Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Materi Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan
1. Fungsi Trigonometri
Pengertian
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Terdapat enam fungsi trigonometri utama:
1. sin θ = sisi depan / sisi miring
2. cos θ = sisi samping / sisi miring
3. tan θ = sisi depan / sisi samping
4. csc θ = 1 / sin θ
5. sec θ = 1 / cos θ
6. cot θ = 1 / tan θ
Nilai Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | ½ | ½√2 | ½√3 | 1 |
| cos θ | 1 | ½√3 | ½√2 | ½ | 0 |
| tan θ | 0 | ⅓√3 | 1 | √3 | ∞ |
Sifat-sifat Fungsi Trigonometri
• sin²θ + cos²θ = 1
• tan θ = sin θ / cos θ
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = csc²θ
Domain dan Range
| Fungsi | Domain | Range |
|---|---|---|
| sin x | Semua bilangan real | [-1, 1] |
| cos x | Semua bilangan real | [-1, 1] |
| tan x | x ≠ 90° + n·180° | Semua bilangan real |
📝 Contoh Soal: Fungsi Trigonometri
Mudah
1. Tentukan nilai sin 30°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, sin 30° = ½ = 0,5
2. Tentukan nilai cos 60°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, cos 60° = ½ = 0,5
3. Tentukan nilai tan 45°!
Pembahasan:
Dari tabel sudut istimewa, tan 45° = 1
4. Jika sin θ = ½, tentukan nilai cos θ untuk θ di kuadran I!
Pembahasan:
sin²θ + cos²θ = 1
(½)² + cos²θ = 1
¼ + cos²θ = 1
cos²θ = ¾
cos θ = ½√3 (kuadran I, cos positif)
5. Tentukan nilai sin 0° + cos 0°!
Pembahasan:
sin 0° + cos 0° = 0 + 1 = 1
Sedang
1. Tentukan nilai sin 150°!
Pembahasan:
150° berada di kuadran II, sin positif
sin 150° = sin(180° – 30°) = sin 30° = ½
2. Tentukan nilai cos 210°!
Pembahasan:
210° berada di kuadran III, cos negatif
cos 210° = cos(180° + 30°) = -cos 30° = -½√3
3. Tentukan nilai tan 135°!
Pembahasan:
135° berada di kuadran II, tan negatif
tan 135° = tan(180° – 45°) = -tan 45° = -1
4. Jika tan θ = 3/4 dan θ di kuadran I, tentukan sin θ dan cos θ!
Pembahasan:
tan θ = depan/samping = 3/4
Miring = √(3² + 4²) = √25 = 5
sin θ = 3/5, cos θ = 4/5
5. Buktikan bahwa sin²60° + cos²60° = 1!
Pembahasan:
sin 60° = ½√3, maka sin²60° = (½√3)² = ¾
cos 60° = ½, maka cos²60° = (½)² = ¼
sin²60° + cos²60° = ¾ + ¼ = 1 ✓ (terbukti)
Sulit
1. Tentukan nilai sin 750°!
Pembahasan:
750° = 2 × 360° + 30°
sin 750° = sin 30° = ½
2. Jika sin α = 5/13 dan α di kuadran II, tentukan nilai tan α + cos α!
Pembahasan:
sin α = 5/13 (kuadran II)
cos²α = 1 – sin²α = 1 – 25/169 = 144/169
cos α = -12/13 (negatif di kuadran II)
tan α = sin α / cos α = (5/13) / (-12/13) = -5/12
tan α + cos α = -5/12 + (-12/13) = -65/156 – 144/156 = -209/156
3. Sederhanakan: (sin²θ)/(1 – cos θ)
Pembahasan:
sin²θ = 1 – cos²θ = (1 – cos θ)(1 + cos θ)
(sin²θ)/(1 – cos θ) = (1 – cos θ)(1 + cos θ)/(1 – cos θ) = 1 + cos θ
4. Buktikan: (1 + tan²θ) × cos²θ = 1
Pembahasan:
1 + tan²θ = sec²θ = 1/cos²θ
(1 + tan²θ) × cos²θ = (1/cos²θ) × cos²θ = 1 ✓
5. Jika sin α + cos α = 7/5, tentukan nilai sin α × cos α!
Pembahasan:
(sin α + cos α)² = sin²α + 2 sin α cos α + cos²α
(7/5)² = 1 + 2 sin α cos α
49/25 = 1 + 2 sin α cos α
2 sin α cos α = 49/25 – 1 = 24/25
sin α × cos α = 12/25
✏️ Latihan Soal: Fungsi Trigonometri
Mudah
- Tentukan nilai sin 90°!
