Sifat-Sifat Fungsi Eksponen
Materi Matematika
Pendahuluan
Fungsi eksponen adalah fungsi yang memiliki variabel pada bagian pangkat (eksponen). Bentuk umum fungsi eksponen adalah:
dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\). Bilangan \(a\) disebut basis (bilangan pokok), dan \(x\) adalah eksponen (pangkat) yang merupakan variabel.
Pada artikel ini, kita akan mempelajari sifat-sifat fungsi eksponen secara mendalam, meliputi sifat grafik, sifat operasi, dan penerapannya dalam menyelesaikan soal.
Materi: Sifat-Sifat Fungsi Eksponen
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel nilai fungsi berikut untuk \(f(x) = 2^x\) dan \(g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\):
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | ⅛ | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) | 8 | 4 | 2 | 1 | ½ | ¼ | ⅛ |
Amati: Kedua fungsi selalu bernilai positif untuk setiap nilai \(x\). Ketika \(x = 0\), keduanya bernilai 1.
Kegiatan: Menanya
- Mengapa fungsi eksponen selalu bernilai positif?
- Apa perbedaan perilaku grafik jika basis \(a > 1\) dibandingkan \(0 < a < 1\)?
- Mengapa \(a^0 = 1\) untuk semua \(a > 0\)?
- Bagaimana sifat-sifat ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen?
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen \(f(x) = a^x\)
Sifat 1: Domain dan Range
- Domain: Semua bilangan real, \(D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)\)
- Range: Semua bilangan real positif, \(R_f = (0, +\infty)\)
- Artinya: \(a^x > 0\) untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\)
Sifat 2: Grafik Selalu Melalui Titik (0, 1)
Karena \(a^0 = 1\) untuk setiap \(a > 0, a \neq 1\), maka grafik fungsi eksponen selalu melewati titik \((0, 1)\).
Sifat 3: Fungsi Monoton
- Jika \(a > 1\): fungsi monoton naik (semakin besar \(x\), semakin besar \(a^x\))
- Jika \(0 < a < 1\): fungsi monoton turun (semakin besar \(x\), semakin kecil \(a^x\))
Sifat 4: Asimtot Datar
Sumbu-\(x\) (garis \(y = 0\)) merupakan asimtot datar dari grafik fungsi eksponen. Grafik mendekati sumbu-\(x\) tetapi tidak pernah menyentuhnya.
Sifat 5: Fungsi Satu-Satu (Injektif)
Fungsi eksponen bersifat injektif, artinya:
Sifat ini sangat penting dalam menyelesaikan persamaan eksponen.
Sifat 6: Sifat Operasi Eksponen
Untuk \(a > 0\), \(b > 0\), dan \(x, y \in \mathbb{R}\):
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Perkalian basis sama | \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) |
| 2 | Pembagian basis sama | \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\) |
| 3 | Pangkat dari pangkat | \((a^x)^y = a^{xy}\) |
| 4 | Perkalian basis berbeda | \((ab)^x = a^x \cdot b^x\) |
| 5 | Pembagian basis berbeda | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}\) |
| 6 | Pangkat nol | \(a^0 = 1\) |
| 7 | Pangkat negatif | \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\) |
Sifat 7: Ketaksamaan Eksponen
- Jika \(a > 1\): \(a^{x_1} > a^{x_2} \iff x_1 > x_2\) (tanda pertidaksamaan tetap)
- Jika \(0 < a < 1\): \(a^{x_1} > a^{x_2} \iff x_1 < x_2\) (tanda pertidaksamaan berbalik)
Kegiatan: Menalar
Mengapa \(a^x > 0\) selalu?
Jika \(a > 0\), maka untuk pangkat bilangan bulat positif, \(a^n = a \times a \times \cdots \times a > 0\). Untuk pangkat nol, \(a^0 = 1 > 0\). Untuk pangkat negatif, \(a^{-n} = \frac{1}{a^n} > 0\). Untuk pangkat pecahan/irasional, definisi menggunakan limit dan logaritma tetap menjamin hasilnya positif.
