-notasi Turunan
Turunan memiliki beberapa notasi yang setara:
| Notasi | Dibaca | Keterangan |
|---|---|---|
| f ′(x) | “f aksen x” | Notasi Lagrange |
| dydx | “dy per dx” | Notasi Leibniz |
| dfdx | “df per dx” | Notasi Leibniz |
| Df(x) | “D f x” | Notasi operator |
Contoh: Menghitung Turunan dengan Definisi
Contoh A: f(x) = 3x + 5
f ′(x) = limh → 0 [3(x+h)+5] − [3x+5]h = limh → 0 3hh = limh → 0 3 = 3
Contoh B: f(x) = x³
f(x+h) = (x+h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³
f(x+h) − f(x) = 3x²h + 3xh² + h³
f(x+h)−f(x)h = 3x² + 3xh + h²
f ′(x) = limh → 0 (3x² + 3xh + h²) = 3x²
Contoh C: f(x) = √x (menggunakan Bentuk 2)
f ′(a) = limx → a √x − √ax − a
Kalikan dengan sekawan:
= limx → a (√x − √a)(√x + √a)(x − a)(√x + √a) = limx → a x − a(x − a)(√x + √a)
= limx → a 1√x + √a = 12√a
4. Menghitung Turunan dengan Definisi Limit
Berikut langkah sistematis menghitung turunan menggunakan definisi limit:
Langkah 1: Tuliskan f(x + h) dengan mengganti setiap x dalam rumus fungsi dengan (x + h).
Langkah 2: Hitung f(x + h) − f(x) dan sederhanakan.
Langkah 3: Bagi hasilnya dengan h dan sederhanakan (faktor h harus habis dibagi).
Langkah 4: Ambil limit h → 0.
Ringkasan Hasil Turunan dengan Definisi Limit
| f(x) | f ′(x) | Keterangan |
|---|---|---|
| c (konstanta) | 0 | Fungsi konstan tidak berubah |
| ax + b | a | Fungsi linear: laju perubahan konstan |
| x² | 2x | Fungsi kuadrat |
| x³ | 3x² | Fungsi kubik |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ | Pola umum (aturan pangkat) |
| 1/x | −1/x² | Fungsi rasional sederhana |
| √x | 1/(2√x) | Fungsi akar |
5. Interpretasi Geometris: Garis Singgung
📢 Kegiatan Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman: Apa hubungan antara turunan di suatu titik dengan kemiringan garis singgung di titik tersebut?
Turunan f ′(a) memberikan gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a)).
Persamaan garis singgung di titik (a, f(a)):
📈 Grafik Interpretasi Geometris
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² di titik x = 3.
f(3) = 9, sehingga titik singgung: (3, 9)
f ′(x) = 2x → f ′(3) = 6
y − 9 = 6(x − 3) → y = 6x − 9
6. Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH Contoh Soal 1–5
Soal 1. Dengan definisi limit, tentukan turunan dari f(x) = 5x + 2.
Pembahasan:
f(x+h) = 5(x+h) + 2 = 5x + 5h + 2
f(x+h) − f(x) = (5x + 5h + 2) − (5x + 2) = 5h
f(x+h)−f(x)h = 5hh = 5
f ′(x) = limh → 0 5 = 5
Soal 2. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 7 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) = 7, f(x) = 7
f(x+h) − f(x) = 7 − 7 = 0
f ′(x) = limh → 0 0h = 0
Soal 3. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 4x² menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) = 4(x+h)² = 4x² + 8xh + 4h²
f(x+h) − f(x) = 8xh + 4h²
8xh + 4h²h = 8x + 4h
f ′(x) = limh → 0 (8x + 4h) = 8x
Soal 4. Tentukan f ′(2) dari f(x) = x² + 3x menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(2+h) = (2+h)² + 3(2+h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = 10 + 7h + h²
f(2) = 4 + 6 = 10
f(2+h) − f(2) = 7h + h²
7h + h²h = 7 + h
f ′(2) = limh → 0 (7 + h) = 7
Soal 5. Tentukan f ′(x) dari f(x) = −2x + 9.
Pembahasan:
f(x+h) − f(x) = [−2(x+h)+9] − [−2x+9] = −2h
f ′(x) = limh → 0 −2hh = −2
SEDANG Contoh Soal 6–10
Soal 6. Tentukan f ′(x) dari f(x) = x² − 4x + 1 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) = (x+h)² − 4(x+h) + 1 = x² + 2xh + h² − 4x − 4h + 1
f(x+h) − f(x) = 2xh + h² − 4h = h(2x + h − 4)
h(2x+h−4)h = 2x + h − 4
f ′(x) = limh → 0 (2x + h − 4) = 2x − 4
Soal 7. Tentukan f ′(x) dari f(x) = x³ + 2x.