- Tentukan nilai cos 45°!
- Tentukan nilai tan 30°!
- Hitung sin 0° × cos 90°!
- Tentukan nilai sin²45°!
Sedang
- Tentukan nilai cos 315°!
- Tentukan nilai sin 240°!
- Jika cos θ = 3/5, θ kuadran IV, tentukan sin θ!
- Tentukan nilai 2sin 30° × cos 30°!
- Hitung tan 300°!
Sulit
- Sederhanakan: cos⁴θ – sin⁴θ
- Jika tan α = -3/4 dan α di kuadran II, tentukan sin α + cos α!
- Buktikan: (sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)² = 2
- Tentukan nilai sin 1050°!
- Jika sin x – cos x = ½, tentukan sin³x – cos³x!
2. Grafik Fungsi f(x) = sin x
Sifat-sifat Grafik f(x) = sin x
• Amplitudo = 1
• Periode = 2π = 360°
• Nilai maksimum = 1 (saat x = 90° + n·360°)
• Nilai minimum = -1 (saat x = 270° + n·360°)
• Memotong sumbu x di x = n·180° (n bilangan bulat)
• Fungsi ganjil: sin(-x) = -sin x
Grafik f(x) = sin x
Tabel Nilai
| x | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
📝 Contoh Soal: Grafik sin x
Mudah
1. Tentukan nilai f(90°) jika f(x) = sin x!
Pembahasan: f(90°) = sin 90° = 1
2. Berapa periode fungsi f(x) = sin x?
Pembahasan: Periode sin x = 2π = 360°
3. Di titik mana grafik sin x memotong sumbu x untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan: sin x = 0 saat x = 0°, 180°, 360°
4. Tentukan amplitudo f(x) = sin x!
Pembahasan: Amplitudo = |1| = 1
5. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = sin x!
Pembahasan: Maksimum = 1, Minimum = -1
Sedang
1. Tentukan nilai f(x) = 2 sin x saat x = 30°!
Pembahasan: f(30°) = 2 sin 30° = 2 × ½ = 1
2. Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 3 sin 2x!
Pembahasan:
Bentuk umum: f(x) = A sin Bx
Amplitudo = |A| = |3| = 3
Periode = 360°/|B| = 360°/2 = 180°
3. Untuk f(x) = sin x, di interval [0°, 360°], tentukan kapan f(x) > 0!
Pembahasan: sin x > 0 saat 0° < x < 180° (kuadran I dan II)
4. Tentukan persamaan fungsi sinus dengan amplitudo 4 dan periode 720°!
Pembahasan:
A = 4, Periode = 360°/B → 720° = 360°/B → B = ½
f(x) = 4 sin(½x)
5. Grafik f(x) = sin x digeser 90° ke kiri. Tentukan persamaan fungsi barunya!
Pembahasan:
Geser kiri 90°: f(x) = sin(x + 90°) = cos x
Sulit
1. Tentukan semua nilai x di [0°, 720°] yang memenuhi sin x = ½√2!
Pembahasan:
sin x = ½√2 = sin 45°
x = 45° + n·360° atau x = 135° + n·360°
Untuk [0°, 720°]: x = 45°, 135°, 405°, 495°
2. Tentukan persamaan grafik sinus yang melalui titik (30°, 3) dengan periode 120°!
Pembahasan:
Periode = 360°/B → 120° = 360°/B → B = 3
f(x) = A sin 3x
f(30°) = A sin 90° = A = 3
Jadi f(x) = 3 sin 3x
3. Tentukan range f(x) = 2 sin x + 3 untuk semua x!
Pembahasan:
-1 ≤ sin x ≤ 1
-2 ≤ 2 sin x ≤ 2
1 ≤ 2 sin x + 3 ≤ 5
Range: [1, 5]
4. Tentukan jumlah solusi persamaan sin x = x/720 untuk 0° ≤ x ≤ 720°!
Pembahasan:
Garis y = x/720 memotong dari (0,0) ke (720°, 1)
Dalam interval ini, sin x memiliki 2 periode lengkap
Dengan analisis grafis, terdapat 5 titik potong
5. Tentukan f(x) = sin x + sin(x + 120°) + sin(x + 240°)!
Pembahasan:
Menggunakan rumus jumlah sinus:
sin x + sin(x+120°) + sin(x+240°)
= sin x + (sin x cos 120° + cos x sin 120°) + (sin x cos 240° + cos x sin 240°)
= sin x + sin x(-½) + cos x(½√3) + sin x(-½) + cos x(-½√3)
= sin x – ½ sin x + ½√3 cos x – ½ sin x – ½√3 cos x
= sin x – sin x = 0
Jadi f(x) = 0 untuk semua x
✏️ Latihan Soal: Grafik sin x
Mudah
- Tentukan f(270°) jika f(x) = sin x!
- Di mana grafik sin x mencapai nilai maksimum pertama kali?
- Tentukan f(180°) untuk f(x) = sin x!
- Apakah sin x fungsi genap atau ganjil?
- Berapa banyak titik potong sin x dengan sumbu x di [0°, 360°]?
Sedang
- Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 5 sin 3x!
- Gambarkan sketsa grafik f(x) = sin 2x untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan range f(x) = -2 sin x!
- Untuk f(x) = sin(x – 45°), di mana nilai maksimum pertama?
- Tentukan persamaan sinus dengan amplitudo 2 dan periode 90°!
Sulit
- Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2sin²x – sin x – 1 = 0!
- Tentukan range f(x) = 3 sin x – 4 cos x!
- Berapa solusi sin 3x = ½ untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
- Tentukan luas daerah yang dibatasi f(x) = sin x dan sumbu x di [0°, 180°]!
- Jika f(x) = sin x dan g(x) = sin 2x, tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga f(x) = g(x)!
3. Grafik Fungsi f(x) = cos x
Sifat-sifat Grafik f(x) = cos x
• Amplitudo = 1
• Periode = 2π = 360°
• Nilai maksimum = 1 (saat x = n·360°)
• Nilai minimum = -1 (saat x = 180° + n·360°)
• Memotong sumbu x di x = 90° + n·180°
• Fungsi genap: cos(-x) = cos x
• cos x = sin(x + 90°) → grafik sin yang digeser 90° ke kiri
Grafik f(x) = cos x
Tabel Nilai
| x | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
📝 Contoh Soal: Grafik cos x
Mudah
1. Tentukan f(0°) jika f(x) = cos x!
Pembahasan: f(0°) = cos 0° = 1
2. Berapa amplitudo f(x) = cos x?
Pembahasan: Amplitudo = 1
3. Tentukan cos 180°!
Pembahasan: cos 180° = -1
4. Apakah cos x fungsi genap atau ganjil?
Pembahasan: cos(-x) = cos x, jadi cos x adalah fungsi genap
5. Di mana grafik cos x memotong sumbu x pertama kali (x > 0)?
Pembahasan: cos x = 0 pertama kali saat x = 90°
Sedang
1. Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 4 cos 3x!
Pembahasan: Amplitudo = |4| = 4, Periode = 360°/3 = 120°
2. Tentukan nilai x saat f(x) = cos x mencapai minimum di [0°, 360°]!
Pembahasan: cos x minimum = -1 saat x = 180°
3. Tentukan range f(x) = 3 cos x – 1!
Pembahasan:
-1 ≤ cos x ≤ 1 → -3 ≤ 3cos x ≤ 3 → -4 ≤ 3cos x – 1 ≤ 2
Range: [-4, 2]
4. Grafik f(x) = cos x digeser 90° ke kanan. Apa persamaannya?
Pembahasan: f(x) = cos(x – 90°) = sin x
5. Untuk 0° ≤ x ≤ 360°, kapan cos x ≤ 0?
Pembahasan: cos x ≤ 0 saat 90° ≤ x ≤ 270°
Sulit
1. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2cos²x + cos x – 1 = 0!