Mengapa tanda pertidaksamaan berbalik jika \(0 < a < 1\)?
Karena fungsi monoton turun: semakin besar pangkatnya, semakin kecil hasilnya. Misalnya \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\) lebih kecil dari \(\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}\).
Kegiatan: Mencoba
Cobalah mengisi tabel berikut untuk membuktikan sifat-sifat di atas:
- Hitung \(3^2 \times 3^3\) dan bandingkan dengan \(3^5\). Apakah sama?
- Hitung \(\frac{5^4}{5^2}\) dan bandingkan dengan \(5^2\). Apakah sama?
- Hitung \((2^3)^2\) dan bandingkan dengan \(2^6\). Apakah sama?
- Buktikan bahwa \(4^{-2} = \frac{1}{16}\).
- Bandingkan \(2^3\) dengan \(2^5\). Mana yang lebih besar? Sesuai sifat mana?
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu:
- Apa perbedaan grafik \(f(x) = 3^x\) dan \(g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x\)?
- Mengapa fungsi eksponen tidak pernah bernilai nol atau negatif?
- Bagaimana cara menggunakan sifat injektif untuk menyelesaikan persamaan \(2^x = 8\)?
Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1:
Sederhanakan \(2^3 \times 2^4\).
Pembahasan:
Gunakan sifat \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\):
\[2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\]
Contoh 2:
Sederhanakan \(\dfrac{5^6}{5^2}\).
Pembahasan:
Gunakan sifat \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\):
\[\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625\]
Contoh 3:
Tentukan nilai dari \((3^2)^3\).
Pembahasan:
Gunakan sifat \((a^x)^y = a^{xy}\):
\[(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\]
Contoh 4:
Hitung nilai \(4^{-2}\).
Pembahasan:
Gunakan sifat \(a^{-x} = \frac{1}{a^x}\):
\[4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\]
Contoh 5:
Jika \(f(x) = 2^x\), tentukan \(f(0)\) dan \(f(1)\).
Pembahasan:
\[f(0) = 2^0 = 1\]
\[f(1) = 2^1 = 2\]
Ini sesuai sifat bahwa grafik selalu melalui titik (0, 1).
SEDANG
Contoh 6:
Selesaikan persamaan \(3^{2x-1} = 27\).
Pembahasan:
Ubah 27 menjadi basis 3: \(27 = 3^3\)
\[3^{2x-1} = 3^3\]
Karena basis sama dan fungsi eksponen injektif:
\[2x – 1 = 3\]
\[2x = 4 \implies x = 2\]
Contoh 7:
Sederhanakan \(\dfrac{6^3 \times 6^{-1}}{6^2}\).
Pembahasan:
Pembilang: \(6^3 \times 6^{-1} = 6^{3+(-1)} = 6^2\)
\[\frac{6^2}{6^2} = 6^{2-2} = 6^0 = 1\]
Contoh 8:
Selesaikan pertidaksamaan \(2^{x+1} > 16\).
Pembahasan:
Ubah 16 menjadi basis 2: \(16 = 2^4\)
\[2^{x+1} > 2^4\]
Karena basis \(2 > 1\), tanda pertidaksamaan tetap:
\[x + 1 > 4 \implies x > 3\]
Jadi HP = \(\{x \mid x > 3\}\)
Contoh 9:
Selesaikan pertidaksamaan \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2} \leq 9\).
Pembahasan:
Ubah: \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\) dan \(9 = 3^2\)
\[(3^{-1})^{x-2} \leq 3^2\]
\[3^{-(x-2)} \leq 3^2\]
Basis \(3 > 1\), tanda tetap:
\[-(x-2) \leq 2\]
\[-x + 2 \leq 2\]
\[-x \leq 0 \implies x \geq 0\]
HP = \(\{x \mid x \geq 0\}\)
Contoh 10:
Sederhanakan \(\dfrac{(2^a \cdot 4^b)}{8^c}\) dalam bentuk pangkat basis 2.