Pembahasan:
f(x+h) = (x+h)³ + 2(x+h) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ + 2x + 2h
f(x+h) − f(x) = 3x²h + 3xh² + h³ + 2h = h(3x² + 3xh + h² + 2)
f ′(x) = limh → 0 (3x² + 3xh + h² + 2) = 3x² + 2
Soal 8. Dengan definisi limit (Bentuk 2), tentukan f ′(4) jika f(x) = √x.
Pembahasan:
f ′(4) = limx → 4 √x − √4x − 4 = limx → 4 √x − 2x − 4
Kalikan sekawan:
= limx → 4 (√x−2)(√x+2)(x−4)(√x+2) = limx → 4 x−4(x−4)(√x+2)
= limx → 4 1√x + 2 = 12 + 2 = 14
Soal 9. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + 1 di titik x = 2.
Pembahasan:
f(2) = 4 + 1 = 5, titik singgung: (2, 5)
Hitung f ′(x) dengan definisi:
f(x+h) − f(x) = (x+h)² + 1 − x² − 1 = 2xh + h²
f ′(x) = limh → 0 (2x + h) = 2x
f ′(2) = 4 (gradien garis singgung)
y − 5 = 4(x − 2) → y = 4x − 3
Soal 10. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 2x² + 3x − 1 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) = 2(x+h)² + 3(x+h) − 1 = 2x² + 4xh + 2h² + 3x + 3h − 1
f(x+h) − f(x) = 4xh + 2h² + 3h = h(4x + 2h + 3)
f ′(x) = limh → 0 (4x + 2h + 3) = 4x + 3
SULIT Contoh Soal 11–15
Soal 11. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 1/x menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) − f(x)h = 1x+h − 1xh
Samakan penyebut pembilang:
= x − (x+h)h · x(x+h) = −hh · x(x+h) = −1x(x+h)
f ′(x) = limh → 0 −1x(x+h) = −1x · x = −1/x²
Soal 12. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 1/(2x + 1) menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) − f(x) = 12(x+h)+1 − 12x+1
= (2x+1) − (2x+2h+1)(2x+2h+1)(2x+1) = −2h(2x+2h+1)(2x+1)
Bagi dengan h: −2(2x+2h+1)(2x+1)
f ′(x) = limh → 0 −2(2x+2h+1)(2x+1) = −2(2x+1)²
Soal 13. Tentukan f ′(x) dari f(x) = √(2x + 3) menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) − f(x) = √(2x+2h+3) − √(2x+3)
Kalikan sekawan:
= (2x+2h+3) − (2x+3)√(2x+2h+3) + √(2x+3) = 2h√(2x+2h+3) + √(2x+3)
Bagi h: 2√(2x+2h+3) + √(2x+3)
f ′(x) = limh → 0 = 22√(2x+3) = 1√(2x+3)
Soal 14. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x³ − 2x di titik x = 1 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(1) = 1 − 2 = −1, titik singgung: (1, −1)
f(1+h) = (1+h)³ − 2(1+h) = 1 + 3h + 3h² + h³ − 2 − 2h = −1 + h + 3h² + h³
f(1+h) − f(1) = h + 3h² + h³ = h(1 + 3h + h²)
f ′(1) = limh → 0 (1 + 3h + h²) = 1
y − (−1) = 1(x − 1) → y = x − 2
Soal 15. Tentukan f ′(x) dari f(x) = x² + 1/x menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f(x+h) = (x+h)² + 1/(x+h)
f(x+h) − f(x) = [(x+h)² − x²] + [1/(x+h) − 1/x]
Bagian 1: (x+h)² − x² = 2xh + h²
Bagian 2: 1/(x+h) − 1/x = −h/[x(x+h)]
Total: 2xh + h² − h/[x(x+h)]
Bagi h: 2x + h − 1/[x(x+h)]
f ′(x) = limh → 0 = 2x − 1/x² = 2x − 1/x²
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut menggunakan definisi limit turunan. Tidak disediakan pembahasan — kerjakan secara mandiri!
MUDAH Latihan 1–5
1. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 6x − 3.
2. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 10.
3. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 3x².
4. Tentukan f ′(1) dari f(x) = x² + 5.
5. Tentukan f ′(x) dari f(x) = −x + 4.
SEDANG Latihan 6–10
6. Tentukan f ′(x) dari f(x) = x² + 6x − 2.
7. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 2x³.
8. Tentukan f ′(9) dari f(x) = √x menggunakan Bentuk 2.
9. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² − 3x di titik x = 4.
10. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 5x² − x + 3.
SULIT Latihan 11–15
11. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 1/(3x).
12. Tentukan f ′(x) dari f(x) = 1/(x + 2).
13. Tentukan f ′(x) dari f(x) = √(4x − 1).
14. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x³ + x di titik x = −1.
15. Tentukan f ′(x) dari f(x) = x² − 2/x.
📘 Limit Fungsi yang Mengarah pada Konsep Turunan
Materi Matematika Kelas XI · Selamat Belajar!