Pembahasan:
Misalkan u = cos x: 2u² + u – 1 = 0
(2u – 1)(u + 1) = 0 → u = ½ atau u = -1
cos x = ½ → x = 60°, 300°
cos x = -1 → x = 180°
Solusi: x = 60°, 180°, 300°
2. Tentukan persamaan cosinus dengan amplitudo 5, periode 90°, dan pergeseran fase 30° ke kanan!
Pembahasan:
A = 5, Periode = 360°/B → B = 4, fase = 30° ke kanan
f(x) = 5 cos 4(x – 30°) = 5 cos(4x – 120°)
3. Tentukan nilai minimum f(x) = cos²x + 2cos x + 3!
Pembahasan:
Misalkan u = cos x, -1 ≤ u ≤ 1
g(u) = u² + 2u + 3 = (u + 1)² + 2
Minimum saat u = -1: g(-1) = 0 + 2 = 2
4. Berapa banyak solusi cos 4x = ½ untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan:
cos 4x = ½ → 4x = 60° + n·360° atau 4x = 300° + n·360°
x = 15° + n·90° atau x = 75° + n·90°
Untuk [0°, 360°]: x = 15°, 75°, 105°, 165°, 195°, 255°, 285°, 345°
Jumlah solusi = 8
5. Tentukan f(x) = cos x × cos 2x × cos 4x saat x = 20°! (Gunakan rumus produk)
Pembahasan:
Gunakan identitas: cos x · cos 2x · cos 4x = sin 8x / (8 sin x)
f(20°) = sin 160° / (8 sin 20°)
= sin 20° / (8 sin 20°) = 1/8
✏️ Latihan Soal: Grafik cos x
Mudah
- Tentukan cos 360°!
- Di mana cos x = 0 pertama kali untuk x > 0?
- Tentukan periode f(x) = cos x!
- Apakah cos 90° positif, negatif, atau nol?
- Tentukan cos(-60°)!
Sedang
- Tentukan amplitudo dan periode f(x) = 2 cos(x/2)!
- Tentukan range f(x) = -cos x + 2!
- Kapan cos 2x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
- Tentukan persamaan cosinus dengan A = 3 dan T = 180°!
- Grafik cos x dicerminkan terhadap sumbu x. Apa persamaannya?
Sulit
- Selesaikan cos 2x + cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan nilai maksimum f(x) = 5cos x + 12sin x!
- Berapa solusi 2cos²x = 1 + cos x di [0°, 360°]?
- Tentukan range f(x) = cos²x – 4cos x + 1!
- Buktikan cos 36° = (1 + √5)/4!
4. Grafik Fungsi f(x) = tan x
Sifat-sifat Grafik f(x) = tan x
• Tidak memiliki amplitudo (range: semua bilangan real)
• Periode = π = 180°
• Asimtot tegak di x = 90° + n·180°
• Memotong sumbu x di x = n·180°
• Fungsi ganjil: tan(-x) = -tan x
• Fungsi naik di setiap interval antara asimtot
Grafik f(x) = tan x
Tabel Nilai
| x | 0° | 45° | 90° | 135° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|
| tan x | 0 | 1 | ∞ (tak terdefinisi) | -1 | 0 |
📝 Contoh Soal: Grafik tan x
Mudah
1. Tentukan tan 0°!
Pembahasan: tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0/1 = 0
2. Berapa periode fungsi tan x?
Pembahasan: Periode tan x = π = 180°
3. Di mana asimtot tegak pertama tan x (x > 0)?
Pembahasan: Asimtot tegak pertama di x = 90°
4. Apakah tan x memiliki amplitudo?
Pembahasan: Tidak, karena range tan x adalah semua bilangan real (-∞, +∞)
