Grafik Fungsi Eksponen f(x) = kax
Pembahasan khusus untuk fungsi eksponen dengan a > 1 dan a ∈ R, disusun menurun mulai dari materi, contoh soal, hingga latihan.
A. Materi: Grafik Fungsi Eksponen
Bentuk umum fungsi eksponen yang dibahas: f(x) = kax, dengan a > 1, a ∈ R, dan biasanya k ≠ 0.
1. Arti Setiap Bagian pada f(x) = kax
Fungsi f(x) = kax disebut fungsi eksponen karena variabel x berada pada pangkat. Pada pembahasan ini, nilai a > 1, sehingga bentuk dasar grafiknya naik dari kiri ke kanan.
| Komponen | Makna | Pengaruh terhadap grafik |
|---|---|---|
| x | Variabel bebas. | Menentukan posisi titik pada sumbu mendatar. |
| a | Bilangan pokok atau basis eksponen. | Karena a > 1, grafik semakin naik saat x bertambah. |
| k | Pengali seluruh nilai ax. | Menentukan peregangan, pengecilan, dan arah grafik. |
| f(x) | Nilai hasil fungsi. | Menjadi posisi titik pada sumbu tegak. |
2. Sifat Grafik untuk a > 1
- Jika k > 0, grafik berada di atas sumbu-x dan naik dari kiri ke kanan.
- Jika k < 0, grafik merupakan pencerminan terhadap sumbu-x, berada di bawah sumbu-x, dan turun ke kanan.
- Grafik memotong sumbu-y di titik (0, k), karena a0 = 1, sehingga f(0)=k.
- Grafik tidak memotong sumbu-x, karena ax tidak pernah bernilai nol.
- Sumbu-x, yaitu y = 0, menjadi asimtot datar.
- Domain fungsi adalah semua bilangan real: D = R.
- Range: y > 0 jika k > 0, dan y < 0 jika k < 0.
Grafik saat k > 0
Grafik saat k < 0
3. Cara Menggambar Grafik f(x) = kax
- Tentukan nilai k dan a.
- Buat tabel nilai untuk beberapa x, misalnya x = -2, -1, 0, 1, 2.
- Hitung nilai f(x) satu per satu.
- Tentukan titik-titik koordinat (x, f(x)).
- Plot titik pada bidang koordinat.
- Hubungkan titik dengan kurva halus.
- Ingat bahwa grafik mendekati sumbu-x tetapi tidak menyentuhnya.
4. Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Amati bentuk grafik f(x)=2x. Ketika x bertambah, nilai fungsi bertambah semakin cepat.
Menanya
Mengapa grafik tidak pernah memotong sumbu-x? Mengapa titik potong sumbu-y selalu bergantung pada nilai k?
Menalar
Karena ax selalu positif untuk a > 1, maka nilai fungsi tidak akan menjadi nol. Jika dikalikan k, arah grafik ditentukan oleh tanda k.
Mencoba
Buat tabel nilai untuk f(x)=3·2x pada x=-2,-1,0,1,2, lalu gambar grafiknya.
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu bahwa grafik eksponen dengan a > 1 memiliki pertumbuhan yang semakin cepat, titik potong sumbu-y di (0,k), dan asimtot datar y=0.
5. Contoh Tabel Nilai
Misalkan f(x)=2·3x.
| x | Perhitungan | f(x) | Titik |
|---|---|---|---|
| -2 | 2·3-2 = 2·1/9 | 2/9 | (-2, 2/9) |
| -1 | 2·3-1 = 2·1/3 | 2/3 | (-1, 2/3) |
| 0 | 2·30 = 2·1 | 2 | (0, 2) |
| 1 | 2·31 = 2·3 | 6 | (1, 6) |
| 2 | 2·32 = 2·9 | 18 | (2, 18) |
B. Contoh Soal dan Pembahasan Detail
Contoh soal berikut dibagi menjadi mudah, sedang, dan sulit. Setiap soal tetap berfokus pada grafik fungsi eksponen f(x)=kax dengan a > 1.
1. Contoh Soal Mudah
Mudah 1 — Tentukan titik potong sumbu-y dari f(x)=3·2x
Pembahasan:
Titik potong sumbu-y terjadi saat x=0.
f(0)=3·20=3·1=3.
Jadi, titik potong sumbu-y adalah (0,3).
Mudah 2 — Hitung f(2) untuk f(x)=2·3x
Pembahasan:
Substitusikan x=2.
f(2)=2·32=2·9=18.
Jadi, f(2)=18.
Mudah 3 — Tentukan apakah grafik f(x)=5·4x naik atau turun
Pembahasan:
Diketahui a=4 dan k=5.
Karena a>1 dan k>0, grafik naik dari kiri ke kanan.
Jadi, grafik f(x)=5·4x adalah grafik naik.
Mudah 4 — Tentukan asimtot datar dari f(x)=7·2x
Pembahasan:
Pada fungsi f(x)=kax, grafik mendekati sumbu-x tetapi tidak menyentuhnya.
Sumbu-x memiliki persamaan y=0.
Jadi, asimtot datarnya adalah y=0.
Mudah 5 — Lengkapi nilai f(1) untuk f(x)=4·2x
Pembahasan:
f(1)=4·21.
Karena 21=2, maka f(1)=4·2=8.
Jadi, nilai f(1) adalah 8.
