Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pengintegralan yang Dapat Diubah ke dalam Bentuk ∫ f(u) du
Metode Substitusi pada Integral Tak Tentu
📘 Materi
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan integral berikut:
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx\]
Integral di atas tidak dapat langsung diselesaikan menggunakan rumus dasar integral. Namun, jika kita amati, terdapat hubungan antara \(2x\) dan turunan dari \(x^2+1\). Artinya, kita dapat melakukan substitusi untuk menyederhanakan integral tersebut.
1. Konsep Dasar Metode Substitusi
Metode substitusi digunakan untuk menyelesaikan integral yang memiliki bentuk:
\[\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx\]
Langkah-langkah:
- Misalkan \(u = g(x)\), sehingga \(du = g'(x)\,dx\)
- Substitusikan ke dalam integral sehingga menjadi \(\int f(u)\,du\)
- Selesaikan integral dalam variabel \(u\)
- Kembalikan substitusi, ganti \(u\) dengan \(g(x)\)
📌 Rumus Umum:
\[\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = F(g(x)) + C\]
di mana \(F(u)\) adalah antiturunan dari \(f(u)\).
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menentukan substitusi \(u\) yang tepat?
- Apa syarat agar metode substitusi dapat digunakan?
- Bagaimana jika \(g'(x)\) tidak secara eksplisit muncul di integran?
2. Cara Menentukan Substitusi yang Tepat
Perhatikan pedoman berikut:
- Pilih \(u\) sebagai bagian “dalam” dari fungsi komposisi (yang ada di dalam tanda kurung, di bawah akar, atau sebagai pangkat).
- Periksa apakah \(du\) (turunan dari \(u\)) tersedia di integran, atau bisa diperoleh dengan mengalikan/membagi konstanta.
- Jika \(g'(x)\) hanya berbeda konstanta dari faktor yang ada di integran, metode substitusi tetap bisa digunakan.
Kegiatan: Menalar
Pada integral \(\int 6x^2(2x^3+5)^4\,dx\):
- Bagian “dalam” adalah \(2x^3+5\), maka misalkan \(u = 2x^3+5\)
- Turunannya: \(du = 6x^2\,dx\)
- Perhatikan bahwa \(6x^2\,dx\) sudah tersedia di integran!
- Maka: \(\int (2x^3+5)^4 \cdot 6x^2\,dx = \int u^4\,du = \frac{u^5}{5}+C = \frac{(2x^3+5)^5}{5}+C\)
3. Bentuk-Bentuk yang Sering Muncul
| Bentuk Integral | Substitusi | Hasil |
|---|---|---|
| \(\int (ax+b)^n\,dx\) | \(u=ax+b\) | \(\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\) |
| \(\int f(ax+b)\,dx\) | \(u=ax+b\) | \(\frac{1}{a}F(ax+b)+C\) |
| \(\int x \cdot f(x^2)\,dx\) | \(u=x^2\) | \(\frac{1}{2}F(x^2)+C\) |
| \(\int x^2 \cdot f(x^3)\,dx\) | \(u=x^3\) | \(\frac{1}{3}F(x^3)+C\) |
Kegiatan: Mencoba
Coba selesaikan integral berikut menggunakan metode substitusi:
- \(\int 3(3x+1)^4\,dx\)
- \(\int 4x(2x^2-1)^3\,dx\)
- \(\int \frac{2x}{(x^2+3)^2}\,dx\)
4. Kasus Khusus: Menyesuaikan Konstanta
Terkadang faktor \(g'(x)\) tidak muncul secara persis di integran, tetapi hanya berbeda konstanta. Contoh:
\[\int x(x^2+1)^5\,dx\]
Misalkan \(u = x^2+1\), maka \(du = 2x\,dx\), sehingga \(x\,dx = \frac{1}{2}du\).
\[\int x(x^2+1)^5\,dx = \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6}+C = \frac{(x^2+1)^6}{12}+C\]
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sekelompokmu:
- Mengapa metode substitusi disebut juga “aturan rantai terbalik”?
- Tuliskan langkah-langkah metode substitusi dengan bahasa sendiri.