5. Tentukan tan 180°!
Pembahasan: tan 180° = sin 180°/cos 180° = 0/(-1) = 0
Sedang
1. Tentukan periode f(x) = tan 2x!
Pembahasan: Periode = 180°/|B| = 180°/2 = 90°
2. Tentukan asimtot tegak f(x) = tan 3x di [0°, 180°]!
Pembahasan:
Asimtot: 3x = 90° + n·180° → x = 30° + n·60°
Di [0°, 180°]: x = 30°, 90°, 150°
3. Tentukan tan 225°!
Pembahasan: tan 225° = tan(180° + 45°) = tan 45° = 1
4. Untuk f(x) = 2 tan x, tentukan f(60°)!
Pembahasan: f(60°) = 2 tan 60° = 2√3
5. Kapan tan x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°?
Pembahasan: tan x = 1 → x = 45° atau x = 225°
Sulit
1. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga tan²x – tan x – 2 = 0!
Pembahasan:
(tan x – 2)(tan x + 1) = 0
tan x = 2: x = arctan(2) ≈ 63,43° dan 243,43°
tan x = -1: x = 135° dan 315°
Solusi: x ≈ 63,43°, 135°, 243,43°, 315°
2. Tentukan persamaan grafik tangen dengan periode 60° dan melewati titik (15°, √3)!
Pembahasan:
Periode = 180°/B → 60° = 180°/B → B = 3
f(x) = A tan 3x
f(15°) = A tan 45° = A = √3
f(x) = √3 tan 3x
3. Buktikan: tan x + cot x = 2/sin 2x!
Pembahasan:
tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x
= (sin²x + cos²x)/(sin x cos x)
= 1/(sin x cos x)
= 2/(2 sin x cos x) = 2/sin 2x ✓
4. Hitung tan 20° × tan 40° × tan 80°!
Pembahasan:
Menggunakan identitas: tan θ · tan(60°-θ) · tan(60°+θ) = tan 3θ
Dengan θ = 20°: tan 20° · tan 40° · tan 80° = tan 60° = √3
5. Tentukan jumlah solusi tan x = 2sin x untuk 0° < x < 360°!
Pembahasan:
sin x/cos x = 2 sin x
sin x = 2 sin x cos x (kalikan cos x)
sin x(1 – 2cos x) = 0
sin x = 0: x = 180° (tidak termasuk 0° dan 360°)
cos x = ½: x = 60°, 300°
Jumlah solusi = 3
✏️ Latihan Soal: Grafik tan x
Mudah
- Tentukan tan 45°!
- Apakah tan 90° terdefinisi?
- Tentukan tan(-45°)!
- Di mana tan x = 0 di [0°, 360°]?
- Apakah tan x fungsi genap atau ganjil?
Sedang
- Tentukan periode f(x) = tan(x/2)!
- Tentukan asimtot tegak f(x) = tan 2x di [0°, 360°]!
- Selesaikan tan x = -√3 untuk 0° ≤ x ≤ 360°!
- Tentukan f(30°) untuk f(x) = 3 tan 2x!
- Berapa banyak titik potong tan x dengan sumbu x di [0°, 720°]?
Sulit
- Selesaikan tan 2x = tan x untuk 0° < x < 360°!
- Buktikan: (1 + tan²x)/(1 – tan²x) = 1/cos 2x!
- Hitung tan 10° + tan 70° + tan 10° tan 70°!
- Tentukan semua solusi 3tan²x – 1 = 0 di [0°, 360°]!
- Tentukan range f(x) = arctan(tan x) dan jelaskan grafiknya!