2. Contoh Soal Sedang
Sedang 1 — Buat tabel nilai f(x)=2·2x untuk x=-2,-1,0,1,2
Pembahasan:
| x | Perhitungan | f(x) |
|---|---|---|
| -2 | 2·2-2=2·1/4 | 1/2 |
| -1 | 2·2-1=2·1/2 | 1 |
| 0 | 2·20=2·1 | 2 |
| 1 | 2·21=2·2 | 4 |
| 2 | 2·22=2·4 | 8 |
Titik-titiknya adalah (-2,1/2),(-1,1),(0,2),(1,4),(2,8).
Sedang 2 — Tentukan domain dan range f(x)=3·5x
Pembahasan:
Domain fungsi eksponen f(x)=kax adalah semua bilangan real.
Karena k=3>0, seluruh nilai fungsi positif.
Jadi, domainnya D=R dan range-nya y>0.
Sedang 3 — Tentukan nilai k jika grafik f(x)=k·2x melalui titik (0,6)
Pembahasan:
Karena titik (0,6) dilalui grafik, maka f(0)=6.
f(0)=k·20=k·1=k.
Maka k=6.
Sedang 4 — Bandingkan f(1) dan f(3) pada f(x)=2·3x
Pembahasan:
f(1)=2·31=6.
f(3)=2·33=2·27=54.
Karena 54>6, maka f(3)>f(1).
Ini sesuai dengan sifat grafik naik karena a=3>1 dan k>0.
Sedang 5 — Sketsa ciri grafik f(x)=-2·3x
Pembahasan:
Diketahui k=-2 dan a=3>1.
Titik potong sumbu-y: f(0)=-2·30=-2, sehingga titiknya (0,-2).
Karena k<0, grafik berada di bawah sumbu-x.
Asimtot datar tetap y=0. Grafik mendekati sumbu-x di sebelah kiri dan semakin turun ke kanan.
3. Contoh Soal Sulit
Sulit 1 — Tentukan f(x)=kax jika melalui titik (0,4) dan (1,12)
Pembahasan:
Dari titik (0,4), diperoleh f(0)=4.
f(0)=k·a0=k, maka k=4.
Dari titik (1,12), diperoleh f(1)=12.
12=4·a1, sehingga a=3.
Jadi, fungsi tersebut adalah f(x)=4·3x.
Sulit 2 — Tentukan k jika f(2)=45 pada f(x)=k·3x
Pembahasan:
Diketahui f(2)=45.
45=k·32.
45=9k.
k=45/9=5.
Jadi, nilai k adalah 5.
Sulit 3 — Tentukan a jika f(x)=2ax melalui titik (2,18)
Pembahasan:
Karena grafik melalui titik (2,18), maka f(2)=18.
18=2a2.
a2=9.
Karena syarat a>1, maka a=3, bukan a=-3.
Jadi, nilai a adalah 3.
Sulit 4 — Tentukan nilai x jika 2·3x=54
Pembahasan:
Persamaan berasal dari nilai fungsi f(x)=2·3x.
2·3x=54.
Bagi kedua ruas dengan 2: 3x=27.
Karena 27=33, maka 3x=33.
Jadi, x=3.
Sulit 5 — Tentukan fungsi jika grafik memotong sumbu-y di (0,-3) dan melalui titik (1,-12)
Pembahasan:
Bentuk fungsi: f(x)=kax.
Dari titik potong sumbu-y (0,-3), diperoleh k=-3.
Gunakan titik (1,-12):
-12=-3·a1.
a=4.
Karena a=4>1, fungsi memenuhi syarat.
Jadi, fungsi tersebut adalah f(x)=-3·4x.
C. Latihan Soal Tanpa Pembahasan
Kerjakan latihan berikut secara mandiri. Gunakan tabel nilai, sifat grafik, titik potong sumbu-y, asimtot, domain, dan range.
Latihan Mudah
- Tentukan titik potong sumbu-y dari f(x)=2·2x.
- Hitung f(1) untuk f(x)=5·3x.
- Tentukan apakah grafik f(x)=4·2x naik atau turun.
- Tentukan asimtot datar dari f(x)=6·5x.
- Hitung f(0) untuk f(x)=-3·2x.
Latihan Sedang
- Buat tabel nilai f(x)=3·2x untuk x=-2,-1,0,1,2.
- Tentukan domain dan range dari f(x)=4·3x.
- Tentukan nilai k jika f(x)=k·5x melalui titik (0,7).
- Bandingkan f(1) dan f(2) pada f(x)=2·4x.
- Sebutkan ciri grafik f(x)=-5·2x.
Latihan Sulit
- Tentukan fungsi f(x)=kax jika melalui titik (0,5) dan (1,20).
- Tentukan nilai k jika f(2)=32 pada f(x)=k·2x.
- Tentukan nilai a jika f(x)=3ax melalui titik (2,75).
- Tentukan nilai x jika 4·2x=64.
- Tentukan fungsi eksponen jika grafik memotong sumbu-y di (0,-4) dan melalui titik (1,-20).
D. Ringkasan Penting
Bentuk Fungsi
f(x)=kax, dengan a>1 dan a∈R.
Titik Potong Sumbu-y
Selalu di (0,k).
Asimtot Datar
Sumbu-x, yaitu y=0.
Arah Grafik
Jika k>0, grafik naik. Jika k<0, grafik berada di bawah sumbu-x.