Pembahasan:
Ubah ke basis 2: \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\)
\[\frac{2^a \cdot (2^2)^b}{(2^3)^c} = \frac{2^a \cdot 2^{2b}}{2^{3c}}\]
\[= 2^{a + 2b – 3c}\]
SULIT
Contoh 11:
Selesaikan persamaan \(4^x – 6 \cdot 2^x + 8 = 0\).
Pembahasan:
Substitusi: \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Misalkan \(p = 2^x\), maka:
\[p^2 – 6p + 8 = 0\]
\[(p-2)(p-4) = 0\]
\(p = 2\) atau \(p = 4\)
Kembali ke variabel \(x\):
\(2^x = 2 \implies x = 1\)
\(2^x = 4 = 2^2 \implies x = 2\)
Jadi \(x = 1\) atau \(x = 2\).
Contoh 12:
Selesaikan persamaan \(9^x + 3^{x+1} = 4\).
Pembahasan:
\(9^x = (3^x)^2\) dan \(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x\). Misalkan \(p = 3^x\):
\[p^2 + 3p = 4\]
\[p^2 + 3p – 4 = 0\]
\[(p+4)(p-1) = 0\]
\(p = -4\) (tidak memenuhi karena \(3^x > 0\)) atau \(p = 1\)
\(3^x = 1 = 3^0 \implies x = 0\)
Contoh 13:
Selesaikan pertidaksamaan \(4^x – 5 \cdot 2^x + 4 \leq 0\).
Pembahasan:
Misalkan \(p = 2^x\), maka \(4^x = p^2\):
\[p^2 – 5p + 4 \leq 0\]
\[(p-1)(p-4) \leq 0\]
Penyelesaian: \(1 \leq p \leq 4\)
Karena \(p = 2^x\):
\(2^x \geq 1 = 2^0 \implies x \geq 0\)
\(2^x \leq 4 = 2^2 \implies x \leq 2\)
HP = \(\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}\)
Contoh 14:
Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x^2 – 3x} \geq \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\).
Pembahasan:
Basis \(\frac{1}{4}\) dimana \(0 < \frac{1}{4} < 1\), maka tanda berbalik:
\[x^2 – 3x \leq -2\]
\[x^2 – 3x + 2 \leq 0\]
\[(x-1)(x-2) \leq 0\]
HP = \(\{x \mid 1 \leq x \leq 2\}\)
Contoh 15:
Jika \(2^a = 3\) dan \(2^b = 5\), nyatakan \(\log_2 45\) dalam \(a\) dan \(b\).
Pembahasan:
Dari \(2^a = 3\), maka \(a = \log_2 3\).
Dari \(2^b = 5\), maka \(b = \log_2 5\).
\(45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5\)
\[\log_2 45 = \log_2(3^2 \times 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + b\]
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu.
MUDAH
1. Sederhanakan \(7^2 \times 7^5\).
2. Hitung \(\dfrac{3^8}{3^5}\).
3. Tentukan nilai \((5^3)^2\).
4. Hitung \(6^0 + 2^{-3}\).
5. Jika \(f(x) = 5^x\), tentukan \(f(2) – f(0)\).
SEDANG
6. Selesaikan persamaan \(5^{3x-2} = 125\).
7. Selesaikan pertidaksamaan \(3^{2x-1} < 81\).
8. Sederhanakan \(\dfrac{12^a \cdot 3^{-a}}{4^a}\) dalam bentuk paling sederhana.
9. Selesaikan \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+3} \geq \dfrac{1}{16}\).
10. Tentukan domain fungsi \(f(x) = 3^x – 9\) agar \(f(x) > 0\).
SULIT
11. Selesaikan persamaan \(9^x – 4 \cdot 3^x + 3 = 0\).
12. Selesaikan pertidaksamaan \(25^x – 6 \cdot 5^x + 5 \geq 0\).
13. Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x^2-x} < 27\).
14. Jika \(3^p = 2\) dan \(3^q = 7\), nyatakan \(\log_3 28\) dalam \(p\) dan \(q\).
15. Selesaikan sistem persamaan: \(2^x \cdot 4^y = 32\) dan \(8^x \cdot 2^y = 128\).