5. Menggambar Fungsi dengan Amplitudo dan Periode Berbeda
Bentuk Umum
f(x) = A sin(Bx + C) + D
f(x) = A cos(Bx + C) + D
• |A| = Amplitudo (tinggi gelombang dari garis tengah)
• T = 360°/|B| = Periode (satu siklus lengkap)
• -C/B = Pergeseran fase (horizontal)
• D = Pergeseran vertikal (garis tengah)
Pengaruh Parameter
| Parameter | Pengaruh | Contoh |
|---|---|---|
| A > 1 | Grafik lebih tinggi (meregang vertikal) | 3 sin x → amplitudo 3 |
| 0 < A < 1 | Grafik lebih rendah (menyusut vertikal) | ½ sin x → amplitudo ½ |
| A < 0 | Grafik terbalik (refleksi sumbu x) | -sin x |
| B > 1 | Periode lebih kecil (menyusut horizontal) | sin 2x → T = 180° |
| 0 < B < 1 | Periode lebih besar (meregang horizontal) | sin(½x) → T = 720° |
| D > 0 | Geser ke atas | sin x + 2 |
| D < 0 | Geser ke bawah | sin x – 1 |
Perbandingan Grafik
Biru: sin x | Merah: 2 sin x | Hijau: sin 2x | Ungu: sin x + 1
📝 Contoh Soal: Amplitudo dan Periode
Mudah
1. Tentukan amplitudo f(x) = 5 sin x!
Pembahasan: Amplitudo = |A| = |5| = 5
2. Tentukan periode f(x) = cos 4x!
Pembahasan: Periode = 360°/|B| = 360°/4 = 90°
3. Tentukan amplitudo f(x) = -3 cos x!
Pembahasan: Amplitudo = |A| = |-3| = 3
4. Tentukan periode f(x) = sin(x/3)!
Pembahasan: B = 1/3, Periode = 360°/(1/3) = 1080°
5. Tentukan garis tengah f(x) = sin x + 4!
Pembahasan: D = 4, jadi garis tengah di y = 4
Sedang
1. Tentukan amplitudo, periode, dan pergeseran vertikal f(x) = 2 sin 3x – 1!
Pembahasan:
A = 2 → Amplitudo = 2
B = 3 → Periode = 360°/3 = 120°
D = -1 → Pergeseran vertikal: 1 satuan ke bawah
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 3 cos 2x + 5!
Pembahasan:
-1 ≤ cos 2x ≤ 1
-3 ≤ 3cos 2x ≤ 3
2 ≤ 3cos 2x + 5 ≤ 8
Maks = 8, Min = 2
3. Tentukan persamaan fungsi sinus dengan A = 4, T = 180°, geser kanan 30°!
Pembahasan:
T = 360°/B → 180° = 360°/B → B = 2
Geser kanan 30°: f(x) = 4 sin 2(x – 30°) = 4 sin(2x – 60°)
4. Berapa kali grafik f(x) = sin 4x memotong sumbu x di [0°, 360°]?
Pembahasan:
Periode = 360°/4 = 90°. Dalam [0°, 360°] ada 4 periode.
Setiap periode ada 2 titik potong + 1 di awal = 4×2 + 1 = 9 titik potong
5. Dari grafik diketahui: maks = 7, min = 1. Tentukan A dan D!
Pembahasan:
A = (maks – min)/2 = (7 – 1)/2 = 3
D = (maks + min)/2 = (7 + 1)/2 = 4
Sulit
1. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang grafiknya melalui (0°, 3), (90°, 5), (180°, 3), (270°, 1)!
Pembahasan:
Maks = 5, Min = 1 → A = (5-1)/2 = 2, D = (5+1)/2 = 3
Periode = 360° → B = 1
Saat x=0, f=3=D (garis tengah), lalu naik → bentuk cosinus tidak cocok
Coba sin: f(0) = 2sin(0) + 3 = 3 ✓, f(90) = 2sin(90) + 3 = 5 ✓
f(x) = 2 sin x + 3
2. Tentukan range f(x) = 3 sin x + 4 cos x!
Pembahasan:
Bentuk a sin x + b cos x → amplitudo = √(a² + b²)
R = √(3² + 4²) = √25 = 5
Range: [-5, 5]