- Berikan satu contoh integral yang dapat diselesaikan dengan substitusi dan jelaskan prosesnya.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal 1–5
Contoh 1:
Tentukan \(\int (2x+3)^5\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = 2x+3\), maka \(du = 2\,dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2}du\)
\[\int (2x+3)^5\,dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6}+C = \frac{(2x+3)^6}{12}+C\]
Contoh 2:
Tentukan \(\int 4x(x^2+1)^3\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^2+1\), maka \(du = 2x\,dx \Rightarrow 4x\,dx = 2\,du\)
\[\int 4x(x^2+1)^3\,dx = 2\int u^3\,du = 2\cdot\frac{u^4}{4}+C = \frac{(x^2+1)^4}{2}+C\]
Contoh 3:
Tentukan \(\int (5x-2)^3\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = 5x-2\), maka \(du = 5\,dx \Rightarrow dx = \frac{1}{5}du\)
\[\int (5x-2)^3\,dx = \frac{1}{5}\int u^3\,du = \frac{1}{5}\cdot\frac{u^4}{4}+C = \frac{(5x-2)^4}{20}+C\]
Contoh 4:
Tentukan \(\int 6x^2(x^3+4)^2\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^3+4\), maka \(du = 3x^2\,dx \Rightarrow 6x^2\,dx = 2\,du\)
\[\int 6x^2(x^3+4)^2\,dx = 2\int u^2\,du = 2\cdot\frac{u^3}{3}+C = \frac{2(x^3+4)^3}{3}+C\]
Contoh 5:
Tentukan \(\int \frac{3}{(3x+1)^2}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = 3x+1\), maka \(du = 3\,dx \Rightarrow 3\,dx = du\)
\[\int \frac{3}{(3x+1)^2}\,dx = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{3x+1}+C\]
Sedang Contoh Soal 6–10
Contoh 6:
Tentukan \(\int x\sqrt{x^2+9}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^2+9\), maka \(du = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \frac{1}{2}du\)
\[\int x\sqrt{x^2+9}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{(x^2+9)^{3/2}}{3}+C\]
Contoh 7:
Tentukan \(\int \frac{x^2}{(x^3-1)^4}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^3-1\), maka \(du = 3x^2\,dx \Rightarrow x^2\,dx = \frac{1}{3}du\)
\[\int \frac{x^2}{(x^3-1)^4}\,dx = \frac{1}{3}\int u^{-4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{9(x^3-1)^3}+C\]
Contoh 8:
Tentukan \(\int (2x+1)(x^2+x)^4\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^2+x\), maka \(du = (2x+1)\,dx\)
\[\int (2x+1)(x^2+x)^4\,dx = \int u^4\,du = \frac{u^5}{5}+C = \frac{(x^2+x)^5}{5}+C\]
Contoh 9:
Tentukan \(\int \frac{4x+6}{(x^2+3x+1)^3}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^2+3x+1\), maka \(du = (2x+3)\,dx\)
Perhatikan: \(4x+6 = 2(2x+3)\), sehingga \((4x+6)\,dx = 2\,du\)
\[\int \frac{4x+6}{(x^2+3x+1)^3}\,dx = 2\int u^{-3}\,du = 2\cdot\frac{u^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{(x^2+3x+1)^2}+C\]
Contoh 10:
Tentukan \(\int x^3(x^4+2)^{1/2}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^4+2\), maka \(du = 4x^3\,dx \Rightarrow x^3\,dx = \frac{1}{4}du\)
\[\int x^3\sqrt{x^4+2}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2u^{3/2}}{3}+C = \frac{(x^4+2)^{3/2}}{6}+C\]
Sulit Contoh Soal 11–15
Contoh 11:
Tentukan \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = 1-x^2\), maka \(du = -2x\,dx \Rightarrow x\,dx = -\frac{1}{2}du\)
\[\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}+C = -\sqrt{1-x^2}+C\]
Contoh 12:
Tentukan \(\int x^2\sqrt[3]{x^3+8}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^3+8\), maka \(du = 3x^2\,dx \Rightarrow x^2\,dx = \frac{1}{3}du\)
\[\int x^2(x^3+8)^{1/3}\,dx = \frac{1}{3}\int u^{1/3}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{4/3}}{4/3}+C = \frac{(x^3+8)^{4/3}}{4}+C\]
Contoh 13:
Tentukan \(\int \frac{x^3}{(x^4+1)^5}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^4+1\), maka \(du = 4x^3\,dx \Rightarrow x^3\,dx = \frac{1}{4}du\)
\[\int \frac{x^3}{(x^4+1)^5}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{-5}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{-4}}{-4}+C = -\frac{1}{16(x^4+1)^4}+C\]
Contoh 14:
Tentukan \(\int (3x^2+2x)(x^3+x^2)^{-3/2}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^3+x^2\), maka \(du = (3x^2+2x)\,dx\)
\[\int (3x^2+2x)(x^3+x^2)^{-3/2}\,dx = \int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2}+C = -\frac{2}{\sqrt{x^3+x^2}}+C\]
Contoh 15:
Tentukan \(\int \frac{x^2+1}{(x^3+3x)^4}\,dx\)
Pembahasan:
Misalkan \(u = x^3+3x\), maka \(du = (3x^2+3)\,dx = 3(x^2+1)\,dx\)
Sehingga \((x^2+1)\,dx = \frac{1}{3}du\)
\[\int \frac{x^2+1}{(x^3+3x)^4}\,dx = \frac{1}{3}\int u^{-4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{9(x^3+3x)^3}+C\]
✏️ Latihan Soal
Selesaikan integral berikut menggunakan metode substitusi.
Mudah
1. \(\int (4x+7)^6\,dx\)
2. \(\int 2x(x^2+5)^4\,dx\)
3. \(\int (3x-1)^8\,dx\)
4. \(\int 9x^2(x^3+2)^3\,dx\)
5. \(\int \frac{4}{(4x+3)^3}\,dx\)
Sedang
6. \(\int x\sqrt{3x^2+1}\,dx\)
7. \(\int \frac{2x+4}{(x^2+4x+1)^2}\,dx\)
8. \(\int x^3(x^4-7)^5\,dx\)
9. \(\int (6x^2+2)(x^3+x)^3\,dx\)
10. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\,dx\)
Sulit
11. \(\int \frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^3-5)^2}}\,dx\)
12. \(\int (4x^3+3x^2)(x^4+x^3)^{-5/4}\,dx\)
13. \(\int \frac{x^4}{(x^5+1)^6}\,dx\)
14. \(\int \frac{2x+1}{\sqrt{(x^2+x+3)^3}}\,dx\)
15. \(\int x(x^2-4)^{2/3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-4}}\,dx\)