3. Tentukan persamaan fungsi yang amplitudonya 3, periodenya 120°, geser kiri 15°, dan geser atas 2!
Pembahasan:
A = 3, T = 120° → B = 360°/120° = 3
Geser kiri 15° → C = +15° → fase = B×15 = 45°
D = 2
f(x) = 3 sin(3x + 45°) + 2
4. Untuk f(x) = A sin(Bx + C) + D, diketahui maks di (30°, 7) dan min di (90°, -1). Tentukan A, B, C, D!
Pembahasan:
A = (7-(-1))/2 = 4, D = (7+(-1))/2 = 3
Jarak maks ke min = setengah periode → 90°-30° = 60° = T/2 → T = 120°
B = 360°/120° = 3
Maks di x=30°: sin(3×30° + C) = 1 → 90° + C = 90° → C = 0°
f(x) = 4 sin 3x + 3
5. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga 2sin(2x – 60°) + 1 = 2!
Pembahasan:
2sin(2x – 60°) = 1 → sin(2x – 60°) = ½
2x – 60° = 30° + n·360° → x = 45° + n·180°
2x – 60° = 150° + n·360° → x = 105° + n·180°
Untuk [0°, 360°]: x = 45°, 105°, 225°, 285°
✏️ Latihan Soal: Amplitudo dan Periode
Mudah
- Tentukan amplitudo f(x) = 7 cos x!
- Tentukan periode f(x) = sin 6x!
- Tentukan garis tengah f(x) = cos x – 3!
- Apa amplitudo f(x) = -½ sin x?
- Tentukan periode f(x) = tan 4x!
Sedang
- Tentukan maks dan min f(x) = 4 sin 2x – 3!
- Tentukan persamaan sinus dengan A = 2, T = 240°, D = 1!
- Berapa banyak siklus f(x) = cos 5x dalam [0°, 360°]?
- Dari grafik: maks = 6, min = -2. Tentukan A dan D!
- Tentukan pergeseran fase f(x) = sin(3x – 90°)!
Sulit
- Tentukan persamaan dari grafik: maks di (60°, 5), min di (180°, -3)!
- Tentukan range f(x) = 5sin x – 12cos x + 3!
- Selesaikan 3cos(2x + 30°) – 1 = ½ untuk [0°, 360°]!
- Tentukan luas daerah di bawah f(x) = 2sin x dan di atas sumbu x pada [0°, 180°]!
- Dua fungsi f(x) = sin 2x dan g(x) = cos x. Tentukan semua x di [0°, 360°] sehingga f(x) = g(x)!
6. Invers Fungsi Trigonometri
Pengertian
Invers fungsi trigonometri (arcus) adalah fungsi yang mengembalikan sudut dari nilai perbandingan trigonometri. Karena fungsi trigonometri periodik, domainnya dibatasi agar memiliki invers.
1. arcsin x (atau sin⁻¹ x)
Domain: [-1, 1] Range: [-90°, 90°]
Jika sin θ = x, maka θ = arcsin x
2. arccos x (atau cos⁻¹ x)
Domain: [-1, 1] Range: [0°, 180°]
Jika cos θ = x, maka θ = arccos x
3. arctan x (atau tan⁻¹ x)
Domain: semua bilangan real Range: (-90°, 90°)
Jika tan θ = x, maka θ = arctan x
Tabel Nilai Invers Penting
| x | arcsin x | arccos x | arctan x |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 90° | 0° |
| ½ | 30° | 60° | — |
| ½√2 | 45° | 45° | — |
| ½√3 | 60° | 30° | — |
| 1 | 90° | 0° | 45° |
| -1 | -90° | 180° | -45° |
Sifat-sifat Penting
• arcsin x + arccos x = 90° (untuk -1 ≤ x ≤ 1)
• arcsin(-x) = -arcsin x (fungsi ganjil)
• arccos(-x) = 180° – arccos x
• arctan(-x) = -arctan x (fungsi ganjil)
• sin(arcsin x) = x untuk -1 ≤ x ≤ 1
• arcsin(sin x) = x hanya untuk -90° ≤ x ≤ 90°
Grafik Fungsi Invers
Biru: arcsin x | Merah: arccos x | Hijau: arctan x
📝 Contoh Soal: Invers Trigonometri
Mudah
1. Tentukan arcsin(½)!
Pembahasan: sin 30° = ½, maka arcsin(½) = 30°
2. Tentukan arccos(0)!
Pembahasan: cos 90° = 0, maka arccos(0) = 90°
3. Tentukan arctan(1)!
Pembahasan: tan 45° = 1, maka arctan(1) = 45°
4. Tentukan arcsin(1)!
Pembahasan: sin 90° = 1, maka arcsin(1) = 90°
5. Tentukan arccos(1)!
Pembahasan: cos 0° = 1, maka arccos(1) = 0°
Sedang
1. Tentukan arcsin(-½√2)!
Pembahasan:
arcsin(-x) = -arcsin(x)
arcsin(-½√2) = -arcsin(½√2) = -45°
2. Tentukan cos(arcsin(3/5))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arcsin(3/5), maka sin θ = 3/5
cos θ = √(1 – sin²θ) = √(1 – 9/25) = √(16/25) = 4/5
3. Tentukan arcsin(½) + arccos(½)!
Pembahasan:
Menggunakan sifat: arcsin x + arccos x = 90°
arcsin(½) + arccos(½) = 90°
Verifikasi: 30° + 60° = 90° ✓
4. Tentukan tan(arccos(5/13))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arccos(5/13), maka cos θ = 5/13
sin θ = √(1 – 25/169) = √(144/169) = 12/13
tan θ = sin θ/cos θ = (12/13)/(5/13) = 12/5
5. Tentukan arccos(-½√3)!
Pembahasan:
arccos(-x) = 180° – arccos(x)
arccos(-½√3) = 180° – arccos(½√3) = 180° – 30° = 150°
Sulit
1. Tentukan sin(2 arcsin(3/5))!
Pembahasan:
Misalkan θ = arcsin(3/5), maka sin θ = 3/5, cos θ = 4/5
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25
2. Buktikan: arctan(1/2) + arctan(1/3) = 45°!
Pembahasan:
tan(arctan(1/2) + arctan(1/3))
= (1/2 + 1/3)/(1 – 1/2 × 1/3)
= (5/6)/(5/6) = 1
Maka arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1) = 45° ✓
3. Tentukan cos(arctan(3/4) + arctan(5/12))!
Pembahasan:
Misalkan α = arctan(3/4): sin α = 3/5, cos α = 4/5
Misalkan β = arctan(5/12): sin β = 5/13, cos β = 12/13
cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β
= (4/5)(12/13) – (3/5)(5/13)
= 48/65 – 15/65 = 33/65
4. Tentukan domain dan range f(x) = arcsin(2x – 1)!
Pembahasan:
Domain arcsin: -1 ≤ 2x-1 ≤ 1
0 ≤ 2x ≤ 2 → 0 ≤ x ≤ 1
Domain: [0, 1]
Range tetap: [-90°, 90°]
5. Tentukan turunan f(x) = arctan(x) + arctan(1/x) untuk x > 0!
Pembahasan:
Untuk x > 0: arctan(x) + arctan(1/x) = 90°
Karena hasilnya konstanta, f'(x) = 0
Bukti: tan(arctan x + arctan(1/x)) = (x + 1/x)/(1 – x·1/x) = (x+1/x)/0 → ∞
Artinya jumlahnya = 90°
✏️ Latihan Soal: Invers Trigonometri
Mudah
- Tentukan arcsin(½√3)!
- Tentukan arccos(½√2)!
- Tentukan arctan(0)!
- Tentukan arcsin(0)!
- Tentukan arccos(-1)!
Sedang
- Tentukan sin(arccos(4/5))!
- Tentukan arctan(-√3)!
- Tentukan cos(2 arccos(3/5))!
- Tentukan domain f(x) = arcsin(x/3)!
- Hitung arcsin(sin 150°)!
Sulit
- Buktikan arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = 180°!
- Tentukan sin(arctan(x)) dalam bentuk aljabar!
- Selesaikan arcsin(x) + arcsin(2x) = 60°!
- Tentukan cos(arcsin(3/5) + arccos(5/13))!
- Tentukan range f(x) = arcsin(sin x) untuk x ∈ ℝ dan gambarkan grafiknya!